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2014年重点高中自主招生考试数学模拟试卷(一)及答案



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2014 年重点高中自主招生考试数学模拟试卷(一)
班级: 姓名: 学号: 成绩:

一、填空题(本大题共有 8 小题,每题 4 分,共 32 分) 1.在△ABC 中,∠C=90° ,cosB= 3 ,a= 3,则 b=_______. 2 A
20°

2.同时抛

掷两枚正方体骰子,所得点数之和为 7 的概率是_________. a+b 3.设 a>b>0,a2+b2=4ab,则 的值等于________. a-b B

E D C

4.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAD=20?,且 AE=AD,则∠CDE=________. 5.已知实数 x、y 满足 x2-2x+4y=5,则 x+2y 的最大值为________. 6.如图,已知梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠B=90° ,AD=3,BC=5,AB=1,把线段 CD 绕点 D 逆时 针旋转 90° 到 DE 位置,连结 AE,则 AE 的长为_________. 7.将正偶数按下表排列: 第1列 第1行 第2行 第3行 第4行 …… 2 4 8 14 6 10 16 12 18 20 第2列 第3列 第4列 B B C C A A D D E E

根据上面的规律,则 2006 所在行、列分别是_____________. 8.如图是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视 图,若组成这个几何体的小正方体的块数为 n,则 n 的所有可能的值 之和为_____________.
主视图 俯视图

二、选择题(本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分) b+c a+b a+c 9.已知 a、b、c 为非零实数,且满足 = = =k,则一次函数 y=kx+(1+k)的图象一定经过 a c b ( (A)第一、二、三象限 (B)第二、四象限 )

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(C)第一象限

(D)第二象限

10. 将直径为 64cm 的圆形铁皮, 做成四个相同圆锥容器的侧面 (不浪费材料, 不计接缝处的材料损耗) , 那么每个圆锥容器的高为 (A)8 15cm (B)8 17cm (C)16 3cm (D)16cm ( )

11.甲、乙、丙、丁四名运动员参加 4× 100 米接力赛,甲必须为第一接力棒或第四接力棒的运动员,那 么这四名运动员在比赛过程中的接棒顺序有 (A)3 种 (B)4 种 (C) 6 种 (D)12 种 ( )

12.如图,把一个边长为 1 的正方形经过三次对折后沿中位线(虚线)剪下,则右图展开得到的图形的 面积为 ( )

沿虚线剪开
(A)
3 4

(B)

1 2

(C)

3 8

(D)

3 16

13.如图,圆柱形开口杯底部固定在长方体水池底,向水池匀速注入水(倒 在杯外),水池中水面高度是 h,注水时间为 t,则 h 与 t 之间的关系大 致为下图中的 ( )

h

h

h

h

O

t

O

t

O

t

O

t

A

B

C

D

15 >x-3 ?x+ 2 14.关于 x 的不等式组? 只有 4 个整数解,则 a 的 取值范围是 2x+2 ? 3 <x+a 14 (A)-5≤a≤- 3





14 14 14 (B)-5≤a<- (C)-5<a≤- (D)-5<a<- 3 3 3 ( )

15.已知如图,则不含阴影部分的矩形的个数是 (A)15 (C)25 (B)24
10

(D)26

8

13

16.在 3× 3 方格上做填字游戏,要求每行每列及对角线上三个方格中的数

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字和都等于 S,又填在图中三格中的数字如图,若要能填成,则 (A)S=24 (B)S=30 (C)S=31 (D)S=39





三、解答题(本大题共 6 小题,满分 66 分). 17. (本题 10 分) 在“3.15”消费者权益日的活动中, 对甲、 乙两家商场售后服务的满意度进行了抽查. 如 图反映了被抽查用户对两家商场售后服务的满意程度(以下称:用户满意度),分为很不满意、不 满意、较满意、很满意四个等级,并依次记为 1 分、2 分、3 分、4 分. (1)请问:甲商场的用户满意度分数的众数为______;乙商场的用户满意度分数的众数为_____. (2)分别求出甲、乙两商场的用户满意度分数的平均值(计算结果精确到 0.01). (3)请你根据所学的统计知识,判断哪家商场的用户满意度较高,并简要说明理由.
甲商场抽查用户数 乙商场抽查用户数

2000

2000

2200

1300 1000 500 500 100 1000 900 1000

很不满意

不满意

较满意

很满意

18.(本题 10 分)已知,如图,△ABC 是等边三角形,过 AC 边上的点 D 作 DG∥BC,交 AB 于点 G, 在 GD 的延长线上取点 E,使 DE=DC,连接 AE、BD. (1)求证:△AGE≌△DAB (2)过点 E 作 EF∥DB,交 BC 于点 F,连 AF,求∠AFE 的度数.
G A D E

B

F

C

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19.(本题 10 分)某公司开发的 960 件新产品,需加工后才能投放市场,现有甲、乙两个工厂都想加 工这批产品,已知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用 20 天,而乙 工厂每天比甲工厂多加工 8 件产品.在加工过程中,公司需每天支付 50 元劳务费请工程师到厂进 行技术指导. (1)甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品? (2)该公司要选择省时又省钱的工厂加工,乙工厂预计甲工厂将向公司报加工费用为每天 800 元, 请问: 乙工厂向公司报加工费用每天最多为多少元时, 才可满足公司要求, 有望加工这批产品. y B
P M A O C F T N

x

20.(本小题满分 12 分)如图,已知直线 y=-m(x-4)(m>0)与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点,以 OA 为直径作半圆,圆心为 C.过 A 作 x 轴的垂线 AT,M是线段 OB 上一动点(与 O 点不重合), 过 M 点作半圆的切线交直线 AT 于 N,交 AB 于 F,切点为 P.连结 CN、CM. (1)证明:∠MCN=90° ; (2)设 OM=x,AN=y,求 y 关于 x 的函数解析式; (3)若 OM=1,当 m 为何值时,直线 AB 恰好平分梯形 OMNA 的面积.

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21.(本题 12 分)已知平行四边形 ABCD 中,点 E、F 分别在边 AB、BC 上. (1)若 AB=10,AB 与 CD 间距离为 8,AE=EB,BF=FC,求△DEF 的面积. (2)若△ADE、△BEF、△CDF 的面积分别为 5、3、4,求△DEF 的面积.
A E
F B

D

C

22.(本题 12 分)已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过点(1,2). (1)若 a=1,抛物线顶点为 A,它与 x 轴交于两点 B、C,且△ABC 为等边三角形,求 b 的值. (2)若 abc=4,且 a≥b≥c,求|a|+|b|+|c|的最小值.

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参考答案
一.填空题(本大题共有 8 小题,每题 4 分,共 32 分). 1 1.1 2. 6 3. 3 4.10°5. 9 2 6.2 5 7.第 45 行,第 13 列 8.38

二.选择题(本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分) 9.D 10.A 11.D 12.A 13.B 14.C 15.C 16.B

三.解答题(本大题共 6 小题,满分 66 分). 17.解:(1)3;3-----------------------(2分) (2)甲商场抽查用户数为:500+1000+2000+1000=4500(户) 乙商场抽查用户数为:100+900+2200+1300=4500(户) -----(3分) 所以甲商场满意度分数的平均值= 500× 1+1000× 2+2000× 3+1000× 4 ≈2.78(分)-----(5分) 4500

100× 1+900× 2+2200× 3+1300× 4 乙商场满意度分数的平均值= ≈3.04(分) 4500 答:甲、乙两商场用户满意度分数的平均值分别为 2.78 分、3.04 分.-----------(7 分) (3)因为乙商场用户满意度分数的平均值较高(或较满意和很满意的人数较多), 所以乙商场的用户满意度较高.--------------------------(10 分)

18.解:(1)∵△ABC 是等边三角形,DG∥BC, ∴△AGD 是等边三角形 AG=GD=AD,∠AGD=60° ∵DE=DC,∴GE=GD+DE=AD+DC=AC=AB ∵∠AGD=∠BAD,AG=AD, ∴△AGE≌△DAB B G

A D E

F

C

------------------------(5 分)

(2)由(1)知 AE=BD,∠ABD=∠AEG-----(6 分) ∵EF∥DB,DG∥BC,∴四边形 BFED 是平行四边形 ∴EF=BD, ∴EF=AE. -------------(7 分)

-----------------(8 分)

∵∠DBC=∠DEF,∴∠ABD+∠DBC=∠AEG+∠DEF,即∠AEF=∠ABC=60° (9 分) ∴△ABC 是等边三角形,∠AFE=60° -----------------(10 分)

19.解:(1)设甲工厂每天加工 x 件,则乙工厂每天加工(x+8)件

----(1 分)

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960 960 由题意得: -20 = ----------------------(3 分) x x+8 解之得:x1=-24, x2=16. 经检验,x1、x2 均为所列方程的根,但 x1=-24 不合题意,舍去.此时 x +8 = 24. 答:甲工厂每天加工 16 件,乙工厂每天加工 24 件. ----------(5 分)

(2)由(1)可知加工 960 件产品,甲工厂要 60 天,乙工厂要 40 天.所以甲工厂的加工总费用 为 60(800 + 50)=51000(元). ------------(6 分) 设乙工厂报价为每天 m 元,则乙工厂的加工总费用为 40(m + 50)元 . 由题意得:40(m + 50)≤51000,解之得 m≤1225 ---------(9 分)

答:乙工厂所报加工费每天最多为 1225 元时,可满足公司要求,有望加工这批产品.-(10 分)

20 解(1)证明:∵AT⊥AO,OM⊥AO,AO 是⊙C 的直径, ∴AT、OM 是⊙C 的切线. 又∵MN 切⊙C 于点 P 1 1 ∴∠CMN= ∠OMN,∠CNM= ∠ANM 2 2 ∵OM∥AN ∴∠ANM+∠OMN =180° 1 1 ∴∠CMN+∠CNM = ∠OMN+ ∠ANM 2 2 1 1 = (∠OMN+ ∠ANM )=90° , ∴∠CMN=90° ------------(3 分) 2 2 (2)由(1)可知:∠1+∠2 = 90 ° ,而∠2 +∠3 = 90 0,∴∠1 =∠3; ∴Rt△MOC∽Rt△CAN OM OC ∴ = AC AN -------------(5 分) ---(1 分)
B F P M 1 O C 2 A x 3 y T N

G

∵直线 y=-m(x – 4)交 x 轴于点 A,交 y 轴于点 B,∴A(4,0), ∴AC =CO = 2 ∵ OM= x,AN = y, ∵ x 2 = 2 y ∴y = 4 x ---------------(7 分)

(3)∵ OM = 1,∴ AN =y = 4,此时 S 四边形 ANMO = 10 ∵直线 AB 平分梯形 ANMO 的面积,∴ △ANF 的面积为 5 --------------(8 分) 1 5 过点 F 作 FG⊥AN 于 G,则 FG· AN=5,∴FG= 2 2 5 3 ∴点 F 的横坐标为 4- = 2 2 -------------------- (9 分) --10 分)

3 ∵M(0,1),N(4,4) ∴直线 MN 的解析式为 y= x+1 4

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∵F 点在直线 MN 上,∴ F 点的纵坐标为 y=

17 3 17 ∴ F( , ) 8 2 8

---------(11 分) --------(12 分)

17 3 17 ∵点 F 又在直线 y=-m(x-4)上 ∴ =-m( -4) ∴m= 8 2 20 21.解:⑴∵AB=10, AB 与 CD 间距离为 8, ∴ SABCD=80 -------(1 分) ∵AE=BE,BF=CF. 1 1 1 ∴S△AED= SABCD,S△BEF= SABCD,S△DCF= SABCD 4 8 4 3 ∴S△DEF=SABCD-S△AED-S△BEF-S△DCF = SABCD=30 8 8 ⑵设 AB=x,AB 与 CD 间距离为 y,由 S△DCF=4 知 F 到 CD 的距离为 x D

A

E F C

B

------(4 分) ---------(5 分)

8 1 8 则 F 到 AB 的距离为 y- ,∴S△BEF= BE(y- )=3, -------(7 分) x 2 x x(xy-14) 6x 6x ∴BE= ,AE=x- = . xy-8 xy-8 xy-8 1 1 x(xy-14) S△AED= AE× y= × × y=5,得(xy)2-24 xy+80=0,xy=20 或 4----(10 分) 2 2 xy-8 ∵SABCD=xy>S△AED=5,∴xy=4 不合,∴xy=20 S△DEF=SABCD-S△AED-S△BEF-S△DCF =20-5-3-4=8 ---------- (12 分)

22.解:⑴由题意,a+b+c=2, ∵a=1,∴b+c=1

------------(1 分)

b b2 抛物线顶点为 A(- ,c- ),设 B(x1,0),C(x2,0), 2 4 ∵x1+x2=-b,x1x2=c,△=b2-4c>0 ∴|BC|=| x1-x2|= | x1-x2|2= (x1+x2)2-4 x1x2= b2-4c ∵△ABC 为等边三角形,∴ b2 3 2 -c= b -4c -------------(4 分) 4 2

即 b2-4c=2 3· b2-4c,∵b2-4c>0,∴ b2-4c=2 3 ∵c=1-b, ∴b2+4b-16=0, b=-2± 2 5,所求 b 值为-2± 2 5---(6 分)

⑵∵a≥b≥c,若 a<0,则 b<0,c<0,a+b+c<0,与 a+b+c=2 矛盾.∴a>0.--(7 分) 4 4 ∵b+c=2-a,bc= ,∴b、c 是一元二次方程 x2-(2-a)x+ =0 的两实根. a a 4 ∴△=(2-a)2-4× ≥0,∴a3-4a2+4a-16≥0, 即(a2+4)(a-4)≥0,故 a≥4---(9 分) a ∵abc>0,∴a、b、c 为全大于0或一正二负. ①若 a、b、c 均大于0,∵a≥4,与 a+b+c=2 矛盾;------(10 分)

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②若 a、b、c 为一正二负,则 a>0,b<0,c<0, 则|a|+|b|+|c|=a-b-c=a-(2-a)=2a-2,-----------(11 分) ∵ a≥4,故 2a-2≥6,当 a=4,b=c=-1 时,满足题设条件且使不等式等号成立. 故|a|+|b|+|c|的最小值为 6. ----------(12 分)

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