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第1讲《坐标系》本讲小结(含答案解析)



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【金版学案】2015-2016 学年高中数学 第一讲 坐标系本讲小结 新 人教 A 版选修 4-4
一、基本内容简介 1.极坐标的有关概念;平面上点的直角坐标(x,y)和极坐标(ρ ,θ )的意义以及二者 间的相互关系. 2.空间中点的直角坐标(x,y,z)和柱坐标(ρ ,θ ,z)、球面坐标(

r,φ ,θ )的意义, 以及它们之间的相互关系. 3.平面上曲线的极坐标方程的概念及求法. 4.过极点以及与极轴垂直的直线的极坐标方程的形式. 5.过极点且圆心在极轴上的圆的极坐标方程的形式,它与该圆的直角坐标方程的互 π 化.类似讨论过极点且圆心在射线 θ =± 上的圆的极坐标方程. 2 二、求曲线极坐标方程 1.求极坐标方程的方法.求曲线的极坐标方程的方法和步骤与求直角坐标方程的方法 类似, 就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹. 将已知条件用曲线上的点的极坐标 ρ 、θ 的关系式 f(ρ ,θ )=0 表示出来,就得到曲线的极坐标方程.具体步骤如下: (1)建立适当的极坐标系,设 P(ρ ,θ )是曲线上任意一点. (2)由曲线上的点所适合的条件, 列出曲线上任意一点的极径ρ 和极角θ 之间的关系式. (3)将列出的关系式进行整理、化简,得出曲线的极坐标方程. (4)证明所得方程就是曲线的极坐标方程,若方程的推导过程正确,化简过程都是同解 变形,证明可以省略. 2. 求平面曲线的极坐标方程, 就是要找极径 ρ 和极角 θ 之间的关系, 常用解三角形(正 弦定理、余弦定理)的知识,利用三角形的面积相等来建立 ρ 、θ 之间的关系. 三、柱坐标与球坐标 1.柱坐标. 设空间中一点 M 的直角坐标为(x,y,z),点 M 在 Oxy 坐标面上的投影点为 M0,点 M0 在

Oxy 平面上的极坐标为(ρ ,θ ),如图甲所示,则三个有序数 ρ ,θ ,z 构成的数组(ρ ,
θ ,z)称为空间中点 M 的柱坐标.在柱坐标中,限定 ρ ≥0,0≤θ <2π ,z 为任意实数.由 此可见,柱坐标就是平面上的极坐标加上与平面垂直的一个直角坐标.因此,由平面上极坐

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x=ρ cos θ , ? ? 标和直角坐标的变换公式容易得到空间直角坐标与柱坐标的变换公式?y=ρ sin θ , ? ?z=z.

在极坐标中,方程 ρ =ρ 0(ρ 0 为不等于 0 的常数)表示圆心在极点,半径为 ρ 0 的圆, 方程 θ =θ 0(θ 0 为常数)表示与极轴成 θ 0 角的射线. 而在空间的柱坐标系中, 方程 ρ =ρ
0

表示中心轴为 z 轴,底半径为 ρ 0 的圆柱面,它是上述圆周沿 x 轴方向平行移动而成的.方 程 θ =θ 0 表示与 Oxz 坐标面成 θ 0 角的半平面. 方程 z=z0 表示平行于 Oxy 坐标面的平面(如 图乙所示).常把上述的圆柱面、半平面和平面称为柱坐标系的三族坐标面. 2.球坐标. 设空间中一点 M 的直角坐标为(x,y,z),点 M 在 Oxy 坐标面上的投影点为 M0,连接 OM 和 OM0.

→ → 如下图所示,设 z 轴的正向与向量OM的夹角为 φ ,x 轴的正向与OM0的夹角为 θ ,点 M

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到原点 O 的距离为 r,则由三个数 r,θ ,φ 构成的有序数组(r,φ ,θ )称为空间中点 M 的球坐标.若设投影点 M0 在 Oxy 平面上的极坐标为(ρ ,θ ),则极坐标 θ 就是上述的第二 个球坐标θ ,在球坐标中限定 r≥0,0≤φ ≤π ,0≤θ <2π . 下面给出点 M 的直角坐标与球坐标的变换公式. 由图可知 z=rcos φ ,ρ =rsin φ , 而 x=ρ cos θ =rsin φ cos θ ,y=ρ sin θ =rsin φ sin θ , 由此得坐标变换公式:

x=rsin φ cos θ , ? ? ?y=rsin φ sin θ , ? ?z=rcos φ .
在空间的球坐标系中,方程 r=r0(r0 为正常数)表示球心在原点,半径为 r0 的球面;方 程 θ =θ 0(0≤θ 0<2π )表示过 z 轴的半平面,它与 Oxz 坐标面的夹角为 θ 0;方程 φ = π φ 0(0≤φ ≤π )表示顶点在原点,半顶角为 φ 0 的圆锥面,它的中心轴是 z 轴,φ 0< 时它 2 π π 在上半空间,φ 0> 时它在下半空间,φ 0= 时它是 Oxy 平面,如下图所示: 2 2

四、极坐标系与直角坐标系的有关问题 1. 极径是距离, 当然是正的, 可为何又有“负极径”的概念呢?“负极径”中的“负” 的含义是什么? 名师剖析:根据极径定义,极径是距离,当然是正的.极径是负的,等于极角增加π . 负极径的负与数学中历来的习惯相同,用来表示“反向”,比较来看,负极径比正极径多了 一个操作:将射线 OP“反向延长”.而反向延长也可以说成旋转π ,因此,所谓“负”实 质是管方向的.如:直角坐标系中点的坐标是负的;两个向量对应的数一正一负,方向也表

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示是相反的. 一般情况下,如果不做特殊说明,极径指的都是正的. 2.为何我们不要把对直角坐标系内的点和曲线的认识套用到极坐标系内?用极坐标与 直角坐标来表示点和曲线时,二者究竟有哪些明显的区别呢? 名师剖析:(1)在平面直角坐标系内,点与有序实数对即坐标(x,y)是一一对应的,可 是在极坐标系内,虽然一个有序实数对(ρ ,θ )只能与一个点 P 对应,但一个点 P 却可以与 无数多个有序实数对(ρ ,θ )对应.例如(ρ ,2nπ +θ )与(-ρ ,(2n+1)π +θ )(n 为整 数)表示的是同一个点,所以点与有序实数对极坐标(ρ ,θ )不是一一对应的. (2)在直角坐标系内, 一条曲线如果有方程, 那么曲线和它的方程是一一对应的(解集完 全相同且互相可以推导的等价方程,只看作一个方程).可是在极坐标系内,虽然是一个方 程只能与一条曲线对应, 但一条曲线却可以与多个方程对应, 所以曲线和它的方程不是一一 对应的. (3)在直角坐标系内,曲线上每一点的坐标一定适合它的方程,可是在极坐标系内,曲 线上一点的所有坐标不一定都适合方程.例如给定曲线 ρ = θ ,设点 P 的一极坐标为

?π ,π ?,那么点 P 适合方程 ρ =θ ,从而是曲线上的一个点,但点 P 的另一个极坐标 ?4 4? ? ? ?π ,9π ?就不适合方程 ρ =θ 了.所以在极坐标系内,确定某一个点 P 是否在某一曲线 C ?4 4 ? ? ?
上,只需判断点 P 的极坐标中是否有一对坐标适合曲线 C 的方程即可. 五、几点需注意的问题 1.平面直角坐标系中的伸缩变换. 函数 y=f(ω x)(x∈R,ω >0,且 ω ≠1)的图象可以看作是 f(x)图象上所有点的横坐标 缩短(当 ω >1 时)到原来的 1 或伸长(当 0<ω <1 时)为原来的 ω 倍而得到的(纵坐标不 ω

变).函数 y=Af(x)(x∈R,A>0,且 A≠1)的图象可以看作是 f(x)图象上所有点的纵坐标伸 1 长(当 A>1 时)到原来的 A 倍或缩短(当 0<A<1 时)到原来的 倍而得到的(横坐标不变).

A

图形变换中的伸缩变换我们可记作变换公式? 坐标. 2.极坐标系及直线与圆的极坐标方程.

? ?x′=λ ?y′=μ ?

x,λ >0, y,μ >0,

在使用时,需分清新旧

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ρ =x +y , ? ?x=ρ cos θ , ? ? 注意转化公式? 的灵活运用. y (x≠0)和? ? tan θ = ?y=ρ sin θ ? x ? 3.求轨迹方程. 求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法,在极坐标中仍然适用,注意求谁 设谁,找出所设点的坐标ρ 、θ 的关系.

2

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