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考点13 圆锥曲线综合问题(教师版)



复习专题四 三
考点诠释

圆锥曲线

圆锥曲线综合问题

重点:求曲线的轨迹方程,求圆锥曲线的有关最值及参数的取值范围. 难点:有关圆锥曲线的最值与参数的范围问题.

典例精析 题型一 求轨迹方程
x2 y2 【例 1】 (2011 天津)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P(a

,b)(a>b>0)为动点,F1、F2 分别为椭圆 2+ 2=1 a b 的左、右焦点.已知△F1PF2 为等腰三角形. (1)求椭圆的离心率 e; → → (2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A、B 两点,M 是直线 PF2 上的点,满足AM·BM=-2,求点 M 的轨迹方程. 【解析】(1)设 F1(-c,0),F2(c,0)(c>0).由题意得|PF2|=|F1F2|, c c c c 1 1 即 (a-c)2+b2=2c,整理得 2( )2+ -1=0,解得 =-1(舍去)或 = ,所以 e= . a a a a 2 2 (2)由(1)知 a=2c,b= 3c,可得椭圆方程为 3x2+4y2=12c2,直线 PF2 方程为 y= 3(x-c).
2 2 2

?3x +4y =12c , 8 A、B 两点的坐标满足方程组? 消去 y 整理得 5x2-8cx=0,解得 x1=0,x2= c, 5 ?y= 3(x-c). ?x1=0, 所以方程组的解为? ?y1=- 3c,

?x =5c, 8 3 3 ? 3 3 不妨设 A(5c, 5 c),B(0,- ?y = 5 c.
2 2

8

3c).

8 3 3 → → 设点 M 的坐标为(x,y),则AM=(x- c,y- c),BM=(x,y+ 3c).由 y= 3(x-c), 5 5 得 c=x- 3 8 3 3 8 3 3 → → y.于是AM=( y- x, y- x),BM=(x, 3x). 3 15 5 5 5

8 3 3 8 3 3 → → 由AM·BM=-2,即( y- x)· x+( y- x)· 3x=-2,化简得 18x2-16 3xy-15=0. 15 5 5 5 18x2-15 10x2+5 3 将 y= 代入 c=x- y,得 c= >0,所以 x>0. 3 16x 16 3x 因此点 M 的轨迹方程是 18x2-16 3xy-15=0(x>0). 【举一反三】1.如图所示,一动圆与圆 x2+y2+6x+5=0 外切,同时与圆 x2+y2-6x -91=0 内切,求动圆圆心 M 的轨迹方程,并说明它是什么样的曲线. 【解析】设动圆圆心为 M(x,y),半径为 R,设已知圆的圆心分别为 O1、O2,将圆的 方程分别配方得:(x+3)2+y2=4,(x-3)2+y2=100. 当动圆与圆 O1 相外切时,有|O1M|=R+2;① 当动圆与圆 O2 相内切时,有|O2M|=10-R.② 将①②两式相加,得|O1M|+|O2M|=12>|O1O2|, ∴动圆圆心 M(x,y)到点 O1(-3,0)和 O2(3,0)的距离之和是常数 12, 所以点 M 的轨迹是焦点为 O1(-3,0)、O2(3,0),长轴长等于 12 的椭圆, ∴2c=6,2a=12,∴c=3,a=6,∴b2=36-9=27,

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x2 y2 ∴圆心轨迹方程为 + =1,轨迹为椭圆. 36 27 2.双曲线

x2 ? y 2 ? 1有动点 P , F1 , F2 是曲线的两个焦点,求 ?PF1F2 的重心 M 的轨迹方程。 9

解:设 P, M 点坐标各为 P( x1 , y1 ), M ( x, y) ,在已知双曲线方程中 a ? 3, b ? 1,∴c ? 9 ? 1 ? 10 ∴ 已知双曲线两焦点为 F 1 (? 10,0), F 2 ( 10,0) , ∵?PF 1F 2 存在,∴ y1 ? 0

? x ? (? 10) ? 10 x? 1 ? ? x1 ? 3 x ? 3 由三角形重心坐标公式有 ? ,即 ? 。 ? y1 ? 3 y ? y ? y1 ? 0 ? 0 ? 3 ?
∵ y1 ? 0 ,∴ y ? 0 。 已知点 P 在双曲线上,将上面结果代入已知曲线方程,有 即所求重心 M 的轨迹方程为: x2 ? 9 y 2 ? 1( y ? 0) 。 题型二 圆锥曲线的有关最值及参数取值范围综合问题。 【例 2】已知菱形 ABCD 的顶点 A、C 在椭圆 x2+3y2=4 上,对角线 BD 所在直线的斜率为 1.当∠ABC= 60°时,求菱形 ABCD 面积的最大值. 【解析】因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC⊥BD.于是可设直线 AC 的方程为 y=-x+n.
?x2+3y2=4, ? 由? 得 4x2-6nx+3n2-4=0. ? y =- x + n ?

(3x)2 ? (3 y)2 ? 1( y ? 0) 9

4 3 4 3 因为 A,C 在椭圆上,所以 Δ=-12n2+64>0,解得- <n< . 3 3 设 A,C 两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 x1+x2= n y1=-x1+n,y2=-x2+n.所以 y1+y2= . 2 因为四边形 ABCD 为菱形,且∠ABC=60°,所以|AB|=|BC|=|CA|. 所以菱形 ABCD 的面积 S= 3 3 4 3 4 3 |AC|2= (-3n2+16) (- <n< ). 2 4 3 3 3n2-4 3n ,x1x2= , 2 4

所以当 n=0 时,菱形 ABCD 的面积取得最大值 4 3. 【举一反三】3.已知抛物线 y=x2-1 上有一定点 B(-1,0)和两个动点 P、Q,若 BP⊥PQ,则点 Q 横 坐标的取值范围是 (-∞,-3]∪[1,+∞) . 2 【解析】如图,B(-1,0),设 P(xP,x2 P-1),Q(xQ,xQ-1),
2 2 x2 P-1 xQ-xP 由 kBP·kPQ=-1,得 · =-1. xP+1 xQ-xP

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所以 xQ=-xP- 因为|xP-1+

1 1 =-(xP-1)- -1. xP-1 xP-1

1 |≥2,所以 xQ≥1 或 xQ≤-3. xP-1

【举一反三】4.若双曲线 x2-ay2=1 的右支上存在三点 A、B、C 使△ABC 为正三角形,其中一个顶点 A 与双曲线右顶点重合,则 a 的取值范围为 (3,+∞) . 【解析】设 B(m, m2-1 ),则 C(m,- a m2-1 )(m>1), a m2-1 2 ), a

m2-1 又 A(1,0),由 AB=BC 得(m-1)2+ =(2 a

m+1 2 所以 a=3 =3(1+ )>3,即 a 的取值范围为(3,+∞). m-1 m-1 【方法归纳】(1)最值问题的代数解法,是从动态角度去研究解析几何中的数学问题的主要内容,其解法是 设变量,建立目标函数,转化为求函数的最值.其中,自变量的取值范围由直线和圆锥曲线的位置关系(即 判别式与 0 的关系)确定. (2)范围问题主要是根据条件建立含有参变量的函数关系式或不等式,然后确定参数的取值范围.其解 法主要有运用圆锥曲线上点的坐标的取值范围, 运用求函数的值域、 最值以及二次方程实根的分布等知识.

体验高考
→ → 1. (2011 安徽)设 λ>0,点 A 的坐标为(1,1),点 B 在抛物线 y=x2 上运动,点 Q 满足BQ=λ QA,经过 → → 点 Q 与 x 轴垂直的直线交抛物线于点 M,点 P 满足QM=λ MP,求点 P 的轨迹方程. → → 【解析】由QM=λMP知 Q、M、P 三点在同一条垂直于 x 轴的直线上,故可设 P(x,y),Q(x,y0), M(x,x2),则 x2-y0=λ(y-x2),即 y0=(1+λ)x2-λy.① → → 再设 B(x1,y1),由BQ=λQA,即(x-x1,y0-y1)=λ(1-x,1-y0),
? ?x1=(1+λ)x-λ, 解得? ② ?y1=(1+λ)y0-λ. ?

将①式代入②式,消去 y0 得

? ?x1=(1+λ)x-λ, ? ③ 2 2 ?y1=(1+λ) x -λ(1+λ)y-λ, ?

又点 B 在抛物线 y=x2 上,所以 y1=x2 1, 2 再将③式代入 y1=x1,则 (1+λ)2x2-λ(1+λ)y-λ=[(1+λ)x-λ]2, (1+λ)2x2-λ(1+λ)y-λ=(1+λ)2x2-2λ(1+λ)x+λ2,即 2λ(1+λ)x-λ(1+λ)y-λ(1+λ)=0. 因 λ>0,两边同除以 λ(1+λ),得 2x-y-1=0. 故所求点 P 的轨迹方程为 y=2x-1. 2. (2014 全国二) 已知点 A (0,-2) ,椭圆 E :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , F 是椭圆的焦点, 2 a b 2

直线 AF 的斜率为

2 3 , O 为坐标原点. 3

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(Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ)设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P, Q 两点,当 ?OPQ 的面积最大时,求 l 的方程.

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