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何鹏--换底公式在对数有关计算及恒等变形中的技巧


换底公式在对数有关计算及恒等变形中的技巧
仪陇职业高级中学 何鹏 对数的换底公式,就象一根魔术棒。熟练掌握其意义及推论,是进行对数的有关运算及 其对数式恒等变形的重要理论依据之一, 若在其换底公式的基础上进行引伸, 则又可推导出 一些重要的推论。从而达到提高解题能力,简化解题过程,加快解题速度。 一、对数的换底公式及课本上的相关证明

logc N (c ? 0且c ? 1 , a ? 0且a ? 1, N ? 0) 。 logc a N ( N ? 0) 的对数, 即 以 a(a ? 0且a ? 1) 为底, 转换成了以任意实数 c(c ? 0且c ? 1) loga N ?
为底的对数. 证明:设 loga N ? x ,则 a ? N ,
x

两边取以 c(c ? 0且c ? 1) 为底的对数,得 logc a x ? logc N , 所以 x logc a ? logc N 故 即 x?

logc N , logc a

loga N ?

logc N 。 logc a
log N

二、换底公式的其他证明方法 证法一:由对数恒等式,得 N ? a a , 两边取以 c(c ? 0且c ? 1) 为底的对数,得 logc N ? loga N ? logc a , 所以

loga N ?

logc N 。 logc a
m n

证法二:令 logc a ? m , loga N ? n ,则 a ? c , N ? a , 所以 N ? (c ) ? c
m n mn



两边取以 c(c ? 0且c ? 1) 为底的对数,得 mn ? logc N , 所以

n?

logc N , m



loga N ?

logc N 。 logc a

三、对数换底公式的推论及证明

1 (a ? 0,b ? 0且a ? 1 ,b ? 1) 。 logb a logb b 1 证法一: loga b ? 。 ? logb a logb a logb b 1 证法二: ? ? loga b 。 logb a logb a
推论 1、 loga b ? 推论 2、 loga b ? logan b (a ? 0,b ? 0且a ? 1 ,n ? 0) 。
n

loga b n n loga b 证法一: loga n b ? ? ? loga b 。 n loga a n x x n n n x n 证法二:设 x ? loga b , 则 a ? b ,所以 (a ) ? b (n ? 0) , 即 (a ) ? b ,
n

所以 x ? logan b ,即 loga b ? logan b 。
n n

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1 log a N (a ? 0且a ? 1,m ? 0) 。 m loga N 1 证法一: loga m N ? ? loga N 。 m m loga a 1 证法二: log a m N ? log a m N ? log a N 。 m loga M logb M 推论 4、 (a ? 0,b ? 0且a ? 1 ,b ? 1 ,M ? 0,N ? 0) ? loga N logb N loga M logb M logb a logb M 证法一、 。 ? ? ? loga N logb a logb N logb N loga M logb M 证法二、因为 ? logN M , ? logN M , loga N logb N loga M logb M 所以 。 ? loga N logb N m m 推论 5、 log a n b ? log a b(a ? 0,b ? 0且a ? 1,m ? n ? 0) 。 n loga b m m loga b m m 证法一: loga n b ? ? ? loga b 。 n n loga a n
推论 3、 log a m N ? 证法二: loga n b
m

? loga b ? loga b ?
n m

m n

m loga b 。 n

四、对数换底公式及推论的应用

loga M logb M logc M logd M 。 ? ? ? logb N logc N logd N loga N loga M logb M logc M logd M 解:原式= ? ? ? loga N logb N logc N logd N
例 1、化简:

? logN M ? logN M ? logN M ? logN M ? (logN M ) 4 。 1 1 ? ? 2。 例 2、试证: log2 ? log? 2 1 1 1 证明: ? ? ? log2 ? , log2 ? log? 2 log2 ? 1 ? 0 , log2 ? ? 1 , 因为 log2 ? ? 0 , log 2 ? 1 1 ? 2 ? 0, 所以 ( log2 ? ? ) 2 ? 0 ,即 log2 ? ? log2 ? log2 ? 1 1 ? ? 2。 故 log2 ? log? 2
例 3、已知: logk x, logm x, logn x( x ? 1) 成等差数列,求证: n ? (kn)
2 logk m



证明:因为 logk x, logm x, logn x( x ? 1) 成等差数列, 所以 2 logm x ? logk x ? logn x ,即 logm x ? logk x ? logn x ,
2

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2 lg x lg x lg x ? ? ,又 x ? 1 ,则 lg x ? 0 , lg m lg k lg n 2 1 1 2 lg( kn) ? ? ? 所以 , 即 , lg m lg k lg n lg m lg k ? lg n 2 lg n lg m ? , 所以 logkn n 2 ? logk m , lg( kn) lg k log m 2 故 n ? (kn) k 1 1 1 1 1 例 4、试证: 。 ? ? ? ?…? logn x logn! x log2 x log3 x log4 x 1 1 1 1 证明: ? ? ?…? ? logx (2 ? 3 ? 4 ? ? ? n) log2 x log3 x log4 x logn x 1 。 ? logx (1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n) ? logx n!? logn! x 例 5、已知 lg N ? a ,求 log100 N、 log 10 N、 log 1 N 的值。
所以
10

1 1 解: log 100 N ? log 10 N ? lg N ? a 。 2 2 2 log 10 N ? log10 N ? 2 lg N ? 2a 。

log 1 N ? log10 N ?1 ? ? lg N ? ?a 。
10

例 6、求证: (log 2 3 ? log 4 9 ? log 8 27 ? ? ? log 2 n 3 ) log 9
n
n 证明: (log 2 3 ? log 4 9 ? log 8 27 ? ? ? log 2 n 3 ) log 9 n

n

32 ?

5 。 2

32

1 ? (log 2 3 ? log 2 3 ? log 2 3 ? ? ? log 2 3) ? log 9 32 ??????? ??????? ? n
n个

1 5 5 ? n log 2 3 ? log 3 32 ? log 2 3 ? log 3 2 ? 。 n 2 2 例 7、已知: log16 27 ? a ,求 log9 96 的值。 3 3 解:因为 log 16 27 ? log 2 3 ? a ,所以 log 3 2 ? , 4 4a 5 1 则 log 9 96 ? log 9 32 ? 3 ? log 9 32 ? log 9 3 ? log 3 2 ? log 3 2 2 2 5 3 1 4a ? 15 ? ? ? ? 。 2 4a 2 8a 例 8、已知: log25 3 ? a , log25 4 ? b ,求 log5 72 的值。 1 log 5 3 ? a ,即 log5 3 ? 2a , 解:因为 log25 3 ? a ,所以 2 又因为 log25 4 ? b ,所以 log5 2 ? b ,
所以 log5 72 ? log5 8 ? 9 ? log5 2 ? log5 3 ? 4a ? 3b 。
3 2

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