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高2013届高三数学周练(有答案)



高 2012 级高三数学周练(九)
一.选择题 1.设 p : log 2 x ? 0, q : ? ?

?1? ?2?

x ?1

? 1,则 p 是 q 的
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充要条件 B. 充分不必要条件

2.设函数 f ( x) ? a3x?b ? a ? 0, a ? 1? 的图像过点 ? 3,8? ,其反函数的图像过点 ?1, 2? ,则

a?b ?

A. 10

B. 4

C.3

D.-4

3.在各项都为正数的等比数列 ?an ? 中, a1 ? 3 ,前三项的和等于 21 ,则 a4 ? a5 ? a6 ? A.66 4.将函数 f ( x ) ? B.144 C.168 D.378

x 1 1 图像上每一点的横坐标变为原来的 ,纵坐标变为原来的 ,然后再 x ?1 2 2
B. f ( x ) ?

将图像向左平移 1 个单位,所得图像的函数表达式为 A. f ( x ) ?

x ?1 2x ? 3

2x ? 2 2x ?1

C. f ( x ) ?

4x ? 4 2x ? 3

D. f ( x ) ?

x ?1 x ?1

5.定义 R 在上的偶函数 f ( x ) 在 ?0,??? 上递增, f ?

?1? ? ? 0 ,则满足 ?2? ?1 ? ,2? ?2 ?

? f ? log 1 ? 4
? ?

? x ? ? 0的 x 的 ?

取值范围是 A. ? 0, ? 6.在 ?ABC 中,已知 cos A ? A.

? ?

1? 2?

B. ? 2,???

C. ?

D. ? 0,

1? ? ? ? 2, ?? ? 2?

16 65

B.

56 65

5 3 , sin B ? ,则 cos C 的值为 13 5 16 56 16 56 C. 或 D. ? 或 65 65 65 65

7.已知函数 f ( x) ? sin ?? x ? ? ? ? ? ? 0, ? ? 平移

? ?

??

? 的最小正周期为 ? ,将该函数的图像向左 2?

? 个单位后,得到的图像对应的函数为奇函数,则函数 f ( x ) 的图像 6
?? ? , 0 ? 对称 ? 12 ?
B.关于直线 x ?

A.关于点 ?

5? 对称 12

C.关于点 ?

? 5? ? , 0 ? 对称 ? 12 ?

D.关于直线 x ?

?
12

对称

8.若 0 ? ? ?

?
2

,?

?

3 ?? ? 1 ?? ? ? ? ? ? 0 , cos ? ? ? ? ? , cos ? ? ? ? ,则 2 ?4 ? 3 ?4 2? 3
A.

?? ? cos ? ? ? ? ? 2? ?

3 3

B.

?

3 3

C.

5 3 9

D. ?

6 9

9.设数列 ?an ? 是以 2 为首项,1 为公差的等差数列,?bn ? 是以 1 为首项,2 为公比的等比数 列,则 ab1 ? ab2 ? ?? ab10 ? A.1033 B.2057 C.1034 D.2058
2 10.等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 am?1 ? am?1 ? am ? 0 , S2m?1 ? 38 ,则 m ?

A.38

B.20

C.10

D.9

w.w.w. k.s.5. u.c.o.m

11..若函数 f ( x) ? 2 x2 ? ln x 在其定义域内的一个子区间 ? k ?1, k ? 1? 内不是单调函数,则 实数 k 的取值范围是 A. ?1, ?? ? B. ?1, ?

? 3? ? 2?

C. ?1, 2 ?

D. ? , 2 ?

?3 ?2

? ?

12.已知函数 f ( x ) 是定义域为 R 的偶函数,且在定义域 R 内可导,若 f (2 ? x) ? f (2 ? x) , 当 x? ? 0,2? 时, ? x ? 2? f '( x) ? 0 ,设 a ? f ? A. a ? b ? c 1 题号 答案 二.填空题 13.已知 sin ? ? ? B. c ? a ? b 3 4

?3? ?1? ? , b ? f ? ? , c ? f ? 5? ,则 ?2? ?2?
8 D. b ? a ? c 9 10 11 12

2

5

C. b ? c ? a 6 7

? ?

?? 1

? 2? ? ? 2? ? 的值为 ? ? ,则 cos ? 6? 3 ? 3 ?

2 14.已知数列 ?an ? 为等比数列,且 a7 ? a4 , a3 ? 1,则前 8 项的和为

15.已知 tan ?? ? ? ? ?

1 1 , tan ? ? ? ,且 ? , ? ? ? 0, ? ? ,则 2? ? ? ? 2 7

16.已知函数 f ( x) ? sin x ? tan x .项数为 27 的等差数列 ?an ? 满足 a n ? ? ?

? ? ?? , ? ,且公差 ? 2 2?

d ? 0 .若 f (a1 ) ? f (a2 ) ? ? ? f (a27 ) ? 0 ,则当 k =____________时, f (ak ) ? 0 .
三.解答题: 17.已知向量 m ? ? sin x,1? , n ? ? 3 cos x,

??

?

? ?

?? ? ?? 1? ,函数 f ( x) ? m ? n ? m ? 2?

?

?

⑴求 f ( x ) 单调递增区间;⑵若 2? ? f ? x ? ? 0 在 ? 0,

? ?? 上恒成立,求实数 ? 范围。 ? 4? ?

18.高考作文的评卷是由两位教师独立完成的,如果两位教师的评分的分差不超过 6 分,则 取两位阅卷老师的平均分,如果超过 6 分,试卷则传到阅卷组长处再阅。已知甲、乙两位教 师同时阅卷,一篇作文他们认为是一类文的概率均为 0.2,一篇作文评分分差超过 6 分的概 率为 0.1,组长认为是一类文的概率为 0.3. ⑴求某篇作文被认为是一类文的概率; ⑵求 3 篇作文被认为一类文的个数 ? 的分布列和期望。

0 19.如图,函数 y ? 2 cos(? x ? ? )( x ? R,≤ ? ≤ ) 的图
象与 y 轴交于点 (0,3) ,且在该点处切线的斜率为 ?2 . (1)求 ? 和 ? 的值; (2)已知点 A ? ,? ,点 P 是该函 0

π 2

y

3
O
A

P

?π ?2

? ?

x

数图象上一点,点 Q( x0,y0 ) 是 PA 的中点,当 y0 ?

3 ?π ? , x0 ? ? ,π ? 时,求 x0 的值. 2 ?2 ?

20.在数列 {an } 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 ,且 an?1 ? (1 ? q)an ? qan?1 ( n ? 2, q ? 0 ) . (Ⅰ)设 bn ? an?1 ? an ( n ? N ) ,证明 {bn } 是等比数列; (Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式;
*

(Ⅲ)若 a3 是 a6 与 a9 的等差中项,求 q 的值,并证明:对任意的 n ? N ,an 是 an ?3 与 an?6
*

的等差中项.

题号 答案

1 B

2 D

3 C

4 A

5 D

6 A

7 B

8 C

9 A

10 C

11 B

12 C

二.填空题 13.已知 sin ? ? ?

? ?

?? 1

? 2? ? ? 2? ? 的值为 ? ? ,则 cos ? 6? 3 ? 3 ?

?

7 9
8或0

2 14.已知数列 ?an ? 为等比数列,且 a7 ? a4 , a3 ? 1,则前 8 项的和为

15.已知 tan ?? ? ? ? ?

1 1 3? , tan ? ? ? ,且 ? , ? ? ? 0, ? ? ,则 2? ? ? ? ? 2 7 4

16.已知函数 f ( x) ? sin x ? tan x .项数为 27 的等差数列 ?an ? 满足 a n ? ? ?

? ? ?? , ? ,且公差 ? 2 2?

d ? 0 .若 f (a1 ) ? f (a2 ) ? ? ? f (a27 ) ? 0 ,则当 k =_3___________时, f (ak ) ? 0 .

19.解: (1)将 x ? 0 , y ? 3 代入函数 y ? 2cos(? x ? ? ) 得 cos ? ? 因为 0 ≤ ? ≤

3 , 2

? ? ,所以 ? ? . 2 6
x?0

又因为 y? ? ?2? sin(? x ? ? ) , y? 因此 y ? 2cos ? 2 x ?

? ?2 , ? ?

? ,所以 ? ? 2 , 6

? ?

?? ?. 6? ? ? 3 , 2

(2)因为点 A ? ,? , Q( x0,y0 ) 是 PA 的中点, y0 ? 0

?? ?2

所以点 P 的坐标为 ? 2 x0 ?

? ?

? ? ,3 ? . 2 ? ?? 5? ? 3 ? . ? 的图象上,所以 cos ? 4 x0 ? ? ? 6? 6 ? 2 ?

又因为点 P 在 y ? 2cos ? 2 x ? 因为

? ?

? 7? 5? 19? ≤ x0 ≤ ? ,所以 ≤ 4 x0 ? ≤ , 2 6 6 6 5? 11? 5? 13? ? ? 从而得 4 x0 ? 或 4 x0 ? . 6 6 6 6 2? 3? 即 x0 ? 或 x0 ? . 3 4
20.本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前 n 项和公式,考 查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法.满分 12 分.

(Ⅰ)证明:由题设 an?1 ? (1 ? q)an ? qan?1 ( n ? 2 ) ,得

an?1 ? an ? q(an ? an?1 ) ,即 bn ? qbn?1 , n ? 2 .
又 b1 ? a2 ? a1 ? 1 , q ? 0 ,所以 {bn } 是首项为 1,公比为 q 的等比数列. (Ⅱ)解法:由(Ⅰ)

a2 ? a1 ? 1 ,
a3 ? a2 ? q ,
…… ( . an ? an?1 ? q2 , n ? 2 ) 将以上各式相加,得 an ? a1 ? 1 ? q ? ?? qn?2 ( n ? 2 ) .

? 1 ? q n ?1 , ?1 ? 所以当 n ? 2 时, an ? ? 1? q ? n, ?
上式对 n ? 1 显然成立.

q ? 1, q ? 1.

(Ⅲ)解:由(Ⅱ) ,当 q ? 1 时,显然 a3 不是 a6 与 a9 的等差中项,故 q ? 1 . 由 a3 ? a6 ? a9 ? a3 可得 q ? q ? q ? q ,由 q ? 0 得 q ?1 ? 1 ? q ,
5 2 2 8 3 6



整理得 (q3 )2 ? q3 ? 2 ? 0 ,解得 q3 ? ?2 或 q3 ? 1 (舍去) .于是 q ? ? 3 2 .

q n? 2 ? q n?1 q n?1 3 另一方面, an ? an?3 ? ? (q ? 1) , 1? q 1? q an?6 ? an ? q n?1 ? q n?5 q n?1 ? (1 ? q 6 ) . 1? q 1? q
*

由①可得 an ? an?3 ? an?6 ? an , n ? N . 所以对任意的 n ? N , an 是 an ?3 与 an?6 的等差中项.
*



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