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高中数学【配套课件】二.2.6指数与指数函数



数学

苏(文)

§2.6 指数与指数函数
第二章 函数与基本初等函数Ⅰ

基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源

1.根式的性质 (1)( a) = a . (2)当 n 为奇数时 an= a . 当 n 为偶数时 an= n
?a ?a≥0? ? ? ?-a ?a<0? ?

n

n

1.根式与分数指数幂 的实质是相同的,

n

通常利用分数指数 幂的意义把根式的

.

运算转化为幂的运 算,从而可以简化 计算过程.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正整数指数幂:an= (n∈N ). ②零指数幂:a0= 1 (a≠0). 1 ③负整数指数幂:a- p= ap (a≠0, p∈N*). ④正分数指数幂: = a n 均为正整数).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
m n

难点正本 疑点清源

1.根式与分数指数幂 的实质是相同的, 通常利用分数指数 幂的意义把根式的 运算转化为幂的运 算,从而可以简化 计算过程.

*

n

am m、 (a>0,

基础知识·自主学习
要点梳理
?

难点正本 疑点清源

⑤负分数指数幂:a

m n

1 = a=
m n

1 n am

1.根式与分数指数幂 的实质是相同的, 通常利用分数指数 幂的意义把根式的 运算转化为幂的运 算,从而可以简化 计算过程.

(a>0,m、n 均为正整数). ⑥0 的正分数指数幂等于 0 ,0 的负分数 指数幂 没有意义 . (2)有理数指数幂的性质

ar+s (a>0,r、s∈Q); ①a a = r s ars (a>0,r、s∈Q); ②(a ) =
r s

③(ab)r= arbr (a>0,b>0,r∈Q).

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
3.指数函数的图象与性质 y=ax 图象 定义 域 值域 (1) R (2) (0,+∞) (3)过定点 (0,1) a>1

难点正本 疑点清源

动画展示
0<a<1

2.指数函数的单调性 是底数 a 的大小决 定的,因此解题时 通常对底数 a 按: 0<a<1 和 a>1 进行 分类讨论. 3.比较指数式的大小 方法:利用指数函 数单调性或利用中 间值.
思想方法 练出高分

0<y<1; (4)当 x>0 时,y>1 ;(5)当 x>0 时,
性质 x<0 时, 0<y<1 上是 增函数
基础知识

x<0 时, y>1 是 减函数
题型分类

(6)在(-∞,+∞) (7)在(-∞,+∞)上

基础知识·自主学习
基础自测

题号
1 2 3 4 5

答案
7
(- 2,-1)∪(1, 2)
3

解析

④ 7

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 指数幂的运算
1 2

思维启迪

解析

探究提高

【例 1】 (1)计算:(124+22 3) -27 +16 -2×(8 )-1;
1 6 3 4

?2 3

(2)已知 x +x =3,求 - x2+x 2-2 的值. ? x +x -3
3 2 3 2

1 2

?1 2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 指数幂的运算
1 2

思维启迪

解析

探究提高

【例 1】 (1)计算:(124+22 3) -27 +16 -2×(8 ) ;
1 6 3 4

?2 3

-1

(1)本题是求指数幂的值,按指 数幂的运算律运算即可; (2)注意 x +x 、x +x 与 x +x 之间的关系.
?1 2
2
-2
3 2

(2)已知 x +x =3,求 - x2+x 2-2 的值. ? x +x -3
3 2 3 2

1 2

?1 2

?3 2

1 2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 指数幂的运算
1 2

【例 1】 (1)计算:(124+22 3) -27 +16 -2×(8 ) ;
1 2

思维启迪
2 3

解析
1 2

探究提高
1 6 3 4

1 6

3 4

?2 3

-1

( 2 ) 已 知 x + x = 3 , 求 =11+ 3-3 +23-2×2 3 ? - x2+x 2-2 =11+ 3- 3+8-8=11. 的值. ? x +x -3 ? ?
1 2

?1 2

解 (1)(124+22 3) -27 +16 -2× ? (8 )-1 2? 3? 4? ? ? ( ?1) =(11+ 3) -3 +2 -2×8
1 2 1 6 3 4 3 2 2 3

3 2

3 2

(2)∵ +x =3,∴(x +x )2=9, - - ∴x+2+x 1=9,∴x+x 1=7, - - ∴(x+x 1)2=49,∴x2+x 2=47, 又∵x +x =(x +x )· (x-1+x 1) =3×(7-1)=18, - x2+x 2-2 47-2 ∴ = =3. ? x +x -3 18-3
3 2 3 2

1 2

1 2

1 2

1 2

3 2

?3 2

1 2

?1 2



基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 指数幂的运算
1 2

思维启迪

解析

探究提高

【例 1】 (1)计算:(124+22 3) -27 +16 -2×(8 )-1;
1 6 3 4

?

根式运算或根式与指数式混合运 算时,将根式化为指数式计算较 为方便,对于计算的结果,不强 求统一用什么形式来表示,如果 有特殊要求,要根据要求写出结 果.但结果不能同时含有根号和 分数指数,也不能既有分母又有 负指数.

2 3

(2)已知 x +x =3,求 - x2+x 2-2 的值. ? x +x -3
3 2 3 2

1 2

?1 2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 1 计算下列各式的值: ? 27? ? ? ?- ? (1) +(0.002) -10( 5-2)-1+( 2- 3)0; 8? ? 1 (2) -( 3-1)0- 9-4 5; 5+2
2 3 1 2

a b ab2 (3) (a>0,b>0). 4 ? ?a b ? a b ? 27? ? ? 1 ?? 10 解 (1)原式=?- 8 ? +?500? - +1 ? ? ? ? 5-2 ? 8? =?-27? +500 -10( 5+2)+1 ? ? 4 167 =9+10 5-10 5-20+1=- 9 . (2)原式= 5-2-1- ? 5-2?2=( 5-2)-1-( 5-2)=-1. ?a3b2a b ? ? ?1? 1? ? 2? - (3)原式= ab2a ? b =a b =ab 1.
1 4 1 2 1 3 1 3

3 23

2 3

1 2

2 3

1 2

1 3

2 3

1 2

1 3

1 3

3 2

1 6

1 3

1 3

1 3

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 指数函数的图象、性质的应用
思维启迪 解析 探究提高
【例 2】(1)函数 f(x)=ax-b 的图象 如图所示,其中 a,b 为常数, 则下列 a、 的范围判断正确的 b 是________.(填序号) ①a>1,b<0; ②a>1,b>0; ③0<a<1,b>0; ④0<a<1,b<0. (2)求函数 f(x)= 3
x 2 ?5 x ?4

的定

义域、值域及其单调区间.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 指数函数的图象、性质的应用


【例 2】(1)函数 f(x)=ax b 的图象 如图所示,其中 a,b 为常数, 则下列 a、 的范围判断正确的 b 是________.(填序号) ①a>1,b<0; ②a>1,b>0; ③0<a<1,b>0; ④0<a<1,b<0. (2)求函数 f(x)= 3
x 2 ?5 x ?4

思维启迪

解析

探究提高

对于和指数函数的图象、性质有关 的问题,可以通过探求已知函数和 指数函数的关系入手.

的定

义域、值域及其单调区间.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 指数函数的图象、性质的应用


【例 2】(1)函数 f(x)=ax b 的图象 如图所示,其中 a,b 为常数, 则下列 a、 的范围判断正确的 b

思维启迪

解析

探究提高

④ 是________.(填序号)
①a>1,b<0; ②a>1,b>0; - - 由 f(x)=ax b 的图象可以观察出函数 f(x)=ax b 在定义域上单调递减, ③0<a<1,b>0; - 所以 0<a<1.函数 f(x)=ax b 的图象是在 f(x)=ax 的基础上向左平移得 ④0<a<1,b<0. 到的,所以 b<0. x ? 5 x ? 4 (2)求函数 f(x)= 3 的定
2

义域、值域及其单调区间.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 指数函数的图象、性质的应用


【例 2】(1)函数 f(x)=ax b 的图象 如图所示,其中 a,b 为常数,

思维启迪

解析

探究提高

则下列 a、 的范围判断正确的 (2)解 ④ b 依题意 x2-5x+4≥0,解得 x≥4 或 x≤1, 是________.(填序号) ∴f(x)的定义域是(-∞,1]∪[4,+∞). ①a>1,b<0; x ?5 x ?4 2 0
∵ x -5x+4≥0,∴f(x)=3
2

②a>1,b>0; ∴函数 f(x)的值域是[1,+∞). ③0<a<1,b>0; ? 5?2 9 2 ④0<a<1,b<0. 令 u= x -5x+4= ?x-2? -4,x∈(-∞,1]∪[4,+∞), ? ? x ?5 x ?4 (2)求函数 f(x)= 3 的定 ∴当 x∈(-∞,1]时,u 是减函数,当 x∈[4,+∞)时,u 是增函数. 义域、值域及其单调区间. x 2 ?5 x ? 4 在(-∞,1]上 而 3>1,∴由复合函数的单调性,可知 f(x)
2

≥3 =1,

是减函数,在[4,+∞)上是增函数.
基础知识 题型分类

?3

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 指数函数的图象、性质的应用


【例 2】(1)函数 f(x)=ax b 的图象 如图所示,其中 a,b 为常数, 则下列 a、 的范围判断正确的 b

思维启迪

解析

探究提高

(1)与指数函数有关的函数的图象 的研究, 往往利用相应指数函数的 图象, 通过平移、 对称变换得到其 图象. (2) 对 复 合 函 数 的 性 质 进 行 讨 论 时,要搞清复合而成的两个函数, 然后对其中的参数进行讨论.

④ 是________.(填序号)
①a>1,b<0; ②a>1,b>0; ③0<a<1,b>0; ④0<a<1,b<0. (2)求函数 f(x)= 3
x 2 ?5 x ?4

的定

义域、值域及其单调区间.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 2 序号) ex+e-x (1)函数 y= x -x的图象大致为________.(填 ① e -e

解 析
ex+e-x 2 y= x -x=1+ 2x ,当 x>0 时,e2x-1>0,且随着 e -e e -1 2 x 的增大而增大,故 y=1+ 2x >1 且随着 x 的增大而 e -1 减小,即函数 y 在(0,+∞)上恒大于 1 且单调递减.又 函数 y 是奇函数,故只有①正确.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析

变式训练 2

(2)若函数 f(x)=e

? (? x ? ? )2

(e 是自然对数的底数)

的最大值是 m,且 f(x)是偶函数,则 m+μ=________. 1

解 析
由于 f(x)是偶函数,所以 f(-x)=f(x),
即e
? (? x ? ? )2

=e

? (? x ? ? )2

,∴(x+μ)2=(x-μ)2,∴μ=0,

∴f(x)=e

? x2

.又 y=ex 是 R 上的增函数,而-x2≤0,

∴f(x)的最大值为 e0=1=m,∴m+μ=1.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 指数函数的综合应用
(1)k 为何值时,方程
思维启迪 解析 探究提高

【例 3】 两解?

|3x -1|=k 无解?有一解?有 (2)已知定义在 R 上的函数 f(x) 1 =2x- |x|. 2 3 ①若 f(x)= ,求 x 的值; 2 ② 若 2tf(2t) + mf(t)≥0 对 于 t∈[1,2]恒成立, 求实数 m 的取 值范围.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 指数函数的综合应用
(1)k 为何值时,方程
思维启迪 解析 探究提高

【例 3】

|3x -1|=k 无解?有一解?有 方程的解的问题可转为函数图象的 两解? 交点问题;恒成立可以通过分离参 (2)已知定义在 R 上的函数 f(x) 数求最值或值域来解决. 1 x =2 - |x|. 2 3 ①若 f(x)= ,求 x 的值; 2 ② 若 2tf(2t) + mf(t)≥0 对 于 t∈[1,2]恒成立, 求实数 m 的取 值范围.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 指数函数的综合应用
(1)k 为何值时,方程
思维启迪 解析 探究提高

【例 3】 两解?

|3x -1|=k 无解?有一解?有
解 (1)函数 y=|3x-1|的图象是由函数 y=3x 的图象向

(2)已知定义在 R 上的函数 f(x) 到 x 轴上方得到的,函数图象如图所示. 动 画 展 示 1 =2x- |x|. 当 k<0 时,直线 y=k 与函数 y=|3x-1|的图象无交点,即方程无解; 2 3 当 k=0 或 k≥1 时, 直线 y=k 与函数 y=|3x-1|的图象有唯一的交点, ①若 f(x)= ,求 x 的值; 2 所以方程有一解;
当 0<k<1tf(2t) + mf(t)≥0 对 于 x-1|的图象有两个不同的交点, ② 若 2 时,直线 y=k 与函数 y=|3 所以方程有两解.

下平移一个单位后,再把位于 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折

(2)①当 x<0 时,f(x)=0,无解;

t∈[1,2]恒成立, 求实数 m 的取 值范围.
x

1 当 x≥0 时,f(x)=2 - x, 2 题型分类 基础知识

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 指数函数的综合应用
(1)k 为何值时,方程
思维启迪 解析 探究提高

【例 3】 两解?

|3x -1|=k3 无解?有一解?有 1 x 2x x
x

由 2 - x= ,得 2· -3· -2=0, 2 2 2 2
x

1 看成关于 2 的一元二次方程,解得 2 =2 或- , 2 (2)已知定义在 R 上的函数 f(x)

1 ∵2x - |x|. =2x>0,∴x=1. 2 ? ? 1? 1? t t 2t 3 ②当 t∈[1,2]时,2 ? -22t?+m ①若 f(x)= ,求 x2的值; ?2 -2t?≥0, ? ? ? ? 2 ② 若 2t2tf(2t) + mf(t)≥0 对 于 即 m(2 -1)≥-(24t-1),∵22t-1>0,∴m≥-(22t+1), t∈[1,2]恒成立,2t+1)∈[-17,-5], 求实数 m 的取 ∵t∈[1,2],∴-(2 值范围.
故 m 的取值范围是[-5,+∞).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 指数函数的综合应用
(1)k 为何值时,方程
思维启迪 解析 探究提高

【例 3】 两解?

|3x -1|=k 无解?有一解?有 对指数函数的图象进行变换是利
用图象的前提,方程 f(x)=g(x)解 的个数即为函数 y=f(x)和 y=g(x) 图象交点的个数; 复合函数问题的 关键是通过换元得到两个新的函 数,搞清复合函数的结构.

(2)已知定义在 R 上的函数 f(x) 1 =2x- |x|. 2 3 ①若 f(x)= ,求 x 的值; 2 ② 若 2tf(2t) + mf(t)≥0 对 于 t∈[1,2]恒成立, 求实数 m 的取 值范围.
基础知识 题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
a - 变式训练 3 已知 f(x)= 2 (ax-a x) (a>0 且 a≠1). a -1 (1)判断 f(x)的奇偶性; (2)讨论 f(x)的单调性; (3)当 x∈[-1,1]时,f(x)≥b 恒成立,求 b 的取值范围. 解 (1)因为函数的定义域为 R,所以关于原点对称.
又因为 f(-x)=

所以 f(x)为奇函数.

a (a-x-ax)=-f(x), 2 a -1


(2)当 a>1 时,a2-1>0,y=ax 为增函数,y=a x 为减函数,从而 y=ax-a-x 为增函数,所以 f(x)为增函数, 当 0<a<1 时,a2-1<0,
y=ax 为减函数,y=a-x 为增函数, 从而 y=ax-a-x 为减函数,所以 f(x)为增函数.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
a - 变式训练 3 已知 f(x)= 2 (ax-a x) (a>0 且 a≠1). a -1 (1)判断 f(x)的奇偶性; (2)讨论 f(x)的单调性; (3)当 x∈[-1,1]时,f(x)≥b 恒成立,求 b 的取值范围.
故当 a>0,且 a≠1 时,f(x)在定义域内单调递增.
(3)由(2)知 f(x)在 R 上是增函数,

所以在区间[-1,1]上为增函数, 所以 f(-1)≤f(x)≤f(1), 2 a a 1-a 所以 f(x)min=f(-1)= 2 (a-1-a)= 2 · =-1, a -1 a -1 a
所以要使 f(x)≥b 在[-1,1]上恒成立,则只需 b≤-1,

故 b 的取值范围是(-∞,-1].
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 3.利用方程思想和转化思想求参数范围
-2x+b 典例:(14 分)已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数. 2 +a (1)求 a,b 的值; (2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取 值范围.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 3.利用方程思想和转化思想求参数范围
-2x+b 典例:(14 分)已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数. 2 +a (1)求 a,b 的值; (2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取 值范围.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)f(x)是定义在 R 上的奇函数, 要求参数值, 可考虑利用奇函数的性质, 构建方程:f(0)=0,f(1)=-f(-1). (2)可考虑将 t2-2t,2t2-k 直接代入解析式化简,转化成关于 t 的一元二 次不等式.也可考虑先判断 f(x)的单调性,由单调性直接转化为关于 t 的一元二次不等式.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 3.利用方程思想和转化思想求参数范围
-2x+b 典例:(14 分)已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数. 2 +a (1)求 a,b 的值; (2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取 值范围.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒
4分

(1)因为 f(x)是 R 上的奇函数, -1+b -2x+1 所以 f(0)=0,即 =0,解得 b=1,从而有 f(x)= x+1 . 2+a 2 +a 1 -2+1 -2+1 又由 f(1)=-f(-1)知 =- , 4+a 1+a 解得 a=2.经检验,a=2,b=1 符合题意,∴a=2,b=1. -2x+1 (2)方法一 由(1)知 f(x)= x+1 , 2 +2
基础知识 题型分类 思想方法



7分

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 3.利用方程思想和转化思想求参数范围
-2x+b 典例:(14 分)已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数. 2 +a (1)求 a,b 的值; (2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取 值范围.

审 题 视 角
又由题设条件得
?2t 2
t 2 ?2t

规 范 解 答
2 ?2 t

温 馨 提 醒

?1 ?2

t 2 ?2 t ?1

?

?22t 2

2 ?k

?1 ?2

2 t 2 ?k ?1

?0

即(2

2 t 2 ?k ?1

+2)(-2
3 t 2 ?2 t ? k

+1)+(2

t 2 ? 2 t ?1

+2)(-2

2t 2 ?k

+1)<0.

9分

整理得 2

>1,因底数 2>1,故 3t2-2t-k>0.

12分

上式对一切 t∈R 均成立,从而判别式 Δ=4+12k<0, 1 解得 k<- . 3 -2x+1 1 1

14分

方法二 由(1)知 f(x)=
基础知识

题型分类

2

x+1

=- + x , 2 2 +1 +2

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 3.利用方程思想和转化思想求参数范围
-2x+b 典例:(14 分)已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数. 2 +a (1)求 a,b 的值; (2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取 值范围.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

由上式易知 f(x)在 R 上为减函数,又因为 f(x)是奇函数,从而不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 等价于 f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k). 因为 f(x) 是 R 上的减函数,

由上式推得 t2-2t>-2t2+k. 即对一切 t∈R 有 3t2-2t-k>0, 1 从而 Δ=4+12k<0,解得 k<-3.
基础知识 题型分类 思想方法

12分 14分

练出高分

题型分类·深度剖析 题型分类·深度剖析
思想与方法 3.利用方程思想和转化思想求参数范围
-2x+b 典例:(14 分)已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数. 2 +a (1)求 a,b 的值; (2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取 值范围.

易 错 分 析

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)根据 f(x)的奇偶性,构建方程求参数体现了方程的思想;在构建方程时, 利用了特殊值的方法,在这里要注意:有时利用两个特殊值确定的参数, 并不能保证对所有的 x 都成立.所以还要注意检验. (2)数学解题的核心是转化,本题的关键是将 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立等价转化 为 t2-2t>-2t2+k 恒成立. 这个转化易出错. 其次, 不等式 t2-2t>-2t2+k 恒成立, 即对一切 t∈R 有 3t2-2t-k>0,也可以这样做:k<3t2-2t,t∈R,只要 k 比 3t2- 1 1 2t 的最小值小即可,而 3t2-2t 的最小值为- ,所以 k<- . 3 3

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高
方 法 与 技 巧
1.判断指数函数图象上底数大小的问题,可以 先通过令 x=1 得到底数的值再进行比较.
2.指数函数 y=ax (a>0,a≠1)的性质和 a 的 取值有关,一定要分清 a>1 与 0<a<1. 3.对和复合函数有关的问题,要弄清复合函 数由哪些基本初等函数复合而成.

1.恒成立问题一般与函数最值有关,要与方

失 误 与 防 范
基础知识

程有解区别开来. 2. 复合函数的问题, 一定要注意函数的定义域.

3. 对可化为 a2x+b·x+c=0 或 a2x+b·x+c≥0 a a (≤0)形式的方程或不等式,常借助换元法 解决,但应注意换元后“新元”的范围.
题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

A组
3 4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1 1 1.设 2 =5 =m,且a+b=2,则 m=________.
a b

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1 1 10 1.设 2 =5 =m,且a+b=2,则 m=________.
a b

解 析
∵2a=5b=m,∴a=log2m,b=log5m, 1 1 1 1 ∴ + = + =logm2+logm5=logm10=2. a b log2m log5m

∴m= 10.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2.函数

?1? 2 y=?2? ? x ? 2 x 的值域是____________. ? ?

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2.函数

?1 ? ?1? 2 ? ,+∞? ? ? ? x ? 2 x 的值域是____________. y= 2 ?2 ? ? ?

解 析
∵-x2+2x=-(x-1)2+1≤1,
?1? 2 1 ? ? ? x ? 2 x ≥ ,即 ∴2 2 ? ?

1 y≥ . 2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3.若关于 x 的方程|ax-1|=2a (a>0,a≠1)有两个不等实根, 则 a 的取值范围是__________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3.若关于 x 的方程|ax-1|=2a (a>0,a≠1)有两个不等实根, ? 1? ?0, ? 2? 则 a 的取值范围是__________. ?

解 析 方程|ax-1|=2a (a>0 且 a≠1)有两个实数根转化为函数 y
=|ax-1|与 y=2a 有两个交点. 1 (1)当 0<a<1 时,如图①,∴0<2a<1,即 0<a<2.

(2)当 a>1 时,如图②,而 y=2a>1 不符合要求.

图①
1 综上,0<a< . 2
基础知识 题型分类

图②

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4
-4|

专项基础训练
5 6 7 8 9

4.若函数 f(x)=a|2x

1 (a>0,a≠1),满足 f(1)= ,则 f(x)的 9

单调减区间是__________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

4.若函数 f(x)=a|2x

-4|

1 (a>0,a≠1),满足 f(1)= ,则 f(x)的 9

[2,+∞) 单调减区间是__________. 解 析
1 1 1 1 2 由 f(1)=9,得 a =9,∴a=3 (a=-3舍去), ?1? - 即 f(x)=?3?|2x 4|. ? ?

由于 y=|2x-4|在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增, 所以 f(x)在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

5-1 5.已知 a= ,函数 f(x)=ax,若实数 m、n 满足 2 f(m)>f(n),则 m、n 的大小关系为________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

5-1 5.已知 a= ,函数 f(x)=ax,若实数 m、n 满足 2

m<n f(m)>f(n),则 m、n 的大小关系为________.
解 析
5-1 ∵0<a= 2 <1, ∴函数 f(x)=ax 在 R 上是减函数. 又 又∵f(m)>f(n),∴m<n.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

a 6. 函数 f(x)=a (a>0, a≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大 , 2
x

则 a 的值为__________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

a 6. 函数 f(x)=a (a>0, a≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大 , 2 1 3 或 则 a 的值为__________. 2 2
x

解 析
a 1 当 0<a<1 时,a-a = ,∴a= 或 a=0(舍去). 2 2 a 3 当 a>1 时,a2-a= ,∴a= 或 a=0(舍去). 2 2
2

1 3 综上所述,a= 或 . 2 2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

7. 已知函数 f(x)=ax+b (a>0 且 a≠1)的 图象如图所示, a+b 的值是_____. 则

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

7. 已知函数 f(x)=ax+b (a>0 且 a≠1)的 图象如图所示, a+b 的值是_____. 则 -2

解 析
?a2+b=0 ? ∵? 0 ?a +b=-3 ? ?a=2 ? ,∴? ?b=-4 ?



∴a+b=-2.

基础知识

题型分类

思想方法

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练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9
+1|-|x-1|

8.(13 分)设函数 f(x)=2|x 范围.

,求使 f(x)≥2 2的 x 的取值

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9
+1|-|x-1|

8.(13 分)设函数 f(x)=2|x 范围.


,求使 f(x)≥2 2的 x 的取值

3 y=2 是增函数,f(x)≥2 2等价于|x+1|-|x-1|≥2.①
x

(1)当 x≥1 时,|x+1|-|x-1|=2,∴①式恒成立.

解 (2)当-1<x<1 时,|x+1|-|x-1|=2x, 析
3 3 ①式化为 2x≥ ,即 ≤x<1. 2 4

(3)当 x≤-1 时,|x+1|-|x-1|=-2,①式无解.
综上,x
基础知识
?3 ? 的取值范围是?4,+∞?. ? ?

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(14 分)设 a>0 且 a≠1,函数 y=a2x+2ax-1 在[-1,1]上的最 大值是 14,求 a 的值.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(14 分)设 a>0 且 a≠1,函数 y=a2x+2ax-1 在[-1,1]上的最 大值是 14,求 a 的值.
解 令 t=ax (a>0 且 a≠1),

解 析

则原函数化为 y=(t+1)2-2 (t>0). ①当 0<a<1 时,x∈[-1,1],t=a 此时
? 1? ?a, ?上为增函数. f(t)在 a? ?
x

? 1? ∈?a,a?, ? ?

?1? ?1 ? ? ?=? +1?2-2=14. 所以 f(t)max=f a ? ? ?a ? ?1 ? 1 1 所以?a+1?2=16,所以 a=-5或 a=3. ? ?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(14 分)设 a>0 且 a≠1,函数 y=a2x+2ax-1 在[-1,1]上的最 大值是 14,求 a 的值.
1 又因为 a>0,所以 a= . 3

解 析

②当 a>1 时,x∈[-1,1],t=a 此时
?1 ? f(t)在?a,a?上是增函数. ? ?

x

?1 ? ∈?a,a?, ? ?

所以 f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14, 解得 a=3(a=-5 舍去). 1 综上得 a=3或 3.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

?1 ? x ?x>0?, 1.设函数 f(x)=? 若 F(x)=f(x)+x,x∈R, ?ex ?x≤0?, ? 则 F(x)的值域为_____________________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

?1 ? ?x>0?, 1.设函数 f(x)=?x 若 F(x)=f(x)+x,x∈R,则 ?ex ?x≤0?, ?

(-∞,1]∪[2,+∞) F(x)的值域为_____________________.

解 析
1 当 x>0 时,F(x)= x+x≥2;

当 x≤0 时,F(x)=ex+x,根据指数函数与一次函数的单 调性,F(x)是单调增函数,F(x)≤F(0)=1,所以 F(x)的 值域为(-∞,1]∪[2,+∞).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

2. 已知集合 P={(x, y)|y=m}, Q={(x, y)|y=ax+1, a>0, a≠1}, 如果 P∩Q 有且只有一个元素,那么实数 m 的取值范围是 ____________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

2. 已知集合 P={(x, y)|y=m}, Q={(x, y)|y=ax+1, a>0, a≠1}, 如果 P∩Q 有且只有一个元素,那么实数 m 的取值范围是

(1,+∞) ____________. 解 析
如果 P∩Q 有且只有一个元素,即函数 y=m 与 y=ax+1 (a>0 且 a≠1)的图象只有一个公共点, y=ax+1 的图象 而 是由 y=ax 向上平移 1 个单位得到的,结合指数函数性质 得 m∈(1,+∞).

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

2x 1 3.设函数 f(x)= x- ,[x]表示不超过 x 的最大整数,则 1+2 2 函数 y=[f(x)]的值域是____________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

2x 1 3.设函数 f(x)= x- ,[x]表示不超过 x 的最大整数,则 1+2 2

{0,-1} 函数 y=[f(x)]的值域是____________. 解 析
1+2x-1 1 1 1 f(x)= -2=2- . 1+2x 1+2x

∵1+2

x

? 1 1? >1,∴f(x)的值域是?-2,2?. ? ?

∴y=[f(x)]的值域是{0,-1}.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

4.函数 f(x)=a

x2 ? 2x ? 3

+m (a>1)恒过点(1,10),则 m=______.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

4.函数 f(x)=a

x2 ? 2x ? 3

+m (a>1)恒过点(1,10),则 m=______. 9

解 析
f(x)=a
x2 ? 2x ? 3

+m 在 x2+2x-3=0 时过定点(1,1+m)或(-3,

1+m),∴1+m=10,解得 m=9.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

5.若函数 f(x)=ax-x-a(a>0,且 a≠1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

5.若函数 f(x)=ax-x-a(a>0,且 a≠1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是________.

解 析
令 ax-x-a=0 即 ax=x+a,若 0<a<1,显然 y=ax 与 y=x+a 的图象只有一个公共点; 若 a>1,y=ax 与 y=x+a 的图象如图所示.

基础知识

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

6. 关于 x

?3? 2+3a x 的方程?2? = 有负数根, 则实数 5-a ? ?

a 的取值范围为

__________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

6. 关于 x

? 2 3? ?- , ? ? 3 4? __________.

?3? 2+3a x 的方程?2? = 有负数根, 则实数 5-a ? ?

a 的取值范围为

解 析
由题意,得 x<0,所以
?3? 0<?2?x<1, ? ?

2+3a 2 3 从而 0< <1,解得-3<a<4. 5-a

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2


B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

e x a 7.(14 分)设 f(x)= a + -x是定义在 R 上的函数. e (1)f(x)可能是奇函数吗? (2)若 f(x)是偶函数,试研究其在(0,+∞)上的单调性.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2


B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

e x a 7.(14 分)设 f(x)= a + -x是定义在 R 上的函数. e (1)f(x)可能是奇函数吗? (2)若 f(x)是偶函数,试研究其在(0,+∞)上的单调性.
解 (1)假设 f(x)是奇函数,由于定义域为 R, ?e-x a? ex a ? ∴f(-x)=-f(x),即 a +ex=-? a + -x?, e ? ? ?
? 1? x -x 整理得?a+a?(e +e )=0, ? ?

解 析

1 即 a+ =0,即 a2+1=0 显然无解. a ∴f(x)不可能是奇函数.

-x ex a e a (2)因为 f(x)是偶函数,所以 f(-x)=f(x),即 a +ex= a + -x, e ? 1? ?a- ?(ex-e-x)=0, 整理得 a? ? 思想方法 题型分类 练出高分 基础知识

练出高分
1 2


B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

e x a 7.(14 分)设 f(x)= a + -x是定义在 R 上的函数. e (1)f(x)可能是奇函数吗? (2)若 f(x)是偶函数,试研究其在(0,+∞)上的单调性.
又∵对任意 x∈R 都成立, 1 ∴有 a-a=0,得 a=± 1.

解 析

当 a=1 时,f(x)=e-x+ex,以下讨论其单调性, 任取 x1,x2∈(0,+∞)且 x1<x2, ?e x -e x ??e x ? x -1? 则 f(x1)-f(x2)=e x +e ? x -e x -e ? x = , ex ?x
1 2 1 2 1 1 2 2
1 2

<0,∴e x ? x -1>0, e-x a ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),∴函数 f(x)= + -x, a e 当 a=1 时,在(0,+∞)为增函数,
1 2 1 1 2

∵x1,x2∈(0,+∞)且 x1<x2,∴e x ? x >1,e x

? x2

同理,当 a=-1 时,f(x)在(0,+∞)为减函数.

基础知识

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

a - 8.(14 分)已知 f(x)= 2 (ax-a x) (a>0 且 a≠1). a -1 (1)判断 f(x)的奇偶性; (2)讨论 f(x)的单调性; (3)当 x∈[-1,1]时,f(x)≥b 恒成立,求 b 的取值范围.

解 析

基础知识

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

a - 8.(14 分)已知 f(x)= 2 (ax-a x) (a>0 且 a≠1). a -1 (1)判断 f(x)的奇偶性; (2)讨论 f(x)的单调性; (3)当 x∈[-1,1]时,f(x)≥b 恒成立,求 b 的取值范围.
解 (1)函数定义域为 R,关于原点对称. a - 又因为 f(-x)= 2 (a x-ax)=-f(x),所以 f(x)为奇函数. a -1 - (2)当 a>1 时,a2-1>0,y=ax 为增函数,y=a x 为减函数,从而 - y=ax-a x 为增函数,所以 f(x)为增函数.
y=ax 为减函数,y=a-x 为增函数, 从而 y=ax-a-x 为减函数.所以 f(x)为增函数. 故当 a>0,且 a≠1 时,f(x)在定义域内是增函数.

解 析

当 0<a<1 时,a2-1<0,

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练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5 6 7 8

a - 8.(14 分)已知 f(x)= 2 (ax-a x) (a>0 且 a≠1). a -1 (1)判断 f(x)的奇偶性; (2)讨论 f(x)的单调性; (3)当 x∈[-1,1]时,f(x)≥b 恒成立,求 b 的取值范围.
(3)由(2)知 f(x)在 R 上是增函数,
∴在区间[-1,1]上为增函数.
所以 f(-1)≤f(x)≤f(1), 2 a a 1-a ∴f(x)min=f(-1)= 2 (a-1-a) = 2 · a =-1, a -1 a -1 ∴要使 f(x)≥b 在[-1,1]上恒成立,

解 析

则只需 b≤-1,故 b 的取值范围是(-∞,-1].

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