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1[1].4绝对值的三角不等式



1.4 绝对值三角不等式
☆教学目标:1.理解绝对值的定义,理解不等式基本性质的推导过程; 2.掌握定理 1 的两种证明思路及其几何意义; 3.理解绝对值三角不等式 ; 4.会用绝对值不等式解决一些简单问题。 ☆教学重点:定理 1 的证明及几何意义。 ☆教学难点:换元思想的渗透。 ☆教学过程: 一、引入: 证明一个含有绝对值的不等式成立, 除了要应用一般不等式的基本性质之外, 经常还要用 到关于绝对值的和、差、积、商的性质:
王新敞
奎屯 新疆

(1) a ? b ? a ? b (3) a ? b ? a ? b

(2) a ? b ? a ? b (4)
a b ? a b (b ? 0 )

请同学们思考一下,是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理? 实际上, 性质 a ? b ? a ? b 和
a b ? a b ( b ? 0 ) 可以从正负数和零的乘法、 除法法则直接推出;

而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此,只要能够证明 a ? b ? a ? b 对于任意实 数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。 现在请同学们讨论一个问题:设 a 为实数, a 和 a 哪个大? 显然 a ? a ,当且仅当 a ? 0 时等号成立(即在 a ? 0 时,等号成立。在 a ? 0 时,等号不成 立) 。同样, a ? ? a . 当且仅当 a ? 0 时,等号成立。 含有绝对值的不等式的证明中,常常利用 a ? ? a 、 a ? ? a 及绝对值的和的性质。 二、典型例题: 例 1、证明 (1) a ? b ? a ? b , (2) a ? b ? a ? b 。

证明(1)如果 a ? b ? 0 , 那么 a ? b ? a ? b. 所以 a ? b ? a ? b ? a ? b . 如果 a ? b ? 0 , 那么 a ? b ? ? ( a ? b ). 所以 a ? b ? ? a ? ( ? b ) ? ? ( a ? b ) ? a ? b (2)根据(1)的结果,有 a ? b ? ? b ? a ? b ? b ,就是, a ? b ? b ? a 。 所以, a ? b ? a ? b 。 例 2、证明 a ? b ? a ? b ? a ? b 。 例 3、证明 a ? b ? a ? c ? b ? c 。思考:如何利用数轴给出例 3 的几何解释?
1

(设 A,B,C 为数轴上的 3 个点,分别表示数 a,b,c,则线段 AB ? AC ? CB . 当且仅当 C 在 A,B 之间时,等号成立。这就是上面的例 3。特别的,取 c=0(即 C 为原点) ,就得到例 2 的后半部分。 ) 探究:试利用绝对值的几何意义,给出不等式 a ? b ? a ? b 的几何解释? 定理 1
? ?

如果 a , b ? R , 那么 a ? b ? a ? b .
? ?

在上面不等式中,用向量 a , b 分别替换实数 a , b , 则当 a , b 不共线时, 由向量加法三角形法则: 向量 a , b , a ? b 构成三角形, 因此有|a+b|<|a|+|b| 其几何意义是什么? 含有绝对值的不等式常常相加减,得到较为复杂的不等式,这就需要利用例 1,例 2 和例 3 的结果来证明。 例 4、已知 x ? a ?
c 2 , y?b ? c 2

? ? ?

?

,求证 ( x ? y ) ? ( a ? b ) ? c.
? x?a ? y?b

证明 ( x ? y ) ? ( a ? b ) ? ( x ? a ) ? ( y ? b )
? x?a ? c 2 , y?b ? c 2 c 2 ? c 2 ?c

(1)

, (2)

∴ x?a ? y?b ?

由(1)(2)得: ( x ? y ) ? ( a ? b ) ? c , 例 5、已知 x ? 证明
. 求证: 2 x ? 3 y ? a 。 4 6 a a a a ? x ? , y ? ,∴ 2 x ? , 3 y ? , 4 6 2 2 a a 由例 1 及上式, 2 x ? 3 y ? 2 x ? 3 y ? ? ? a 。 2 2 , y ? a a

注意: 在推理比较简单时,我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法,只能用于 不等号方向相同的不等式。 四、巩固性练习:
. 求证: ( A ? B ) ? ( a ? b ) ? c 。 2 c 2、已知 x ? a ? , y ? b ? . 求证: 2 x ? 3 y ? 2 a ? 3b ? c 。 4 6

1、已知 A ? a ?

c

2 c

, B?b ?

c

作业:习题 1.2

2、3、5

1.4 绝对值三角不等式学案
☆预习目标: ☆预习内容:
2

1.理解绝对值的定义,理解不等式基本性质的推导过程; 2.了解定理 1 的两种证明思路及其几何意义; 3.理解绝对值三角不等式 。
王新敞
奎屯 新疆

1.绝对值的定义: ? a ? R , | a |? 2. 绝对值的几何意义:

? ? ? ? ?

10. 实数 a 的绝对值 | a | ,表示数轴上坐标为 a 的点 A

20. ? 两个实数 a , b ,它们在数轴上对应的点分别为 A , B , 那么 | a ? b | 的几何意义是 3.定理 1 的内容是什么?其证法有几种? ? ? 4.若实数 a , b 分别换成向量 a , b 定理 1 还成立吗? 5、定理 2 是怎么利用定理 1 证明的? ☆探究学习: 1、绝对值的定义的应用 例 1 设函数 f ( x ) ? x ? 1 ? x ? 4 . ? 1 ? 解不等式 f ( x ) ? 2 ; ? 2 ? 求函数 y ? f ( x ) 的最值.

2. 绝对值三角不等式:探究 | a | , | b | , | a ? b | 之间的关系. ① a ? b ? 0 时,如下图, 容易得: | a ? b |
|a | ? |b |.

② a ? b ? 0 时,如图, 容易得: | a ? b |

|a |? |b |.

③ a ? b ? 0 时,显然有: | a ? b | 综上,得 定理 1 如果 a , b ? R , 那么 | a ? b |
? ? ? ?

| a | ? |b |.

| a | ? | b | . 当且仅当

时, 等号成立.

在上面不等式中,用向量 a , b 分别替换实数 a , b , 则当 a , b 不共线时, 由向量加法三角形法则:
|a?b| 向量 a , b , a ? b 构成三角形, 因此有
? ? ? ?

|a |? |b|

它的几何意义就是: 定理 1 的证明: 定理 2 如果 a , b , c ? R , 那么
|a?c| |a ?b|? |b?c|

. 当且仅当

时, 等号成立.

3

3、定理应用 例 2 (1) a , b ? R 证明 a ? b ? a ? b , (2)已知 ☆课后练习 :
1 . 当 a 、 b ? R 时,不等式
a?b a ? b ?1
x?a ? c 2 , y ?b ? c 2

,求证 ( x ? y ) ? ( a ? b ) ? c. 。

成立的充要条件是 D. ab ? 0 ;

A. ab ? 0 B. a 2 ? b 2 ? 0 C. ab ? 0 2. 对任意实数 x , | x ? 1 | ? | x ? 2 |? a 恒成立,则 a 的取值范围是
3. 对任意实数 x , | x ? 1 | ? | x ? 3 |? a 恒成立,则 a 的取值范围是

4. 若关于 x 的不等式 | x ? 4 | ? | x ? 3 |? a 的解集不是空集,则 a 的取值范围是
x?2 x ?3 x
2

5 . 方程

?

x?2 x ?3 x
2

的解集为

,不等式 |

x 2? x

|?

x 2? x

的解集是

6 . 已知方程 | 2 ? 1 | ? | 2 ? 1 |? a ? 1 有实数解,则 a 的取值范围为
x x



7. 画出不等式 x ? y ? 1 的图形,并指出其解的范围。利用不等式的图形解不等式

1?、 x ? 1 ? x ? 1 ? 1 ;

2?、 x ? 2 y ? 1 . 2?、
x?2 x ?1 ? 1;

8 . 解不等式:1?、 2 x ? 1 ? x ? 1 ;

3?、 x ? 1 ? x ? 2 ? 3 ;
9 . 1?、已知 x ?

4?、 x ? 2 ? x ? 1 ? 3 ? 0 .

a 4

, y ? c 4

a 6

. 求证: 2 x ? 3 y ? a 。 c 6 . 求证: 2 x ? 3 y ? 2 a ? 3b ? c 。 s 3 ,C ?c ? s 3 . 求证: ( A ? B ? C ) ? ( a ? b ? c ) ? s

2?、已知 x ? a ?

, y?b ? s 3

3?、已知 A ? a ?
10 . 1?、已知 x ?

, B?b ?

a, y ?

a . 求证: xy ? a .
x y ? h.

2?、已知 x ? ch , y ? c ? 0 . 求证:

4

参考答案: ☆课后练习 1 . B. 2、a<3 3 、a>4 4、a>7 5、 {-3<x<=-2 或 x>=0}{x<0 或 x>2} 6、-3<=a<-1
7、先考虑不等式在平面直角坐标系内第一象限的情况。在第一象限内不等式等价于:
x?0

, y ? 0 ,x ? y ?1.

其图形是由第一象限中直线 y ? 1 ? x 下方的点所组成。 同样可画出二、三、四象限的情况。从而得到不等式 x ? y ? 1 的图形是以原点 O 为中心,四个等点 分别在坐标轴上的正方形。不等式解的范围一目了然。 探究:利用不等式的图形解不等式 1.
x ?1 ? x ?1 ? 1;

2. x ? 2 y ? 1 .

答案:1、-0.5<x<0.5 2.为一菱形区域。 8、1?、0<x<2/3 2?、x>-1/2 3?、x<-3 或 x>0 x>-2
9 . 1?、已知 x ?

4?



a 4

, y ? a 6

a 6

. 求证: 2 x ? 3 y ? a 。 a 2 , 3y ? a 2 a 2 ? a 2 ? a。

证明 ? x ?

a 4

, y ?

,∴ 2 x ?



由例 1 及上式, 2 x ? 3 y ? 2 x ? 3 y ? 2?、 3?(解答略) 10、 (解答略)

5



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