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函数与方程教学设计



单元课题:函数与方程

太原市 二 O 一 O 年十二月 单元课题:函数与方程 一、课标要求与教材分析 1、课标要求: 结合二次函数的图像,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了 解函数的零点与方程根的联系; 根据具体函数的图像, 能够借助计算器用二分法求相应方程 的近似解,了解这种方法是求方程近似解的常用方法。 2、教材分析:用二分法求方程的近似解是函

数零点性质的应用,它蕴含了数值逼近、数形贯 通和算法的数学思想。 这一节安排在学生已经掌握了函数的概念并充分地了解函数的图象与 性质之后,意在进一步确立函数在高中数学知识当中的核心地位。 二、学情分析 学生已经学习了函数,理解函数零点和方程根的关系, 初步掌握函数与方程的转化思想.但 是对于求函数零点所在区间, 只是比较熟悉求二次函数的零点, 对于高次方程和超越方程对 应函数零点的寻求会有困难.另外算法程序的模式化和求近似解对他们是一个全新的问题。 三、教学目标 新课程改革下的高一学生思维活跃,勇于探究,乐于合作,但是也存在逻辑推理能力、 总结 归纳能力以及运算能力不强等特点。根据上面对教材的分析,并结合学生的认知水平和思维 特点,确定本节课的教学目标: 1.知识与技能目标 了解二分法的基本思想;能够借助计算机(或计算器)用二分法求相应方程的近似解;掌握 方程的根与函数的零点之间的关系,体会函数的核心地位,形成用函数的观点处理数学问题的

意识。 2.过程与方法目标 通过亲历“用二分法求方程的近似解”的全过程,主动探求处理该问题的规律,进一步体 会数形结合、函数与方程、极限、算法等数学思想;通过信息技术的介入,提升学生的信息素 养,促其深刻洞察数学本质。 3.情感态度价值观目标 体验无线逼近的过程,感受精确与近似的相对统一。为学习算法做准备,在探究解决问题的 过程中,提倡同学间的主动合作、积极交流。 课时课题:用二分法求方程的近似解 一、教学目标: (1)知识与技能:理解二分法的概念,掌握运用二分法求简单方程近似解的方法;借助科 学计算器,让学生永计算器自己验证求方程近似解的过程。 (2)过程与方法:体会二分法的思想和方法,使学生体验并理解函数与方程的相互转化的 数学思想,让学生了解近似逼近思想,培养学生能够探究问题的能力。 (3)情感、态度与价值观:正面解决问题困难时,可通过与会的方法去解决。 二、教学重点:能够借用计算器用二分法求相应方程的近似解。 三、教学难点:对二分发的理论支撑的理解。 四、教学方法与手段:实例导入、推出课题、实践探究、总结提炼、学生总结、反思。 五、使用教材的构想:倡导积极主动,勇于探索的学习方式,运用树形结合、图标、信息技 术、教师引导——学生探索相结合的教学方法,学生亲身经历、感受来获取知识,培养学生 观察、发现、抽象与概括、运算求解、数据处理、感悟与构建等思维过程。 六、教学流程 (一)设置情景,导入新课 问题 1:在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是 一条 10km 长的线路,如何迅速查出故障所在? 如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多.每查一个点要爬一次电线杆子.10km 长,大 约有 200 多根电线杆子呢. (设计意图:从实际问题入手,利用计算机演示用二分法思想查找故障发生点,通 过演示让学生初步体会二分法的算法思想与方法,说明二分法源于现实生活,并在 现实生活中广泛应用。 ) 想一想,维修线路的工人师傅怎样工作最合理? 学生独立思考,可能出现的以下解决方法: 思路 1:直接一个个电线杆去寻找. 思路 2:通过先找中点,缩小范围,再找剩下来一半的中点. (二)引导探究,获得新知 问题 2:假设电话线故障点大概在函数的零点位置,请同学们先猜想它的零点大概是什么? 我们如何找出这个零点? 我们已经知道,函数在区间(2,3)内有零点,且<0,>0.进一步的问题是,如何找出这 个零点? 合作探究:学生先按四人小组探究.(倡导学生积极交流、勇于探索的学习方式,有助于发 挥学生学习的主动性) 生:如果能够将零点所在的范围尽量缩小,那么在一定精确度的要求下,我们可以得到零点 的近似值. 师:如何有效缩小根所在的区间?

生 1:通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围. 生 2:是否也可以通过“取三等分点或四等分点”的方法逐步缩小零点所在的范围? 师:很好,一个直观的想法是:如果能够将零点所在的范围尽量缩小,那么在一定精确度的 要求下,可以得到零点的近似值.其实“取中点”和“取三等分点或四等分点”都能实现缩 小零点所在的范围.但是在同样可以实现缩小零点所在范围的前提下, “取中点”的方法比取 “三等分点或四等分点”的方法更简便.因此,为了方便,下面通过“取中点”的方法逐步 缩小零点所在的范围. 引导学生分析理解求区间的中点的方法 X=. 合作探究: (学生 2 人一组互相配合,一人按计算器,一人记录过程.四人小组中的两组比 较缩小零点所在范围的结果. ) 步骤一:取区间(2,3)的中点 2.5,用计算器算得. 由>0,得知,所以零点在区间(2.5,3)内。 步骤二:取区间(2.5,3)的中点 2.75,用计算器算得.因为,所以零点在区间(2.5,2.75)内.? 结论: 由于?, 所以零点所在的范围确实越来越小了. 如果重复上述步骤, 在一定精确度下, 我们可以在有限次重复上述步骤后, 将所得的零点所在区间内的任一点作为函数零点的近似 值.特别地,可以将区间端点作为函数零点的近似值.(见下表和图)

(设计意图:从问题一到问题二,体现了数学转化的思想方法,问题二使学生更深刻地理解 二分法的思想,也突出了二分法的特点,通过问题二让学生掌握常见函数零点的求法,明确 二分法的适用范围) 问题 3:对于其他函数,如果存在零点是不是也可以用这种方法去求它的近似解呢? 引导学生把上述方法推广到一般的函数,经历归纳方法的一般性过程之后得出二分 法及用二分法求函数的零点近似值的步骤. 对于在区间,上连续不断且满足·的函数,通过不 断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 给定精确度,用二分法求函数的零点近似值的步骤如下: 1、确定区间, ,验证· ,给定精确度; 2、求区间,的中点; 3、计算: (1)若=,则就是函数的零点; (2)若·<,则令=(此时零点) ; (3)若·<,则令=(此时零点) ; 4、判断是否达到精确度: 即若,则得到零点零点值(或) ;否则重复步骤 2—4. (三)例题剖析,巩固新知 例:借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解(精确度 0.1). 两人一组,一人用计算器求值,一人记录结果;学生讲解缩小区间的方法和过程,教师点评.

本例鼓励学生自行尝试,让学生体验解题遇阻时的困惑以及解决问题的快乐.此例让学生体 会用二分法来求方程近似解的完整过程,进一步巩固二分法的思想方法. 思考: 问题(1) :用二分法只能求函数零点的“近似值”吗? 问题(2) :是否所有的零点都可以用二分法来求其近似值? 教师有针对性的提出问题,引导学生回答,学生讨论,交流. 反思二分法的特点,进一步明 确二分法的适用范围以及优缺点,指出它只是求函数零点近似值的“一种”方法. (四)尝试练习,检验成果 1、下列函数中能用二分法求零点的是( ). 2、用二分法求图象是连续不断的函数在∈(1,2)内零点近似值的过程中得到,,,则函数的零点 落在区间( ). (A)(1,1.25)?? (B)(1.25,1.5) (C)(1.5,2) (D) 不能确定 3、借助计算器或计算机,用二分法求方程在区间(2,3)内的近似解(精确度 0.1). (五)课堂小结,回顾反思 学生归纳,互相补充,老师总结: 1、理解二分法的定义和思想,用二分法可以求函数的零点近似值,但要保证该函数在零点 所在的区间内是连续不断; 2、用二分法求方程的近似解的步骤. (六)课外作业 1.[书面作业]第 92 页习题 3.1A 组 3、4、5; 2.[知识链接]第 91 页阅读与思考“中外历史上的方程求解” . 3. [课外思考]:如果现在地处学校附近的地下自来水管某处破裂了,那么怎么找出这个破裂处, 要不要把水泥板全部掀起? 板书设计 §3.1.2 用二分法求方程的近似解 1.二分法的定义 2.用二分法求函数的零点近似值的步骤 3.用二分法求方程的近似解 七、教学反思 整个过程让学生通过自主探索、合作交流,亲身经历了“情境思考”——“提出问题”—— “研究特例”——“实验探究”——“理论探究”——“解决问题”——“反思总结”的历 程, 增强学习数学的信心, 体验学习数学的乐趣.使学生成为利用二分法求方程近似解的 “发 现者”和“创造者” 。 八、教师简介 姓名: 杨凤英,职称: 初级 ,学校:太原五十八中学 ,教学特色:严谨.



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