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海南省嘉积中学2014—2015学年度第二学期高三大测(三)数学科试题(理科)Word版含答案



海南省嘉积中学 2014—2015 学年度第二学期高三大测(三)

数学科试题(理科)
(时间:120 分钟
欢迎你参加这次考试,祝你取得好成绩!
注意事项: 1、请考生把试题卷的答案写在答题卷上,并在方框内答题,答在框外不得分; 2、禁止考生使用计算器作答.

满分:150 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. 已知全集 U ? R ,集合 A ? {x x 2 ? 2 x ? 3} , B ? {x log3 x ? 1} ,则下列关系 正确的是( A. A ? CUB=R 2. 已知 (5 x ? ( A. 15 ) B. ?15 C. ?375 D. 375 ) B. B ? CUA=R C. A ? B ? R D. A ? B ? A

1 n ) 的展开式中二项式系数之和是 64,则它的展开式中常数项是 x

3. 已 知 命 题 p : “ 若 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 , 则 x ? 1 ” 的 逆 否 命 题 为 “ 若 x ? 1 , 则
x 2 ? 3x ? 2? 0 ”,命题 q :“ a 2 ? b 2 ”的充要条件为“ ln a ? ln b ”,则下列复合命
1 1

题中假命题是( A. p ? q

) B. p ? q C. (?p) ? q D. p ? (?q) )

? ? ? ? ? ? ? 4. 若向量 a, b 的夹角为 , a ? ( 2, 2) , a ? 2b ? 2 3 ,则 b ? ( 3

A.

3

B. 1

C. 4 ) C. 6

D. 3

5. 执行如图所示的程序框图,则输出的 i ? ( A. 4 B. 5

D. 7

6. 已知随机变量 X 服从正态分布, 其正态分布密度曲线为函 数 f ( x) ?

1

2 π P( X ? 4 ? )(
1 6
?
0

e

? ( x ?2) 2 2

的图象,若

?

2

0

f ( x )dx ?

1 ,则 3


1 4

A.

B.

C.

1 3

D. )

1 2

7. 定积分 ? sin x ? cos x dx 的值是( A. 2 ? 2 ( ) A. 2014 B. 2 ? 2

C. 2

D. 2 2

8. 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 4, an?1 ? an ? 2 an ? 1,则 a2015 ? B. 2015 C. 2016 D. 2017 )

? cos ? 9. 已知 ? ? (0, ), ? ? (0, ? ) ,且 tan ? ? ,则( 2 1 ? sin ?
A. 2? ? ? ?

?
2

B. 3? ? ? ?

?
2

C. 2? ? ? ?

?
2

D. 3? ? ? ?

?
2

10. 若函数 f ? x ? ( x ? R) 对任意 x1 ? x2 ,都有 x1 f ( x1 ) ? x2 f ( x2 ) ? x1 f ( x2 ) ? x2 f ( x1 ) , 则函数 f ( x) 是( A. 增函数 ) B. 减函数 C. 奇函数 D. 偶函数

11. 已知点 F (c, 0) (c ? 0) 是椭圆

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 的右焦点, F 关于直线 y ? x 的对称 2 a b 3 点 A 也在椭圆上,则该椭圆的离心率是( )

A.

3?2

B.

3 ?1
g ( x)

C.

3 ?1 2

D. ? 3 ? 2

12. 已知求形如函数 y ? ? f ( x ) ?
ln y ? g ( x) ln f ( x)

的导数的方法如下:先两边同取自然对数得: 两 边 同 , 时 求 于 导 数 是 得 得 到 : 到





1 1 ?y? ? g ?( x)?ln f ( x) ? g ( x)? ?f ?( x) y f ( x)

y? ? ? f ( x) ?
1

g ( x)

? ? 1 ? ln f ( x) ? g ( x)? ?f ?( x) ? . 运 用 此 方 法 求 得 函 数 ? g ?( x)? f ( x) ? ?


y ? x x ( x ? 0) 的极值情况是(

? 1? A. 极大值点为 ? e, e e ? ? ?
C. 极大值点为 e

? 1? B. 极小值点为 ? e, e e ? ? ?
D. 极小值点为 e

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. 已 知 在 ?ABC 中 , a ? 3 , b ? 1? b ,

co C ? s ? c

, 则 cB o s ?ABC 的 面 积

为 14. 复数 z ?

.
2 2 ? i , i 是虚数单位,则 z 2015 = 2 2

.

15. 已知几何体由两个直棱柱组合而成,其三视图和直观图如图所示 .设两异面直
cos ? 的值为 ? 线 AQ 1 , PD 所成的角为 ,则

.

16. 如图, 已知抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线与 x 轴交于点 R , 过焦点 F 作倾斜角为
2? 的直线 l 与抛物线 C 交于 A, B 两 3

点,过 A, B 两点分别作准线的垂线,垂足分别为 P, Q ,则

S?PAR : S?QBR 的值等于

.

三、解答题(本大题共 5 小题,满分 60 分.解答应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 满足 an ? an?1 ? 3n , n ? 1, 2,3,?,且 a1 ? 1 . (1)求证:当 n ? 2 时,总有
an ?1 ?3; an ?1

?log3 an , n为奇数, ? (2)数列 ?bn ? 满足 b n ? ? 2 求 ?bn ? 的前 2n 项和 S 2 n . ? a , n为偶数, ? n

18. (本小题满分 12 分) 某校对数学、物理两科进行学业水平考前辅导,辅导后进行测试,按照成绩 (满分均为 100 分)划分为合格(成绩大于或等于 70 分)和不合格(成绩小于 70

分).现随机抽取两科各 100 名学生的成绩统计如下: 成绩(单位:分) [50,60) 数学 物理 8 7
[60,70) [70,80) [80,90) [90,100]

12 18

40 40

32 29

8 6

(1)试分别估计该校学生数学、物理合格的概率; (2)设数学合格一人可以赢得 4 小时机器人操作时间,不合格一人则减少 1 小时 机器人操作时间;物理合格一人可以赢得 5 小时机器人操作时间,不合格一 人则减少 2 小时机器人操作时间.在(1)的前提下, (i)记 X 为数学一人和物理一人共同赢得的机器人操作时间(单位:小时)总和, 求随机变量 X 的分布列和数学期望; (ii)随机抽取 4 名学生,求这四名学生物理考前辅导后进行测试所赢得的机器人 操作时间不少于 13 小时的概率.

19. (本小题满分 12 分)
? 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,AB ? AC ? AA1 ? BC1 ? 2 ,?AAC BC ? 6 , 1 1 ? 60 ,

D. AC1 与 AC 1 相交于点

(1)求证: BD ? 平面 AAC 1 1C ; (2)求二面角 A1 ? AB ? C1 的正弦值.

B1 C1

B

C D A

A1
20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 离 心 率 e ? ,左、右焦点分别是 2 a b 2

F 1、F 2 ,以原点 O 为圆心,椭圆 C 的短半轴为半径的圆与直线 l : x ? y ? 2 ? 0 相切.
(1)求椭圆 C 的标准方程;

( 2 )设 P 为椭圆 C 上不在 x 轴上的一个动点,过点 F 2 作 OP 的平行线交椭圆与
M 、N 两个不同的点,记 S1 ? S?PF 2 M , S2 ? S?OF 2 N ,令 S ? S1 ? S2 ,求 S 的最大

值.

y

O

x

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? x ?
4 ? a ln x ? 1(a ? R) . x

(1)若曲线 y ? f ( x) 在点 ?1, f (1) ? 处的切线与 y 轴垂直,求 f ( x) 的极值; (2)当 a ? 4 时,若不等式 f ( x) ? 2 在区间 [1, 4] 上有解,求实数 a 的取值范围.

四、选做题:请考生在 22, 23, 24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第 一题计分 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲 如图, 在 ? O 直径 AB 的延长线上任取一点 C , 过点 C 做直线 CE 与 ? O 交于点
D 、 E ,在 ? O 上取一点 F ,使 ? AE ? ? AF ,连接 DF ,交 AB 于 G .

(1)求证: E 、 D 、 G 、 O 四点共圆;
CB (2)若 CB ? OB ,求 的值. CG

E D C B G O F A

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴,建 立极坐标系 . 曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4 cos ? (0 ? ? ?

?
2

) ,直线 l 的参数方程是

? ? x ? ?3 ? t cos ? ? 6 (t为参数) . ? ? ? y ? t sin ? 6 ?
(1)求直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 的参数方程; (2)求曲线 C 上的动点 M 到直线 l 的距离的范围.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5 不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? a ,(a ? R) . (1)若当 0 ? x ? 4 时, f ( x) ? 2 恒成立,求实数 a 的取值; (2)当 0 ? a ? 3 时,求证: f ( x ? a) ? f ( x ? a) ? f (ax) ? af ( x).

嘉积中学 2014-2015 学年度第二学期高三大测(三)
数学科(理科)答案 一、 选择题

ADBBC,ADCCA,BC
二、填空题

13、

3 4

14、

2 2 ? i 2 2

15、

15 15

16、

1 9

三、解答题 17. 解: (1) n ? 2 时, an?1 ? an ? 3n?1

?

an ?an?1 3n ? ?3 an?1 ?an 3n?1
an ?1 ? 3? n ? 2? an?1

?

(2) a1 ? a2 ? 31, 又a1 ? 1

? a2 ? 3
由(1)知 ?an ? 的奇数项、偶数项分别构成公比 q ? 3 的等比数列

a2n?1 ? a1qn?1 ? 1? 3n?1 ? 3n?1, b2n?1 ? log3 a2n?1 ? n ?1
a2 n ? a2 q n?1 ? 3 ? 3n ?1 ? 3n , b2 n ? 2 2 ? n a2 n 3

S2n ? (b1 ? b3 ? ? ? b2n?1 ) ? (b2 ? b3 ? ? ? b2n )
2? ?2 2 ? (0 ? 1 ? ? ? (n ? 1)) ? ? ? 2 ? ? ? n ? 3 ? ?3 3

40 ? 32 ? 8 4 ? 100 5 40 ? 29 ? 6 3 ? 物理合格率 P2 ? 100 4

2? ?1? ?1 ? ? ? ?3? (n ? 1)n 3 ? ? ? ? 1 2 1? 3 ( n ? 1)n 1 ? ?1? n 2 3

n

? ? ? ?

18. 解: (1)数学合格率 P 1 ?

……………………….1 ………………………2

(2) (i)随机事件 X 的取值为 9, 4, 2, ?3
P ( X ? 9) ? 4 3 3 ? ? 5 4 5

……………………….3

4 3 3 P( X ? 4) ? (1 ? ) ? ? 5 4 20 4 3 1 P( X ? 2) ? ? (1 ? ) ? 5 4 5 4 3 1 P( X ? ?3) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 5 4 20 ?3 X 9 4 2 3 3 1 1 P 5 20 5 20 3 3 1 1 25 EX ? 9 ? ? 4 ? ? 2 ? ? (?3) ? ? 5 20 5 20 4

……………………4 ……………………5 ……………………6

……………………8

(ii)设这 4 名学生物理辅导后测试合格人数为 n(n ? 0,1, 2,3, 4) ,则由题意得
5n ? 2(4 ? n) ? 13 ,解得 n ? 3, 所以n ? 3或4

…………………10 …………………12

?3? 所求概率 P ? C3 4? ? ?4?

3

189 ? 3? 4?3? ? 1 ? ? ? C4 ? ? ? ? 4? ? 4 ? 256

4

? 19. 解: (1)由题意,菱形 ACC1 A1 中, AC ? AA1 ? 2, ?AAC 1 1 ? 60

? DA ? DC1 ? 1, DC ? DA1 ? 3
又? ?BAC1中, BA ? BC1 ? 2

? BD ? AC1 (三线合一), 且BD ? 3
??BCD中,BC 2 ? DB 2 ? DC 2
? BD ? DC

又? DC ? 面AAC 1 1C, 且DC ? AC1 ? D

? BD ? 面AAC 1 1C
(2)由(1)知 DA1 , DA, DB 两两垂直,建立如图空间直角坐标系

A1 ( 3,0,0), A(0,1,0), B(0,0, 3), C1(0, ?1,0) ???? ? 易得 DA1 ? 面ABC1 ,故 DA1 ? ( 3,0,0) 是平面 ABC1 的一个法向量
? 设 n ? ( x, y, z) 是平面 ABA1 的一个法向量

? ??? ? ? ?n?AB ? ? y ? 3z ? 0 ? ? ???? ? ?n?AA1 ? 3x ? y ? 0

? 令 y ? 3 ,则 x ? z ? 1, 故n ? (1, 3,1)
设二面角 A1 ? AB ? C1 为 ? ,则 0? ? ? ? 180?

? ???? ? 3 ?0?0 1 cos n, DA1 ? ? 5? 3 5 ? ???? ? 2 sin ? ? 1 ? cos 2 n, DA1 ? 5 5

20. 解: (1) b ? 又e ?

0?0?2 1?1

? 2

c , 且a 2 ? b 2 ? c 2 a 解得: a ? 2
C 的方程为:

x2 y 2 ? ?1 4 2

(2) F2 ( 2,0) ,设 M ( x1 , y1 ), N ( x1, y1 )

? OP ? F2 M

? S?PF2M ? S?OF2M
? S ? S?OF2 M ? S?OF2 N ? S?OMN ? ? 2 ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 2
x2 y 2 ? ? 1得 4 2

1 OF2 y1 ? y2 2

设直线 MN : x ? ky ? 2 ,并将 x ? ky ? 2 带入

(k 2 ? 2) y 2 ? 2 2ky ? 2 ? 0
? y1 ? y2 ? ?2 2k ?2 , y1 ?y2 ? 2 2 k ?2 k ?2

?S ?

2 ?2 2k 2 ?2 k 2 ?1 ( 2 ) ?4 2 ?2 2 2 k ?2 k ?2 (k 2 ? 2) 2

?2 2

k 2 ?1 1 ?2 2 2 (k ? 1) ? 1 k 2 ?1 ?
1 k 2 ?1

1 k 2 ?1

? k 2 ?1 ?

? 2(等号成立当且仅当k ? 0)

?当k ? 0时, Smax ? 2

21. 解: (1) f ?( x) ? 1 ?

4 a ? x2 x

由题意,切线斜率 k ? f ?(1) ? 1 ? 4 ? a ? 0
?a ? 5

4 4 5 x2 ? 5x ? 4 ? ? f ( x) ? x ? ? 5ln x ? 1, f ( x) ? 1 ? 2 ? ? ( x ? 0) x x x x2

f ?( x) ? 0,则x ? 1或x ? 4

x
f ?( x )
f ( x)

(0,1)

1

(1, 4)

4

(4, ??)

?
?

0

?

0

?
?

极大值

?

极小值

? f ( x) 的极小值为 f (4) ? 4 ?1 ? 5ln 4 ? 1 ? 4 ?10ln 2 f ( x) 的极大值为 f (1) ? 1 ? 4 ? 0 ? 1 ? ?2

(2)由题意,当 a ? 4 时, f ( x) 在 [1, 4] 上的最大值 M ? 2
f ?( x) ? x 2 ? ax ? 4 (1 ? x ? 4) x2
2

a? a2 ? x ? ? 4 ? ? ? 2? 4 ?0 (i)当 ?4 ? a ? 4 时, f ?( x) ? ? 2 x

故 f ( x) 在 [1, 4] 上单调递增, M ? f (4)

(ii)当 a ? ?4 时, 设 x2 ? ax ? 4 ? 0(? ? a2 ?16 ? 0)的两根为x1, x2

? x1 ? x2 ? a ? 0 故 x1 , x2 ? 0 ? ? x1 ?x2 ? 4

? 在 [1, 4] 上 f ?( x) ?

x 2 ? ax ? 4 ?0 x2

故 f ( x) 在 [1, 4] 上单调递增, M ? f (4) 综上所述,当 a ? 4 时, f ( x) 在 [1, 4] 上的最大值 M ? f (4) ? 4 ? 1 ? a ln 4 ? 1 ? 2 解得 a ?
1 ln 2 1 ] ln 2

所以 a 的取值范围是 (??,

22.

23.解: (1)直线 l : x ? 3 ? 3 y ,即: x ? 3 y ? 3 ? 0 由 ? 2 ? 4? cos? 得: x2 ? y 2 ? 4 x ,即: ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4
?0 ? ? ?

?
2

,? y ? ? sin ? ? 0

? x ? 2 ? 2cos ? 故 C 的参数方程为: ? (0 ? ? ? ? ) ? y ? 2sin ?
(2)设点 M (2 ? 2cos ? , 2sin ? ) 到直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 的距离为 d

d?

(2 ? 2cos ? ) ? 3(2sin ? ) ? 3 1? 3

5 ? 4( ?

3 1 sin ? ? cos ? ) 2 2 2

5 ? 4sin(? ? ) 1? ? ? 6 ? ? ? 5 ? 4sin(? ? ) ? (0 ? ? ? ? ) 2 2? 6 ?
?? 5? 1 ? 时,? ? sin(? ? ) ? 1 6 6 6 2 6 ? 1 ? 1 7 ? sin(? ? ) ? 1时, d min ? ,sin(? ? ) ? ? 时, d max ? 6 2 6 2 2 ?? ? ?

?

?

?

?1 7? 点 M 到直线 l 的距离的范围是 ? , ? ?2 2?

24.解(1)解 x ? a ? f ( x) ? 2 得, a ? 2 ? x ? a ? 2

?a ? 2 ? 0 由题意得 ? ,故 2 ? a ? 2 ?4 ? a ? 2
所以 a ? 2



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