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高流中学高三数学二轮复习教学案一体化:函数的性质及应用(1)



高流中学高三数学二轮复习教学案一体化

专题 1 函数的性质及应用(1)2009-02-20
高考趋势 函数问题一直是高考中的重头戏,函数性质中的定义域、值域、奇偶性、单调性是常考的知识 点,而其中函数的值域(包含最值与范围问题)与单调性的考查则是重点内容,而且还是高考 中的难点。 考点展示 1. 函数 f ( x ) ? x ? 2 ax (a 为常数)的单调减区间是
2
3 2

( ?? , ? a ]

变式:函数 f ( x ) ? x ? x , x ? R ,当 0 ? ? ?
3

?
2

时, f ( m sin ? ) ? f (1 ? m ) ? 0 恒成立,求实数

2. 若 f ( x ) ? ax ? bx ? cx ? d (a,b,c,d 为常数)为奇函数,则 ab+cd=
? 2 e , x< 2 , ? 则 f ( f ( 2 ))的 值 为 设 f (x) ? ? 2 ? lo g 3 ( x ? 1), x ? 2 . ?
x ?1

0

m 的取值范围(m<1)

3.

2

4. 函数 f ( x ) ? x ? ln x 的增区间为

(1, ?? )

5. 若一次函数 f ( x ) 满足 f ( f ( x )) ? 4 x ? 3 ,则 f ( x ) = 2x+1 或-2x-3

6.若函数 y
样题剖析 例1.

? f (x)

的值域是 [

1 2

, 3 ] ,则函数 F ( x ) ? f ( x ) ?

1 f (x)

的值域是

[2,

10 3

]

已 知 函 数 f ( x ) ? a ? ma
x

?x

( a ? 0 , a ? 1) 是

R

上 的 奇 函 数 , 求 函 数

例2.

已知函数 f ( x ) ? | x ? a | ,a 为常数。

g ( x ) ? mx

2

? ax ? ma 的零点。
2
2

(1) 若对一切 x ? R ,总有 f ( x ) ? f ( x 0 ) ,求实数 x 0 的值( x 0 ? a ) (2) 若对于任意 x1 , x 2 ? ( b , c ) (b,c 为常数) x 1 ? x 2 ,总有 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ,判断实数 a, , b,c 的大小关系; b ? c ? a (3) 若 f ( x ? m ) 为偶函数,求实数 m 的值 m=a
a? a ? 4a
2

解:m=-1 , g ( x ) ? ? x ? ax ? a , g ( x ) ? 0 即 x ? ax ? a ? 0 1. 当 0 ? a ? 1或 1 ? a ? 4 即 ? ? 0 , g ( x ) 无零点 2. 当 a ? 4 时 g ( x ) 只有一个零点 2

3.

当 a ? 4 即 ? ? 0 时 g ( x ) 有两个零点

(4) 若当 x 1 ? x 2 ? x 3 时,有 f ( x1 ) ? f ( x 3 ) ? f ( x 2 ) ,求证: x1 ? x 3 ? 2 a ( x 1 ? a , x 3 ? a , f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) 得 a ? x1 ? x 3 ? a )

2

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3.

已知函数

f (x) ? x ? 2 x ? a
2

,
?

f ( b x ) ? 9 x ? 6 x ? 2 ,其中 x ? R
2

, a , b 为常数,则方程

f (ax ? b) ? 0

的解集为

4.

设a

? 1 ,若对于任意的 x ? [ a , 2 a ]

,都有 y ? [ a , a 2 ] 满足方程 lo g a

x ? lo g a y ? 3 ,

这时 a 的取值集合为 [ 2 , ?? )
变式: 江西已知函数 f ( x ) ? 2 x ? ( 4 ? m ) x ? 4 ? m ,g ( x ) ? m x , 09 若对于任一实数 x , f ( x )
2

5.



f ( x ) 是连续的偶函数,且当

x>0 时

f (x)

是单调函数,则满足

? x?3? f (x) ? f ? ? ? x?4?

与 g ( x ) 的值至少有一个为正数,求实数 m 的取值范围 m<4

的所有 x 之和为
6.

-8

已知函数

f ( x ) ? log a ( 3 ? ax )
3 2

(1) 当 x ? [ 0 , 2 ] 时,函数 f ( x ) 恒有意义,实数 a 的取值范围. ( 0 ,1 ) ? (1, ) (2) 是否存在这样的实数 a,使得函数 f ( x ) 在区间 [1, 2 ] 上为减函数,且最大值为 1?如果存 在,试求出 a 的值;如果不存在,说明理由。 (不存在) 总结提炼 对于基本函数(一次函数、二次函数、三次函数、指数函数、对数函数、幂函数)的图像和性 质应熟练 解决函数综合问题要注意:通过不同途径了解、洞察所涉及到的函数的性质。在定义域、值域、 解析式、图象、单调性、奇偶性、周期性等方面进行考察。在上述性质中,知道信息越多,则 解决问题越容易。 自我测试. 1. 定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2 ) ? f ( x ) , 则 f (1) ? f ( 2 ) ? f ( 3 ) ? f ( 4 ) ? f ( 5 ) ? f ( 6 ) ? f ( 7 ) ? 2.
2 2

7.

已知函数 f ( x ) ? 2 ?
x

1 2
|x|



(1)若 f ( x ) ? 2 ,求 x 的值;
2 (2)若 2 f (2 t ) ? m f ( t ) ? 0 对于 t ? [1, ] 恒成立,求实数 m 的取值范围.
t

0

解: (1) 当 x ? 0时 , f ? x ? ? 0; 当 x ? 0时 , f ? x ? ? 2 x ? 由条件可知, 2 x ?
1 2
x

1 2
x

.
x

若函数 f ( x ) ? ax ? ( 4 ? k ) x ? 2 k (其中 a 和 k 都是常数)是 R 上的递减函数,则 k 的取 值范围是
( ?? , ? 4 )

? 2, 即 2

2x

? 2 ? 2 ? 1 ? 0 , 解得 2 ? 1 ?
x

2.

∵ 2 x ? 0 , ? x ? lo g 2 ? 1 ?

2

?

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(2)当 t ? [1, 2 ]时 , 2 t ? 2 2 t ?
?
2t

?

2

1 ? 1 ? ? t ? m ? 2 ? t ? ? 0, 2t ? 2 ? ? ?
2t

即 m ? 2 2t ? 1? ? ? ? 2 4t ? 1? .

?2

? 1 ? 0, ? m ? ? 2
2t

? 1? .

? t ? [1, 2 ], ? ? ? 1 ? 2

? ? [ ? 1 7 , ? 5],

故 m 的取值范围是 [ ? 5, ? ? )



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