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11春概率统计期末试卷A评析



理学院鲜大权《概率论与数理统计 B》期末考试辅导

西南科技大学 2011 春《概率论与数理统计B》期末试卷A卷
一、填空题(每小题 4 分,共 20 分)

1 2 2 , P ( B ) = , P ( B | A) = ,则 P ( A ∪ B ) =_____。 2 5 3 2 2 2 1 1 解:由 P ( B | A)

= ? P ( AB ) = P ( A) = × = 3 3 3 3 3 1 2 1 17 ∴ P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) ? P ( AB ) = + ? = 2 5 3 30
1、已知 P ( A) = 2、设 X 服从参数为 λ 的泊松分布,且已知 P{ X = 2} = P{ X = 3} ,则 P{ X = 3} = _____。

解:由已知 X ? P{ X = k} =

λk
k!

e ? λ (k = 0,1, 2, ) 有

P{ X = 2} = P{ X = 3} ?

λ2
2!

e? λ =

λ3
3!

e? λ ? λ = 3

∴ P{ X = 3} =

33 ?3 9 ?3 e = e 。 3! 2

2 2 3、设二维随机变量 ( X , Y ) 服从二维正态分布 N ( μ1 , μ 2 , σ 12 , σ 2 , ρ ) 其中 μ1 , μ 2 , σ 12 , σ 2 , ρ 均为常数

σ 1 > 0 , σ 2 > 0 , ρ < 1 ,则随机变量 X 与 Y 相互独立的充要条件是 ρ = ______。
解: ρ = 0 。
4、已知随机变量 X 1 , X 2 , X 3 的协方差 COV ( X 1 , X 3 ) = 2 , COV ( X 2 , X 3 ) = 1 ,则

COV ( X 1 + X 2 ,3 X 3 ) = ________。 解:由协方差性质得 COV ( X 1 + X 2 ,3 X 3 ) = 3COV ( X 1 , X 3 ) + 3COV ( X 2 , X 3 ) = 3 × 2 + 3 × 1 = 9 。
5、设总体 X 服从 N ( μ , σ ) ,σ 2 已知, X 1 ,
2

, X n 是来自 X 的样本, X 是样本均值 ,则 μ 的置信度为

1 ? α 的双侧置信区间是___________________。
解:∵ X ? N ( μ , σ 2 ) , σ 2 已知,

X ?μ ? N (0,1) , σ/ n

由 P{

X ?μ ≤ zα } = 1 ? α 得 μ 的置信度为 1 ? α 的双侧置信区间为: σ/ n 2



σ
n

zα ≤ μ ≤ X ±
2

σ
n

zα 。
2

二、选择题(每小题 4 分,共 20 分) 1、对于任意两个事件 A, B , P ( A ? B ) = (
)。

2011-2012-1 学期

《概率论与数理统计 B》-A 卷

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A、 P ( A) ? P ( B ) B、 P ( A) ? P ( AB ) C、 P ( A) ? P ( B ) D、 P ( A) ? P ( B ) + P ( AB )

解:∵ AB, AB 互不相容,
∴ P ( A) = P ( AB ) + P ( AB ) ? P ( A ? B ) = P ( AB ) = P ( A) ? P ( AB ) ? ( B ) 。
2、若 X 的概率密度函数为 f ( x) =

1

π

e? x

2

+4 x?4

,则有(

)。

A、 X ~ N (0, 1)

B、 X ~ N (2, (

1 2 ) ) 2
? ( 2 ( x ? 2)) 2 2

C、 X ~ N (4, ( ) )

1 2

2

D、 X ~ N (2, 1 )

2

解:∵ f ( x) =

1

π

e

? x2 + 4 x ? 4

=

1

π

e

,令 Y =

2( X ? 2) ,有 Y ? f ( y ) =

1

π

e

?

y2 2

即 Y ? N (0,1) ,∴ X =

1 1 Y + 2 ? N (2, ( ) 2 ) ? ( B) 。 2 2 ? ?1 1 ? ? ,则下列各式正确的是( 0.5 ? ?
1 2
)。

3、设随机变量 X , Y 相互独立,分布律均为: ? ? 0.5 ? A、 P { X = Y } = 1 B、 P { X = Y } =

1 4

C、 P { X = Y } =

D、 P { X = Y } = 0

解:由 X , Y 的独立性得: P { X = Y } = P {( X = ?1, Y = ?1),( X = 1, Y = 1)}

= P { X = ?1}P{Y = ?1) + P{ X = 1}P{Y = 1)} = 0.25 + 0.25 = 0.5 。
4、随机变量 X 服从 ( ?3, 3) 上的均匀分布,则 Ε( X ) = (
2

)。

A、 3

B、

9 2

C、 9

D、 18

?1 ? ,  x ∈ (?3, 3) 解:由已知有 X ? f ( x) = ? 6 。 ? ?0,  其它
5、从均值、方差都存在的总体 X 中抽得样本 ( X 1 , X 2 X 3 ) ,下面 4 个统计量都是均值 E ( X ) = μ 的无偏估 计量,则 μ 的有效估计量是( )。

1 1 1 1 1 1 ? = X1 + X 2 + X 3 B、 μ X1 + X 2 + X 3 2 3 6 2 4 4 1 1 1 2 1 2 ? = X1 + X 2 + X 3 ? = X1 ? X 2 + X 3 C、 μ D、 μ 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 7 解:∵ D ( X 1 + X 2 + X 3 ) = ( + + ) D ( X ) = D ( X ) 2 3 6 4 9 36 18 ?= A、 μ
2011-2012-1 学期 《概率论与数理统计 B》-A 卷 第 2 页 共4页

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1 1 1 1 1 1 3 D( X 1 + X 2 + X 3 ) = ( + + ) D( X ) = D( X ) 2 4 4 4 16 16 8 1 1 1 1 1 1 1 D( X 1 + X 2 + X 3 ) = ( + + ) D( X ) = D( X ) 3 3 3 9 9 9 3 2 1 2 4 1 4 D( X 1 ? X 2 + X 3 ) = ( + + ) D( X ) = D( X ) 3 3 3 9 9 9 1 3 7 1 1 1 由 < < < 1 得 X 1 + X 2 + X 3 有效,即选(C)。 3 8 18 3 3 3
三、解答题(本大题共有 6 个小题,共 60 分) 1、(本小题 8 分)某仓库有同样规格的产品六箱,其中三箱是甲厂生产的,二箱是乙厂生产的,另一箱 是丙厂生产的,且它们的次品率依次为 品的概率。

1 1 1 , , ,现从中任取一件产品,试求取得的一件产品是正 10 15 20

解:设 A i (i=1,2,3)分别表示所取一箱产品是甲,乙,丙厂生产的事件,
B 为“取得一件产品为正品” 则 P ( A1 ) = 分 由全概率公式得 P ( B ) = --------2 分

3 9 2 14 1 19 , P ( B A1 ) = , P ( A2 ) = , P ( B A2 ) = , P ( A3 ) = , P ( B A3 ) = --2 6 10 6 15 6 20

∑ P ( A ) P ( B A ) = 6 × 10 + 6 × 15 + 6 × 20 = 360
i =1 i i

3

3

9

2 14

1 19 331

--------4 分

2、(本小题 12 分)设随机变量 X 的分布律为:

X

-2

-1

0

1

3

pk
2

1 5

1 6

1 5

1 15

11 30

求:(1) X 的分布律;

(2) P{?1 < X < 1.5} ;

(3) X 的分布函数 F ( x ) 。

解:(1) X 2 的可能取值为 0,1, 4, 9 ,其分布律为:
X
0 1 4 9

Pk

1 5

7 30 4 15

1 5

11 30
-------4 分 --------4 分

(2) P{?1 < X < 1.5} = P{ X = 0} + P{ X = 1} = (3) X 的分布函数:

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?0, x < ?2 ?1 ? , ? 2 ≤ x < ?1 ?5 ? 11 ? , ?1 ≤ x < 0 ? 30 F ( x) = P{ X ≤ x)} = ? ?17 , 0 ≤ x < 1 ? 30 ? 19 ? , 1≤ x < 3 ? 30 ? 3≤ x ? 1,
3、(本小题 10 分)设 ( X , Y ) 的概率密度函数为: f ( x, y ) = ?

--------4 分

?12e ? (3 x + 4 y ),

x > 0, y > 0 其它

?0,

,求

(1) ( X , Y ) 的分布函数 ;(2) 求 P{0 < X < 1,0 < Y < 2} 。

解:(1) ( X , Y ) 的分布函数 F ( x, y ) = ∫

x

?∞ ?∞



y

f (u, v)dudv
---5 分

x y ?3u ?4 v ?3 x ?4 y ? ?12 ∫0 e du ∫0 e dv, x > 0, y > 0 ?(1 ? e )(1 ? e ), x > 0, y > 0 =? =? 其它 ?0, ? 其它 ?0,

(2) P{0 < X < 1, 0 < Y < 2} =
1 2

0 < x <1,0 < y < 2

∫∫

12e ? (3 x + 4 y ) dxdy
--------5 分

= ∫ e ?3 x dx ∫ e?4 y dy = (1 ? e ?3 )(1 ? e?8 )
0 0

4、(本小题 10 分)设 X 服从 ( ?

1 1 (1)求 X 与 Y 的相关系数 ρ XY ; , ) 上的均匀分布,而 Y = cos X , 2 2

(2)判断 X 与 Y 是否相互独立。

1 1 ? +∞ ?1 ? < x < 解: (1)由 X ? f ( x ) = ? 2 2 可得E ( X ) = ∫?∞ xf ( x)dx = 0 ? ?0 其它
又 E ( XY ) = E ( X cos X ) =

∫ x cos xf ( x)dx = 0
? 1 2

1 2

∴ Cov( X , Y ) = E ( XY ) ? E ( X ) E (Y ) = 0
于是 ρ XY = 0 (2)由于 X 与 Y 有严格的函数关系 Y = cos X ,故不独立。 5、(本小题 10 分)设 X ~ B (1, p ) , X 1 , (1)参数 p 的矩估计量; --------8 分 -------2 分

, X n 是来自 X 的一个样本,求

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理学院鲜大权《概率论与数理统计 B》期末考试辅导 (2)参数 p 的最大似然估计值。

解: (1)∵ μ1 = E ( X ) = p ,令 E ( X ) = A1 = X 解得参数
p 的矩估计量为 p = X
(2)似然函数 L ( p ) = --------4 分

∏p
i =1

n

xi

(1 ? p )1? xi
n

则 ln L( p ) =

∑ x ln( p) + (n ? ∑ x ) ln(1 ? p)
i =1 i i =1 i

n



n d ln L( p ) 1 n 1 (n ? ∑ xi ) = 0 解得参数 p 的最大似然估计量为: = ∑ xi ? dp p i =1 1? p i =1

?= p

1 n ∑ xi = x n i =1

--------6 分

6、(本小题 10 分)某车间用一台包装机包装饼干。袋装饼干的净重是一个服从正态分布的随机变量。当 机器正常时,其均值为 0.5 kg ,标准差为 0.015 kg 。某日开工后为检验包装机是否正常,随机抽取 了它所包装的 9 袋饼干,其平均重量为 0.511 kg 。长期实践表明标准差比较稳定,问当天机器是否正 常?(取显著性水平 α = 0.05 ) 附:

z 0.05 = 1.645, z 0.025 = 1,960, t 0.05 (9) = 1.8331, t 0.025 (9) = 2.2622, t 0.05 (8) = 1.8595, t 0.025 (8) = 2.3060
解: H 0:μ = μ 0 = 0.5
作 U 检验, U =

H 1:μ ≠ μ 0 = 0.5

--------2 分

X ? μ0

σ

n

~ N (0,1)

--------2 分

拒绝域

X ? μ0

σ

n

≥ zα
2

--------2 分



x ? μ0

σ

n

= 2.2 > z 0.025 = 1.96

--------2 分 -------2 分

拒绝原假设,即当天机器不正常。

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