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陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 推理与证明 高考中的类比推理拓展资料素材 北师大版选修1-2



高考中的类比推理
大数学家波利亚说过: “类比是某种类型的相似性,是一种更确定的和更概念性的相似。 ”应用类比的关键就在 于如何把关于对象在某些方面一致性说清楚。类比是提出新问题和作出新发现的一个重要源泉,是一种较高层次的 信息迁移。 例 1、 (2006 湖北)半径为 r 的圆的面积 S (r ) ? ? ? r 2 ,周长 C (r ) ? 2? ? r ,若将 r

看 作 (0,??) 上的变量,则 (? ? r 2 )' ? 2? ? r , ①,①式可用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对 于半径为 R 的球,若将 R 看作看作 (0,??) 上的变量,请你写出类似于①的式子:_________________,②,②式可 用语言叙述为___________. 解:由提供的形式找出球的两个常用量体积、表面积公式,类似写出恰好成立,

4 3 ?R , S (r ) ? 4?R 2 . 3 4 3 2 答案:① ( ?R )' ? 4?R . ②球的体积函数的导数等于球的表面积函数。 3 V ( R) ?
点评:主要考查类比意识考查学生分散思维,注意将圆的面积与周长与球的体积与表面积进行类比

例 2. (2000 年上海高考第 12 题)在等差数列{an}中,若 a10=0,则有等式 a1+a2+??+an=a1+a2+??+ a19-( n∈N ) 成立。 类比上述性质, 相应地: 在等比数列 {bn} 中, 若 b9=1, 则有等式 n n<19, 立。 分析:这是由一类事物(等差数列)到与其相似的一类事物(等比数列)间的类比。在等差数列{an}前 19 项中, 其中间一项 a10=0, 则 a1+a19= a2+a18=??= an+a20-n= an+1+a19-n=2a10=0, 所以 a1+a2+??+an+??+a19=0, 即 a1+a2+??+an=-a19-a18-?-an+1,又∵a1=-a19, a2=-a18,?,a19-n=-an+1,∴ a1+a2+??+an=-a19-a18 -?-an+1= a1+a2+?+a19-n。相似地,在等比数列{bn}的前 17 项中,b9=1 为其中间项,则可得 b1b2?bn= b1b2? b17-n(n<17,n∈N ) 。
* *



例 3. (2003 年全国高考新课程卷文科第 15 题)在平面几何里,有勾股定理: “设△ABC 的两边 AB、AC 互相垂 直,则 AB +AC = BC 。 ”拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可 以得到的正确结论是: “设三棱锥 A—BCD 的三个侧面 ABC、ACD、ADB 两两相互垂直,则 ________________” 。 分析:这是由低维(平面)到高维(空间)之间的类比。三角形中的许多结论都可以类比到三棱锥中(当然必 须经过论证其正确性) ,像直角三角形中的勾股定理类比到三侧面两两垂直的三棱锥中,则有 S△ABC +S△ACD +S△ADB = S
2 △BCD 2 2 2 2 2 2

。 需要指出的是, 勾股定理的证明也可进行类比。 如在 Rt△ABC 中, 过 A 作 AH⊥BC 于 H, 则由 AB =BH· BC, AC =CH· BC
1

2

2

相加即得 AB +AC =BC ; 在三侧面两两垂直的三棱锥 A—BCD 中, 过 A 作 AH⊥平面 BCD 于 H, 类似地由 S△ABC =S△HBC· S△BCD, S△ACD =S△HCD·S△BCD,S△ADB =S△HDB·S△BCD 相加即得 S△ABC +S△ACD +S△ADB = S△BCD 。
2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

例 4、 (2006 上海)已知函数 y ? x ?

a 有如下性质:如果常数 a>o,那么该函数在 (0, a ] 上是减函数,在 x

[ a ,??) 上是增函数。
(1) 如果函数 y ? x ?
2

2b ( x ? 0) 的值域为 [6,??) ,求 b 的值; x

c (常数 c ? 0) 在定义域内的单调性,并说明理由; x2 a c 2 (3) 对函数 y ? x ? 和 y ? x ? 2 (常数 c ? 0) 作出推广,使它们都是你所推广 x x
(2) 研究函数 y ? x ? 的函数的特例,研究推广后的函数的单调性(只须写出结论,不必证明) 。 解: ( 1) 函数 y ? x ?

2b ( x ? 0) 在 (0, 2 b ] 上是减函数, 在 [ 2 b ,??) 上是增函数, 所以该函数在 x ? 2b 处 x

取得最小值 2 2b . 令 2 2b ? 6 ,得 b ? log2 9.
2 (2)设 t ? x ? 0 ,显然函数 y ? t ?

c 2 在 (0, c ] 上是减函数,在 [ c ,??) 上是增函数,令 x ? c 得 t

? 4 c ? x ? 4 c ,令 x 2 ? c 得 x ? 4 c 或 x ? ?4 c .
2 又因为 t ? x 在 (??,0] 上是减函数,在 [0,??) 上是增函数,于是利用复合函数的单调性知,函数 y ? x ?
2

c 在 x2

(??,?4 c ] 上是减函数,在 [?4 c ,0) 上是增函数,在 (0, 4 c ] 上是减函数, [4 c ,??) 上是增函数。
(3)推广结论:当 n 是正奇数时,函数 y ? x ?
n

a (常数 a ? 0) 是奇函数,故在 (??,?2n a ] 上是增函数, xn

在 [?2 n a ,0) 是减函数,在 (0, 2n a ] 上是减函数,在 [2n a ,??) 上是增函数。 而当 n 为正偶数时,函数 y ? x ?
n

a (常数 a ? 0) 是偶函数,在 (??,?2n a ] 上是减函数,在 [?2 n a ,0) 是增 n x

函数,在 (0, 2n a ] 上是减函数,在 [2n a ,??) 上是增函数。 点评:本题设计新颖,层层递进,主要考查函数 y ? x ?
n

a 的单调性、最值,考查分析解决问题的能力。 xn

2



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