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广州市2012届高三年级调研测试数学(文科试题及答案)



试卷类型:B

广州市 2012 届高三年级调研测试

数 学(文科)

2011.12

本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号 填写在答题卡上,并用 2B 铅笔在答题卡上的

相应位置填涂考生号。用 2B 铅笔将试卷类 型(B)填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须填写在答题卡各题目指定区域内 相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改 液.不按以上要求作答的答案无效. 4. 作答选做题时, 请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号 (或题组号) 对应的信息点, 再作答. 漏 涂、错涂、多涂的,答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式:锥体体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高. 3
2

球的表面积公式 S ? 4?R ,其中 R 为球的半径. 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知集合 A ? ?1,2? , B ? ??2,1,2? ,则 A ? B 等于 A. ??2? 2.已知函数 f ? x ? ? ? A.1 B. ?1? C. ?1, 2? D. ??1,1, 2?

?1 ? x, ?a ,
B.2
x

x ? 0, x ? 0.

若 f ?1? ? f ? ?1? ,则实数 a 的值等于 C.3 D.4

3.设复数 z1 ? 1 ? 3i , z2 ? 3 ? 2i ,则 A.第一象限 B.第二象限

z1 在复平面内对应的点在 z2
C.第三象限 D.第四象限

4.等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a3 ? 3 , S 3 ? 6 ,则 a10 的值是 A.1 B.3 C.10 D.55

5.已知向量 a ? ? 2 ,? , b ? ? x, 2? ,若 a ∥ b ,则 a + b 等于 1 ? A. ? ?2, ?1?
2

B. ? 2,1?
2

C. ? 3, ?1?

D. ? ?3,1?

6.直线 y ? kx ? 1 与圆 x ? y ? 4 的位置关系是 A.相交 B.相切 C.相离
第 1 页(共 12 页)

D.与 k 的取值有关

7.已知函数 f ( x) ? sin ? 2 x ?

? ?

3? ? ? ( x ? R) ,下面结论错误的是 .. 2 ?
B.函数 f (x) 是偶函数

A.函数 f (x) 的最小正周期为 ? C.函数 f (x) 的图象关于直线 x ?

? 对称 4

D.函数 f (x) 在区间 ? 0,

? ?? 上是增函数 ? 2? ?

8.设一个球的表面积为 S1 ,它的内接正方体的表面积为 S2 ,则

S1 的值等于 S2
D.

A.

2 ?

B.

6 ?

C.

? 6

? ?

? x ? 0, ? 9.已知实数 x, y 满足 ? y ? 1, 若目标函数 z ? ax ? y ?a ? 0? 取得最小值时最优解有无数个, ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0. ?
则实数 a 的值为 A. ?1 B. ?

1 2

C.

1 2

D.1

10. 定义: 若函数 f (x) 的图像经过变换 T 后所得图像对应函数的值域与 f (x) 的值域相同, 则称变换 T 是 f (x) 的同值变换.下面给出四个函数及其对应的变换 T ,其中 T 不属于 f (x) 的同值变换的是 A. f ( x) ? ( x ? 1) 2 , T 将函数 f (x) 的图像关于 y 轴对称 B. f ( x) ? 2 x?1 ? 1 , T 将函数 f (x) 的图像关于 x 轴对称 C. f ( x) ? 2 x ? 3 , T 将函数 f (x) 的图像关于点 ? ?1,1? 对称 D. f ( x) ? sin ? x ?

? ?

??

? , T 将函数 f (x) 的图像关于点 ? ?1,0? 对称 3?
开始

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分, 满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.在区间 ? 0,1? 内任取两个实数,则这两个实数之和小于 0.8 的概 率是 . 12.已知程序框图如右,则输出的 i =


S ?1
i ?3


2

S ? 100?


13.已知直线 y ? k ? x ? 2? ? k ? 0 ? 与抛物线 y ? 8x 相交于 A 、 B 两 点, F 为抛物线的焦点,若 FA ? 2 FB ,则 k 的值为 .

输出i

S ? S *i

结束

i ?i?2

第 2 页(共 12 页)

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题) 如右图, AB 是圆 O 的直径,直线 CE 与圆 O 相切于点 C , AD ? CE 于
? 点 D ,若圆 O 的面积为 4? , ?ABC ? 30 ,则 AD 的长为

B O

. C

A D E

15. (极坐标与参数方程选做题) 在极坐标系中,点 A 的坐标为 ? 2 2, 在直线被曲线 C 所截弦的长度为

? ?

?? ? ,曲线 C 的方程为 ? ? 2 cos? ,则 OA ( O 为极点)所 4?


三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 如图,在 ?ABC 中,点 D 在 BC 边上, AD ? 33 , sin ?BAD ?

5 , 13

A

3 . 5 (1)求 sin ?ABD 的值; (2)求 BD 的长. cos ?ADC ?
B A D A C A

17. (本小题满分 12 分) 某城市为准备参加“全国文明城市”的评选,举办了“文明社区”评选的活动,在第一轮暗访评分 中,评委会对全市 50 个社区分别从“居民素质”和“社区服务”两项进行评分,每项评分均采用 5 分制,若设“社区服务”得分为 x 分, “居民素质”得分为 y 分,统计结果如下表:

y
社区数量

居民素质 1分 2分 3 0 1 3分 1 7 0 6 1 4分 0 5 9 0 1 5分 1 1 3 1 3

x
社 区 服 务 1分 2分 3分 4分 5分

1 1 2

a
0

b
0

(1)若“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于 3 分(即 x ? 3 且 y ? 3 )的社区可以进入 第二轮评比,现从 50 个社区中随机选取一个社区,求这个社区能进入第二轮评比的概率; (2)若在 50 个社区中随机选取一个社区,这个社区的“居民素质”得 1 分的概率为 的值.

1 ,求 a 、b 10

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18.(本小题满分 14 分)
2 2 各项均为正数的数列 {an } ,满足 a1 ? 1 , an?1 ? an ? 2 ( n ? N ) .
*

(1)求数列 {an } 的通项公式;

? an 2 ? (2)求数列 ? n ? 的前 n 项和 Sn . ?2 ?
19.(本小题满分 14 分) 如图所示,已知正方形 ABCD 的边长为 2, AC ? BD ? O .将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起, 得到三棱锥 A ? BCD . (1)求证:平面 AOC ? 平面 BCD ; (2)若三棱锥 A ? BCD 的体积为

6 ,求 AC 的长. 3

A

B

O

D

C 20. (本小题满分 14 分)

x2 y 2 设椭圆 M : 2 ? ? 1 a ? 2 的 右 焦 点 为 F1 , 直 线 l : x ? a 2

?

?

a2 a2 ? 2

与 x 轴交于点 A ,若

???? ???? . OF1 ? 2 AF1 ? 0 (其中 O 为坐标原点)
(1)求椭圆 M 的方程; (2)设 P 是椭圆 M 上的任意一点, EF 为圆 N : x 2 ? ? y ? 2? ? 1 的任意一条直径( E 、 F 为直
2

径的两个端点) ,求 PE ? PF 的最大值. 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ?

1 3 a 2 x ? x ? 2 x ? a?R ? . 3 2

(1)当 a ? 3 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若对于任意 x ??1, ?? ? 都有 f ?( x) ? 2(a ? 1) 成立,求实数 a 的取值范围; (3)若过点 ? 0, ? ? 可作函数 y ? f ? x ? 图象的三条不同切线,求实数 a 的取值范围.
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? ?

1? 3?

广州市 2012 届高三年级调研测试

数学(文科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参 考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给 以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题 的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答 应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答案 C B D C A A C D A B

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分, 满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 11. 0.32 12.9 13. 2 2 14.1 15. 2

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 解: (1)因为 cos ?ADC ?
2

3 , 5

所以 sin ?ADC ? 1 ? cos ?ADC ? 因为 sin ?BAD ?

4 .??????????????????????2 分 5

5 , 13
2

所以 cos ?BAD ? 1 ? sin ?BAD ? 因为 ?ABD ? ?ADC ? ?BAD ,

12 .??????????????????????4 分 13

所以 sin ?ABD ? sin ? ?ADC ??BAD?

? sin ?ADC cos ?BAD ? cos ?ADC sin ?BAD ????????????6 分 4 12 3 5 33 ? ? ? ? ? .??????????????????????8 分 5 13 5 13 65 BD AD ? (2)在△ ABD 中,由正弦定理,得 ,????????????10 分 sin ?BAD sin ?ABD 5 33 ? AD ? sin ?BAD 13 ? 25 .????????????????????12 分 所以 BD ? ? 33 sin ?ABD 65
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17. (本小题满分 12 分) 解: (1)从表中可以看出, “居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于 3 分(即 x ? 3 且 y ? 3 ) 的社区数量为 24 个.???????????????????????????????2 分 设这个社区能进入第二轮评比为事件 A ,则 P ? A? ? 所以这个社区能进入第二轮评比的概率为

24 12 ? . 50 25

12 .????????????????????4 分 25

(2)从表中可以看出, “居民素质”得 1 分的社区共有 ? 4 ? a ? 个,???????????6 分 因为“居民素质”得 1 分的概率为 所以

1 , 10

4?a 1 ? . ?????????????????????????????????8 分 50 10 解得 a ? 1 .???????????????????????????????????10 分 因为社区总数为 50 个,所以 a ? b ? 47 ? 50 . 解得 b ? 2 . ???????????????????????????????????12 分
18. (本小题满分 14 分) 解: (1)因为 an?1 ? an ? 2 ,
2 2
2 所以数列 an 是首项为 1,公差为 2 的等差数列.???????????????????2 分

? ?

2 所以 an ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 .?????????????????????????4 分
* 因为 an ? 0 ,所以 an ? 2n ?1 n ? N .?????????????????????6 分

?

?

an 2 2n ? 1 ? n .?????????????????7 分 2n 2 1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 所以 Sn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? , ①????????????????8 分 2 2 2 2 2n 1 1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 ? n ?1 , 则 Sn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ②????????????????9 分 2 2 2 2 2n 2 1 1 2 2 2 2 2n ? 1 ①-②得, S n ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? n ?1 ????????????????11 分 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ? 2n ? 1 ?1 1 1 ? ? 2 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? ? n?1 2 2 ? 2 ?2 2 2 1? 1 ? ?1 ? n?1 ? 2n ? 1 1 4 2 ? ? ? 2? ? ? n?1 ???????????????????12 分 1 2 2 1? 2 3 2n ? 3 ? ? n ?1 .??????????????????????????13 分 2 2 2n ? 3 所以 S n ? 3 ? .??????????????????????????????14 分 2n
(2)由(1)知, an ? 2n ?1 ,所以
第 6 页(共 12 页)

19. (本小题满分 14 分) (1)证明:因为 ABCD 是正方形, 所以 BD ? AO , BD ? CO .??????????1 分 在折叠后的△ ABD 和△ BCD 中, 仍有 BD ? AO , BD ? CO .??????????2 分 因为 AO ? CO ? O ,所以 BD ? 平面 AOC .???3 分 因为 BD ? 平面 BCD , 所以平面 AOC ? 平面 BCD .??????????4 分 (2)解:设三棱锥 A ? BCD 的高为 h , 由于三棱锥 A ? BCD 的体积为

A

B

O

D

C

6 , 3

所以 S?BCD h ?

1 3

6 .??????????????????????????????5 分 3

因为 S ?BCD ?

1 1 6 BC ? CD ? ? 2 ? 2 ? 2 ,所以 h ? .???????????????6 分 2 2 2

以下分两种情形求 AC 的长: ①当 ?AOC 为钝角时,如图,过点 A 作 CO 的垂线交 CO 的延长线于点 H , 由(1)知 BD ? 平面 AOC ,所以 BD ? AH . 又 CO ? AH ,且 CO ? BD ? O ,所以 AH ? 平面 BCD . 所以 AH 为三棱锥 A ? BCD 的高,即 AH ? 在 Rt △ AOH 中,因为 AO ? 2 , 所以 OH ?

6 .??????????????????7 分 2
A

AO2 ? AH 2
H

?

? 2?

2

? 6? 2 .??????8 分 ?? ? 2 ? ? 2 ? ? ?

2

B

O

D

在 Rt △ ACH 中,因为 CO ? 2 , C 则 CH ? CO ? OH ?

2?

2 3 2 ? .?????9 分 2 2
2 2

? 6 ? ?3 2 ? 所以 AC ? AH ? CH ? ? .???????????????10 分 ? 2 ? ?? 2 ? ? 6 ? ? ? ? ? ? ? ②当 ?AOC 为锐角时,如图,过点 A 作 CO 的垂线交 CO 于点 H , 由(1)知 BD ? 平面 AOC ,所以 BD ? AH . 又 CO ? AH ,且 CO ? BD ? O ,所以 AH ? 平面 BCD .
2 2

第 7 页(共 12 页)

所以 AH 为三棱锥 A ? BCD 的高,即 AH ? 在 Rt △ AOH 中,因为 AO ? 2 , 所以 OH ?

6 .??????????????????11 分 2
A

AO2 ? AH 2

?

? 2?

2

? 6? 2 .????12 分 ?? ? 2 ? ? 2 ? ? ?

2

B H C

O

D

在 Rt △ ACH 中,因为 CO ? 2 , 则 CH ? CO ? OH ?

2?

2 2 . ???????????????????????13 分 ? 2 2
2 2

? 6? ? 2? 所以 AC ? AH ? CH ? ? . ? 2 ? ?? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ?
2 2

综上可知, AC 的长为 2 或 6 .?????????????????????????14 分 20. (本小题满分 14 分)

? a2 ? , 0 ? , F1 解: (1)由题设知, A ? 2 ? a ?2 ?
由 OF ? 2 AF ? 0 ,得 a ? 2 ? 2? 1 1
2

?

a2 ? 2,0 ,????????????????1 分

?

????

????

? a2 ? ? a 2 ? 2 ? .??????????????3 分 ? 2 ? ? a ?2 ?

解得 a ? 6 .
2

所以椭圆 M 的方程为 M :

x2 y2 ? ? 1 .??????????????????????4 分 6 2
2

(2)方法 1:设圆 N : x 2 ? ? y ? 2? ? 1 的圆心为 N , 则 PE ? PF ? NE ? NP ? NF ? NP ????????????????????????6 分

?

??

?

???? ??? ???? ??? ? ? ? ? NF ? NP ? NF ? NP ???????????????????????7 分

?

??

?

??? 2 ??? 2 ??? 2 ? ? ? ? NP ? NF ? NP ?1 .????????????????????????8 分
从而求 PE ? PF 的最大值转化为求 NP 的最大值.??????????????????9 分 因为 P 是椭圆 M 上的任意一点,设 P?x0 , y0 ? ,???????????????????10 分
第 8 页(共 12 页)
2

所以

x0 y 2 2 ? 0 ? 1 ,即 x0 ? 6 ? 3 y0 .??????????????????????11 分 6 2
2 2 2 2

2

2

因为点 N ?0,2? ,所以 NP ? x0 ? ? y 0 ? 2? ? ?2? y 0 ? 1? ? 12 .???????????12 分 因为 y0 ? ? ? 2, 2 ? ,所以当 y0 ? ?1 时, NP 取得最大值 12.???????????13 分
2

?

?

所以 PE ? PF 的最大值为 11.???????????????????????????14 分 方法 2:设点 E( x1, y1 ), F ( x2 , y2 ), P( x0, y0 ) , 因为 E , F 的中点坐标为 (0, 2) ,所以 ?

? x2 ? ? x1 , ??????????????????6 分 ? y2 ? 4 ? y1.

所以 PE ? PF ? ( x1 ? x0 )( x2 ? x0 ) ? ( y1 ? y0 )( y2 ? y0 ) ?????????????????7 分

??? ??? ? ?

? ( x1 ? x0 )(? x1 ? x0 ) ? ( y1 ? y0 )(4 ? y1 ? y0 )
2 2 ? x0 ? x12 ? y0 ? y12 ? 4 y1 ? 4 y0 2 2 ? x0 ? y0 ? 4 y0 ? ( x12 ? y12 ? 4 y1 ) .???????????????????9 分 2 2 2 因为点 E 在圆 N 上,所以 x1 ? ( y1 ? 2)2 ? 1 ,即 x1 ? y1 ? 4 y1 ? ?3 .?????????10 分
2 2 x0 y0 2 2 ? ? 1 ,即 x0 ? 6 ? 3 y0 .?????????????11 分 6 2

因为点 P 在椭圆 M 上,所以

2 所以 PE ? PF ? ?2 y0 ? 4 y0 ? 9 ? ?2( y0 ? 1)2 ? 11.?????????????????12 分

??? ??? ? ?

因为 y0 ?[? 2 , 2] ,所以当 y0 ? ?1 时, PE ? PF

?

??? ??? ? ?

?

min

? 11 .????????????14 分

方法 3:①若直线 EF 的斜率存在,设 EF 的方程为 y ? kx ? 2 ,????????????6 分 由?

? y ? kx ? 2 ? x ? ( y ? 2) ? 1
2 2

,解得 x ? ?

1 k 2 ?1

.?????????????????????7 分

因为 P 是椭圆 M 上的任一点,设点 P?x0 , y0 ? ,

x y 2 2 所以 0 ? 0 ? 1 ,即 x0 ? 6 ? 3 y0 .??????????????????????8 分 6 2
所以 PE ? ?

2

2

??? ? ?

1

2 ? k ?1

? x0 ,

? ? ??? ? ? 1 k ? 2 ? y0 ? , PF ? ? ? ? x0 , ? ? 2 ? y0 ? 2 2 2 k ?1 k ?1 k ?1 ? ? ? k
????????????????????9 分

第 9 页(共 12 页)

所以 PE ? PF ? x0 ?
2

1 k2 2 ? (2 ? y 0 ) 2 ? 2 ? x0 ? (2 ? y 0 ) 2 ? 1 ? ?2( y 0 ? 1) 2 ? 11. 2 k ?1 k ?1
????????????????????10 分

因为 y0 ? ? ? 2, 2 ? ,所以当 y0 ? ?1 时, PE ? PF 取得最大值 11.??????????11 分

?

?

②若直线 EF 的斜率不存在,此时 EF 的方程为 x ? 0 , 由?

?x ? 0
2 2 ? x ? ( y ? 2) ? 1

,解得 y ? 1 或 y ? 3 .

不妨设, E ? 0,3? , F ? 0,1? .???????????????????????????12 分 因为 P 是椭圆 M 上的任一点,设点 P?x0 , y0 ? ,

x y 2 2 所以 0 ? 0 ? 1 ,即 x0 ? 6 ? 3 y0 . 6 2 ??? ? ??? ? 所以 PE ? ? ? x0 ,3 ? y0 ? , PF ? ? ? x0 ,1 ? y0 ? . ??? ??? ? ? 所以 PE ? PF ? x02 ? y02 ? 4 y0 ? 3 ? ?2( y0 ?1)2 ?11.
因为 y0 ? ? ? 2, 2 ? ,所以当 y0 ? ?1 时, PE ? PF 取得最大值 11.??????????13 分

2

2

?

?

综上可知, PE ? PF 的最大值为 11.????????????????????????14 分 21. (本小题满分 14 分) 解: (1)当 a ? 3 时, f ? x ? ? ?
2

1 3 3 2 x ? x ? 2 x ,得 f ' ? x ? ? ?x 2 ? 3x ? 2 .???????1 分 3 2

因为 f ' ? x ? ? ?x ? 3x ? 2 ? ? ? x ?1?? x ? 2? , 所以当 1 ? x ? 2 时, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增; 当 x ? 1 或 x ? 2 时, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减. 所以函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ?1, 2 ? ,单调递减区间为 ? ??,1? 和 ? 2,??? .??????3 分 (2)方法 1:由 f ? x ? ? ?

1 3 a 2 x ? x ? 2 x ,得 f ' ? x ? ? ?x2 ? ax ? 2 , 3 2

因为对于任意 x ??1, ?? ? 都有 f '( x) ? 2(a ? 1) 成立, 即对于任意 x ??1, ?? ? 都有 ? x ? ax ? 2 ? 2(a ?1) 成立,
2

即对于任意 x ??1, ?? ? 都有 x ? ax ? 2a ? 0 成立,??????????????????4 分
2

令 h ? x ? ? x ? ax ? 2a ,
2

第 10 页(共 12 页)

要使对任意 x ??1, ?? ? 都有 h ? x ? ? 0 成立,

? ? ? 0, ? ?a ? ? 0 或 ? ? 1, ????????????????????????????5 分 必须满足 ?2 ? h ?1? ? 0. ?
?a 2 ? 8a ? 0, ? ?a 2 即 a ? 8a ? 0 或 ? ? 1, ???????????????????????????6 分 ?2 ?1 ? a ? 0. ?
所以实数 a 的取值范围为 ? ?1,8? .?????????????????????????7 分 方法 2:由 f ? x ? ? ?

1 3 a 2 x ? x ? 2 x ,得 f ' ? x ? ? ?x2 ? ax ? 2 , 3 2

因为对于任意 x ??1, ?? ? 都有 f '( x) ? 2(a ? 1) 成立, 所以问题转化为,对于任意 x ??1, ?? ? 都有 ? f '( x)?max ? 2(a ?1) .???????????4 分 因为 f ? ? x ? ? ? ? x ? ①当

? ?

a a ? a2 ? ? ? 2 ,其图象开口向下,对称轴为 x ? 2 . 2? 4

2

a ? 1 时,即 a ? 2 时, f ' ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递减, 2

所以 f ' ? x ?max ? f ' ?1? ? a ? 3 , 由 a ? 3 ? 2 ? a ?1? ,得 a ? ?1 ,此时 ?1 ? a ? 2 .??????????????????5 分 ②当

a ? a? ?a ? ? 1 时,即 a ? 2 时, f ' ? x ? 在 ?1, ? 上单调递增,在 ? , ?? ? 上单调递减, 2 ? 2? ?2 ?

所以 f ' ? x ?max ? f ' ?

?a? a ? ? ?2, ?2? 4
2

a2 ? 2 ? 2 ? a ? 1? ,得 0 ? a ? 8 ,此时 2 ? a ? 8 .?????????????????6 分 由 4
综上①②可得,实数 a 的取值范围为 ? ?1,8? .????????????????????7 分 (3)设点 P ? t , ? t ?
3

? ?

1 3

a 2 ? t ? 2t ? 是函数 y ? f ? x ? 图象上的切点, 2 ?
2

则过点 P 的切线的斜率为 k ? f ' ? t ? ? ?t ? at ? 2 ,??????????????????8 分
第 11 页(共 12 页)

所以过点 P 的切线方程为 y ? t ?
3

1 3

a 2 t ? 2t ? ? ?t 2 ? at ? 2 ? ? x ? t ? .??????????9 分 2

因为点 ? 0, ? ? 在切线上,

? ?

1? 3?

1 1 3 a 2 ? t ? t ? 2t ? ? ?t 2 ? at ? 2 ? ? 0 ? t ? , 3 3 2 2 3 1 2 1 即 t ? at ? ? 0 .?????????????????????????????10 分 3 2 3
所以 ? 若过点 ? 0, ? ? 可作函数 y ? f ? x ? 图象的三条不同切线,

? ?

1? 3?

2 3 1 2 1 t ? at ? ? 0 有三个不同的实数解.??????????????????11 分 3 2 3 2 3 1 2 1 令 g ? t ? ? t ? at ? ,则函数 y ? g ? t ? 与 t 轴有三个不同的交点. 3 2 3 a 2 令 g? ?t ? ? 2t ? at ? 0 ,解得 t ? 0 或 t ? .????????????????????12 分 2
则方程 因为 g ? 0 ? ?

1 1 3 1 ?a? ,g? ? ? ? a ? , 3 24 3 ?2?

所以必须 g ?

1 3 1 ?a? ? ? ? a ? ? 0 ,即 a ? 2 .????????????????????13 分 24 3 ?2?

所以实数 a 的取值范围为 ? 2,??? .????????????????????????14 分

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