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苏教版必修五3.1《不等关系》ppt课件1



与等量关系一样,不等关 系也是自然界中存在着的基 本关系 ,它们在现实世界和 日常生活中大量存在,在数 学研究和数学应用中起着重 要作用。

一、问题情境
实际生活中
轻重

长短

大小

高矮

在数学上
B

AB<AB
A C

AB+A C>BC
B A

AB-A C<BC

二、学生活动

这是某酸奶的质量检查规定
脂肪含量(f) 蛋白质含量(p)

不少于2.5%

不少于2.3%

从表格中你能获得什么信息? 用数学关系来反映就是: f≥2.5% p≥2.3%

二、学生活动
? 1某博物馆的门票每位10元,20人以上(含20 人)的团体票8折优惠,那么不足20人时,应该 选择怎样的购票策略? ? 问题1:8折优惠时一张票要多少元?购买20人 的团体票共需要多少元?
? 问题2:什么时候单独买票比购买20人的团体票 便宜? 什么时候购买20人的团体票比单独买票便宜? ? 问题3:这个问题是用什么样的数学模型来解决 的?

2.下表给出了X,Y,Z三种食物的维生素 含量及成本:某人欲将这三种食物混合成 100kg的食品,要使混合食品中至少含 35000单位的维生素A及40000单位的维 生素B,设X,Y,这两种食物各取xkg, ykg,那么x,y应满足怎样的关系?
维生素A (单位/kg ) 维生素B 成本 (单位/kg) (元/kg)

X Y Z

300 500 300

700 100 300

5 4 3

问题 ? 1、取Z种食物多少kg? ?2、三种食物含维生素A共多少单位?

三种食物含维生素B共多少单位? ?3、x,y应满足怎样的关系?

分层问题检测,将下列问题转化为数学模型 (不求解) ? 1有一个不小于58但小于70的两位数,其个位数 字比十位数字大3,求这个两位数的十位数字. 解:设这个两位数的十位数字为x,则个位数字为 ( x+3)由题意得58≤10x+(x+3)<70

? 2.某商品进货价为40元,现按50元一个可以卖出 50个.为了获得最大利润,希望销售价大于50元. 但市场预测:若商品单价再涨1元,则销售量就减 少一个,(将从50个开始下降).问:该商品最大 利润是多少? 解:该商品的利润为y,商品单价再涨x元,由题意得 y=(50+x-40)×(50-x)(1≤x≤50,x是正整数)

? 3已知b克糖水中有a克糖(b),若再 添加m克糖,则糖水变得更甜.根据这个 事实写出a,b,m所满足的不等关系。 解:

a a?m ? b b?m

探究(一):不等式的基本性质

如何比较实数a,b的大小? 作差法 有以下事实: 如果是a-b正数,那么a>b;如果a-b等 于零,那么a=b;如果a-b是负数,那么a<b. 反过来也对。 即: a

? b ? a ?b ? 0 a ? b ? a ?b ? 0 a ? b ? a ?b ? 0

符号“ ? ”表示“等价于”,即可以互相推出

一、不等式的几个基本概念
1.判断两个实数大小的充要条件

对于任意两个实数a、b,在a>b,a= b,a<b三种 关系中有且仅有一种成立.判断两个实数大小的充 要条件是: a ? b ? a ?b ? 0 a ? b ? a ?b ? 0 a ? b ? a ?b ? 0
2.不等式的定义:用不等号连接两个解析式所 得的式子,叫做不等式. 3. 同向不等式与异向不等式 同向不等式:两个不等号方向相同的不等式,例如: a>b,c>d,是同向不等式. 异向不等式:两个不等号方向相反的不等式.例如: a>b,c<d,是异向不等式.

二、不等式的基本性质

性质 1 如果a>b,那么b<a;如果b<a,那么a>b.

即 a ? b ? b ? a (对称性)
性质 2 如果a>b,b>c,那么a>c.
同理:

c ? b, b ? a ? c ? a

a ? b, b ? c ? a ? c (传递性

性质 3 如果a>b,那么a+c>b+c. (加法法则
即:不等式的两边都加上(或减去) 同一个实数,不等号的方向不变

由此可得a ? b ? c ? a ? c ? b移项法则

性质4 如果a ? b, c ? 0, 那么ac ? bc.
不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数, 不等号的方向不变。

如果a ? b, c ? 0, 那么ac ? bc.
不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数, 不等号的方向改变。

(乘法法则)

性质5 如果a ? b, c ? d , 那么a ? c ? b ? d .
两个同向不等式相加,所得不等式与原 不等式同向。

(同向可加性)

性质6 如果a ? b ? 0, c ? d ? 0, 那么ac ? bd .
两边都是正数的同向不等式相乘,所得不 等式与原不等式同向。 (正数同向不等式的可乘性)

只有同向不等式才能相加、乘

性质7 如果a ? b ? 0, 那么a ? b , (n ? N , n ? 2)
n n

(乘方法则)

性质8 如果a ? b ? 0, 那么 a ? b,(n ? N , n ? 2)
n n

(开方法则)

探究(二):不等式的拓展性质

思考1:如果ai>bi(i=1,2,3,?, n),a1+a2+?+an与b1+b2+?+bn的 大小关系如何? ai>bi (i=1,2,3,?,n) ? a1+a2+?+an>b1+b2+?+bn

思考2:如果ai>bi(i=1,2,3,?, n),那么a1· a2?an>b1· b2?bn吗? ai>bi>0 (i=1,2,3,?,n)

?a1· a2?an>b1· b2?bn
思考3:如果a>b,那么an与bn的大小关 系确定吗? a>b,n为正奇数

? a n>b n

思考4:如果a>b,c<d,那么a+c与b +d的大小关系确定吗?a-c与b-d的大 小关系确定吗?
a >b ,c <d

? a -c >b -d

1 1 思考5: 若a>b,ab>0,那么 a 与 b

的大小关系如何?

1 1 a>b,ab>0 ? ? a b

对称性— a>b ? b<a 传递性— a>b,b>c ? a>c 可加性— a>b ? a+c>b+c 移项法则— a+c>b ? a>b-c 同向可加— a>b,c>d ? a+c>b+d ac>bc ? c>0 可乘性— a>b, c<0 ? ac<bc 推 论

不 等 式 的 性 质

同向正可乘—a>b>0,c>d>0 ? ac>bd
推 论 可乘方— a>b>0 ? an>bn (n?R+)

可开方— a>b>0 ?

n

a ? b (n?N)
n

例1:应用不等式的性质,证明下列不等式:
1 1 (1)已知a>b,ab>0,求证: ? ; a b 1 (1)因为ab>0,所以 ?0 证明: ab 1 1 又因为a>b,所以 a ? ? b ? ab ab

1 1 即 ? b a

1 1 因此 ? a b

(2)已知a>b, c<d,求证:a-c>b-d;
证明:(2)因为a>b,c<d,
所以a>b,-c>-d, 根据性质3的推论2,得 a+(-c)>b+(-d),即a-c>b-d.

a b (3)已知a>b>0,0<c<d,求证: ? c d
证明:(3)因为0<c<d,根据(1)的结
1 1 论得 ? ? 0 c d
1 1 又因为a>b>0,所以 a ? ? b ? c d a b 即 c?d

例2. 已知a>b,不等式:(1)a2>b2;
1 1 (2) ? a b
1 1 ? ;(3) a ?b a

成立的个数是( A ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3

例3.设A=1+2x4,B=2x3+x2,x∈R,则A, B的大小关系是
A≥B



例4.(1)如果30<x<36,2<y<6,求x-
x 2y及 的取值范围。 y

18<x-2y<32,

x 5 ? ? 18 y

(2)若-3<a<b<1,-2<c<-1, 求(a-b)c2的取值范围。

因为-4<a-b<0,1<c2<4,
所以-16<(a-b)c2<0

? ? ? ? ? ? ? ? 例5.若 ? ≤ ? ? ? ≤ ,求 , 2 2 2 2
的取值范围。

?

?
2

?

? ??
2

?

?
2

,?

?
2



? ??
2

?0

c?a b?c ? 例 6.已知 a ? b ? 0 , c ? 0 ,求证: a b
解:法一:作差比较法

作差 c ? a b ? c cb ? ab ? (ab ? ac) c(b ? a ) ? ? ? ∵ 变形 a b ab ab
∵ a ? b ? 0,? a ? b ? 0, ab ? 0 ∵ c ? 0 c (b ? a ) ?0 ∴ ab

定符号

c?a b?c ? ∴ a b

确定大小

c?a b?c ? 例 6.已知 a ? b ? 0 , c ? 0 ,求证: a b
解:法二:巧用不等式的性质(综合法)

∵ a ? b ? 0 , c ? 0 ,∴ ab ? 0
1 1 1 1 a ? ? b ? ∴ 即 ? ab ab b a
c c ∴ ? (两边同乘以一个负数不等号方向要改变) b a c c

从已知出发
运用不等式 的性质变形
继续变形

c c ∴ ?1 ? ?1 ∴ ? a b a b c?a b?c ? ∴ a b

例7 已知:函数 f ( x) ? ax ? c,
2

?4 ? f (1) ? ?1, ? 1 ? f (2) ? 5
求:

f (1) ? a ? c ? 解:因为f(x)=ax2-c, 所以 ? ? f (2) ? 4a ? c
1 ? a ? [ f (2) ? f (1)] ? ? 3 解之得 ? ?c ?? 1 f (2) ? 4 f (1) ? 3 3 ?

f ( 3)

的取值范围.

所以f(3)=9a-c=

8 5 f (2) ? f (1) 3 3

因为 ?4 ? f (1) ? ?1, ? 1 ? f (2) ? 5
8 8 40 所以 ? ≤ f (2) ≤ 3 3 3
5 5 20 ≤ ? f (1) ≤ 3 3 3

两式相加得-1≤f(3) ≤20.

练习.已知-4≤a-b≤-1,-1≤4a- b≤5,求9a-b的取值范围。
解:设9a-b=m(a-b)+n(4a-b) =(m+4n)a-(m+n)b, 令m+4n=9,-(m+n)=-1,解得, 5 8 m ? ? ,n ? 3 3 8 5 所以9a-b= ? (a-b)+ (4a-b) 3 3

由-4≤a-b≤-1,得
由-1≤4a-b≤5,得

5 5 20 ≤ ? ( a ? b) ≤ 3 3 3 8 8 40 ? ≤ (4a ? b) ≤ 3 3 3

以上两式相加得-1≤9a-b≤20.

课堂小结

常用的不等式的基本性质有: ⑴a ? b ? b ? a ; ( 对称性) ⑵ a ? b,b ? c ? a ? c ; (传递性) ⑶ a ? b ? a ? c ? b ? c , (可加性)此法则又称为移项法则; a ? b,c ? d ? a ? c ? b ? d (同向不等式可相加) ?a ? b,c ? 0 ? ac ? bc ⑷? (可乘性) ?a ? b,c ? 0 ? ac ? bc a ? b ? 0,c ? d ? 0 ? ac ? bd ( 5) (正数同向不等式可相 乘)
* n n a ? b ? ( 0 n ? N ) ? a ? b ?0 ( 6) (乘方法则) 0 n ? N * , n ≥ 2) ? n a ? n b ? 0 (开方法则) (7)a ? b ? (

1 1 (8) a ? b,ab ? 0 ? ? a b

(倒数法则)

注:一定要在理解的基础上,记准、记熟不等式的这些 37 基本性质 ,这是我们对不等式进行变形的基础 .

P74

2,4



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