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【解析】陕西省师大附中2013届高三上学期第一次模拟考试数学文试题



数学一模试题(文科)
第Ⅰ卷 选择题(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.若复数 z ? ( x 2 ? 2 x ? 3) ? ( x ? 1)i 为纯虚数,则实数 x 的值为 A.3 【答案】C 【解析】因为复数 z ? ( x ? 2 x ? 3) ? ( x ? 1)i 为纯虚数,所以 ?
2

B.1

C.-3

D.1 或-3

? x2 ? 2x ? 3 ? 0 ?x ?1 ? 0

, 解得x ? ?3 ,因此选 C。

2.已知? , ? 为不重合的两个平面,直线 m 在平面? 内,则“ m ? ? ”是“? ? ? ”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 【答案】A 【解析】因为直线 m 在平面? 内,m ? ? ,所以面面垂直的判断定理得? ? ? ;若? ? ? ,则 m ? ? 不一定成立, 只有直线 m 垂直于平面? , ? 的交线时,才能得到 m ? ? 。 3.已知集合 A ? {x x ? 1 ? 2} , B ? {x x ? m} ,且 A ? B ? A ,则实数 m 的取值范围是 A. m ? 3 【答案】C 【解析】集合 A ? {x x ? 1 ? 2} ? ? x | ?1 ? x ? 3? ,又 B ? {x x ? m} ,且 A ? B ? A ,所以 A ? B ,所 以 m ? ?1 ,因此选 C。 4.已知 ?a n ? 为等差数列,若 a1 ? a5 ? a9 ? 8? ,则 cos(a2 ? a8 ) 的值为 A. ? 【答案】A 【 解 析 】 因 为 B. m ? 3 C. m ? ?1 D. m ? ?1 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 2

B. ?

3 2

C.

1 2

D.

3 2
8? 3

a1 ? a5 ? a9 ? 8?







3a5 ? 8? , 即a5 ?







16? ? 1 cos(a2 ? a8 ) ? cos 2a5 ? cos ? ? cos ? ? ,因此选 A。 3 3 2

x2 y 2 y2 x2 3 5.若椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,则双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率为 2 a b a b

1

A. 3 【答案】B 【解析】因为若椭圆

B.

5 2

C.

7 2

D.2

x2 y 2 c2 a 2 ? b2 b2 3 3 2 ,所以 e ? 2 ? ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ? 1 ? 2 ? ,所 a a2 a 4 2 a2 b



b2 1 y2 x2 b2 5 5 。 ? ,所以双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率为 e 2 ? 1 ? 2 ? , 所以e ? 2 a 4 a 4 2 a b

6.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A ? 0,| ? |?

?
2



的图象如图所示,为了得到 g ( x) ? sin 2 x 的图像, 则只需将 f ( x) 的图像 A.向右平移 C.向左平移 【答案】A 【解析】法一:由图像易知: A ? 1, T ? 4 ?

? ?
6 6

个长度单位 个长度单位

B.向右平移 D.向左平移

?
12

个长度单位 个长度单位

?

12

2? ? 7? ? ? ? ? ? ? , 所以? ? ? 2 ,所以 T ? 12 3 ?

? 7? ? f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ,把点 ? , ?1? 代入, ? 12 ?
得 sin(2 ?

7? ? ? ? ? ? ) ? ?1,因为 ? ? , 所以? ? ,所以 f ( x) ? sin(2 x ? ) ,把函数 12 2 3 3

? ? ?? ?? ? ? f ( x) ? sin(2 x ? ) 向右平移 个长度单位得到函数 y ? sin ? 2 ? x ? ? ? ? ? sin 2 x 的 6 ? 3? 3 6 ? ?
图像,因此选 A。 法二:根据图像可知,函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 的图像与 x 的负半轴最靠近原点的交点坐 标为 ? ?

? ? ? ? , 0 ? ,所以要得到函数 g ( x) ? sin 2 x 的图像,则只需将 f ( x) 的图像 向右平移 6 ? 6 ?
??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

个长度单位。

2 2 7.已知直线 x ? y ? a 与圆 x ? y ? 4 交于 A, B 两点,且 | OA ? OB |?| OA ? OB |

(其中 O 为坐标原点) ,则实数 a 的值为 A. 2 【答案】C 【解析】因为 | OA ? OB |?| OA ? OB | ,所以以 OA、OB 为邻边做的平行四边形为正方形,即 OA⊥OB,所以
2

B. 6

C. 2 或 ?2

D. 6 或 ? 6

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

AB=2 2 ,即圆心到直线 x ? y ? a 的距离为 2 ,所以

0?0?a 2

? 2, 解得a ? 2或 ? 2 。因此选 C。

8.已知数列 ?a n ? 中, a1 ? 1 , a n ?1 ? a n ? n ,若利用如图所示的程序框图计算该数列的第 10 项的值,则 判断框内的条件是 A. n ? 8 C. n ? 10 B. n ? 9 D. n ? 11

【答案】B 【解析】通过分析,本程序框图为“当型“循环结构,判断框内为满足循环的条件, 第 1 次循环,S=S+n=1+1=2,n=1+1=2,此时计算的是该数列的第二项; 第 2 次循环,S=S+n=2+2=4,n=2+1=3,此时计算的是该数列的第三项; ? 第 9 次循环,n=9+1=10,此时计算的是该数列的第 10 项; 所以,判断条件应为 n≤9 或 n<10,故选 B. 9.已知 2 ? a ? 2 ,则函数 f ( x) ? A.1 【答案】D 【 解 析 】 函 数 f ( x) ? B.2

a 2 ? x 2 ? x ? 2 的零点个数为
C.3 D.4

a 2 ? x 2 ? x ? 2 的 零 点 个 数 为 函 数 y ? a 2 ? x 2 即x 2 +y 2 ? a 2 ( y ? 0) 和 函 数

y ? ? x ? 2 的图像交点的个数,在同一平面直角坐标系画出函数 x 2 +y 2 ? a 2 ( y ? 0) 和函数 y ? ? x ? 2
的图像,由图像知当 2 ? a ? 2 时,图像由 4 个交点,因此选 D。

3

2 -2 -2 2

10.已知函数 f ( x) 对任意 x ? R 都有 f ( x ? 4) ? f ( x) ? 2 f (2) ,若 y ? f ( x ? 1) 的图象关于直线 x ? 1 对 称,且 f (1) ? 2 ,则 f (2013) ? A.2 【答案】A 【解析】因为 f ( x ? 4) ? f ( x) ? 2 f (2) ,所以令 x=0 得: f (4)-f (0)=2 f (2) ,因为 B.3 C.4 D.0

y ? f ( x ? 1) 的图象关于直线 x ? 1 对称,所以 f ? 4 ? ? f ? ?2 ? , f ? 0 ? ? f ? 2 ? ,所以

f (?2)-f (2)=2 f (2), 即f ( ?2)=3 f (2) ????①
令 x=-2,得 f (2) ? f (-2) ? 2 f (2),即f (2)= ? f (-2) ????② ①②联立解得 f ? 2 ? =0 ,所以 f ( x ? 4)=f ( x) ,所以函数 f ( x) 的周期为 4,所以

f (2013) ? f ?1? ? 2 ,因此选 A。

第Ⅱ卷

非选择题(共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填写在题中的横线上. 11.曲线 y ? f ( x) 在点 P (5, f (5)) 处的切线方程是 y ? ? x ? 8 ,则 f (5) ? f ?(5) ? ____. 【答案】2 【 解 析 】 因 为 曲 线 y ? f ( x) 在 点 P (5, f (5)) 处 的 切 线 方 程 是 y ? ? x ? 8 , 所 以

f ' ? 5 ? ? ?1, f ? 5 ? ? ?5 ? 8 ? 3 ,所以 f (5) ? f ?(5) ? 2.
?x ? 0 ? 12.设 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ,则 z ? x ? y 的最大值是_____________. ?2 x ? y ? 3 ?
【答案】0
4

?x ? 0 ? 【解析】画出线性约束条件 ? x ? 2 y ? 3 的可行域, ?2 x ? y ? 3 ?

2 A 2 -2

由图知,目标函数过点 A 时 z ? x ? y 取最大值,又 ? 值为 z ? 2 ? 2 ? 0 。 13.已知 2+

?x ? 2 y ? 3 得 A(2,2) ,把点 A 的坐标代入得 z 的最大 ?2 x ? y ? 3

2 2 3 3 =2· , 3+ =3· , 3 3 8 8

4+

4 4 =4· ,?. 15 15

若 8+

a a =8· ( a, t 均为正实数) ,类比以上等式,可推测 a, t 的值, t t
.

则a?t = 【答案】71

【解析】因为 2+

2 2 3 3 4 4 =2· , 3+ =3· , 4+ =4· 3 3 8 8 15 15 ,由类比推

5+
理得:

5 5 6 6 7 7 8 8 ?6 , 7+ ? 7 , 8+ ? 8 =5· , 6+ ,所 24 24 35 35 48 48 63 63

以 a ? 8, t ? 63, 所以a ? t ? 71 。

14.如图,一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为 那么这个几何体的表面积为____________.

3 ,一个内角为 60? 的菱形,俯视图为正方形, 2

5

【答案】4 【解析】由三视图知:该几何体是有两个完全相同正四棱锥组合在一起的,因为正视图、侧视图都是面积 为

3 ,一个内角为 60? 的菱形,所以菱形的边长为 1,所以正四棱锥的底面边长为 1,侧面的斜高为 2
1 ? 1? 1? 8 ? 4 。 2

1,所以这个几何体的表面积为 S ?

15. 在 ?ABC 中 , D 为 BC 中 点 , AB ? 5, AC ? 3, AB, AD, AC 成 等 比 数 列 , 则 ?ABC 的 面 积 为 【答案】 14 .

? 【解析】延长 AD 到 E,使 DE ? 15 ,显然 ?ABD ??ECD ,所以 ?ABC 的面积就是 ?AEC 的面积,在

?AEC





AE ? 2 15, AC ? 3, EC ? 5















cos ?ACE ?

9 ? 25 ? 60 13 2 14 ? ? , 所以 sin ?ACE ? 2 ? 3? 5 15 15







?ABC



面 积



1 2 14 ? 3? 5? ? 14 。 2 15
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题 12 分)已知函 f ( x) ? 2sin( x ? 为偶函数, 且 ? ? ?0, ? ? . (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)若 x 为三角形 ABC 的一个内角,求满足 f ( x) ? 1 的 x 的值.

?
2

) cos( x ?

?
2

) ? 2 3 cos 2 ( x ?

?
2

)? 3

17.(本小题 12 分)如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,

A

D

C
B

AC ? BC , BC ? BB1 , D 为 AB 的中点.
(1) 求证: BC1 ? 平面 AB1C ;
6

A1 B1

C1

(2) 求证: BC1 ∥平面 A1CD .

18. (本小题满分 12 分) 数列 ?a n ? 的各项均为正数, S n 为其前 n 项和,对于任意 n ? N * ,总有 an , S n , an 2 成等差数列. (Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . (n ? 1) ? an
P

19. (本题满分 12 分) 如图,PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面,

AD ? PA ? 2, CD ? 2 2 ,E、F 分别是 AB、PD 的中点.
(Ⅰ)求证:平面 PCE ? 平面 PCD; (Ⅱ)求三棱锥 P-EFC 的体积.

F

E B
20. (本小题满分 13 分) 设函数 f ( x) ? e x ?

A

D

C

k 2 x ? x. 2

(Ⅰ)若 k ? 0 ,求 f ( x) 的最小值; (Ⅱ)若 k ? 1 ,讨论函数 f ( x) 的单调性.

21. (本小题共 14 分) 已知 ?ABC 的边 AB 所在直线的方程 为 x ? 3 y ? 6 ? 0 , M (2, 满足 BM ? MC , 0) 点 T (?11) 在 AC 所在直线上且 AT ? AB ? 0 . , (Ⅰ)求 ?ABC 外接圆的方程; (Ⅱ)一动圆过点 N (?2, ,且与 ?ABC 的 0) 外接圆外切,求此动圆圆心的轨迹 ? 的方程; (Ⅲ)过点 A 斜率为 k 的直线与曲线 ? 交于相异的 P, Q 两点,满足 OP ? OQ ? 6 ,求 k 的取值范围.

y

T C

M

N
A

O

B

x

??? ???? ?

数学一模(文科)参考答案
7

一、选择题: 题号 答案 1 C 2 A 3 C 4 A 5 B 6 A 7 C 8 B 9 D 10 A

二、填空题: 11.2 12. 0 13.71 14. 4 15.

14

三、解答题: 16.解: (Ⅰ) f ( x) ? 2sin( x ?

?
2

) cos( x ?

?
2

) ? 2 3 cos 2 ( x ?

?

? sin(2 x ? ? ) ? 3 cos(2 x ? ? ) ? 2sin(2 x ? ? ? ) 3
由 f ( x) 为偶函数得 ? ?

?

2

)? 3

?

6 1 (Ⅱ)由 f ( x) ? 1 得 cos 2 x ? ,又 x 为三角形内角, x ? (0, ? ) 2 ? 5? ? x ? 或x ? 6 6

?? ? k? ?

?
6

3

? k? ?

?

2

,k ?Z

,k ?Z

又 ? ? [0, ? ] ?? ?

?

?1 C A 中,所以 CC ?平面 ABC, B 17.解: (1)因为在直三棱柱 ABC 1 1 1
因为 AC ? 平面 ABC,所以 CC?AC , 1 A D B G A1 B1 C1 C

? , 1 BC ? 又 AC BC CC ? ,所以 AC 平面 B1C1CB, ? C
因为 B ? 面1 B C 平1 C,所以 BC?AC B C 1 1

C 又因为 BC ? BB ,所以 BBC C是正方形,所以 BC B , 1 1? 1 1 1
又 B ? ? ,所以 BC ?平面 AB C , C AC C 1 1 1

(2)在正方形 A C1CA中, ACCG G为 AC 1 中点, D为 AB 设 则 的中点, DG,在 ?ABC中, 结 ? 1 1 1 A? , 1

BC 1 ∥ DG,
因为 DG ? 平面 A1CD , BC 1 ? 平面 A1CD ,所以 BC 1 ∥平面 A1CD ,

18.解: (Ⅰ)由已知:对于 n ? N * ,总有 2 S n ? an ? an 2 ①成立 ∴ 2 S n ?1 ? an ?1 ? an ?1
2

(n ≥ 2)②
2 2

①-②得 2a n ? a n ? a n ? a n ?1 ? a n ?1 ∴ a n ? a n ?1 ? ?a n ? a n ?1 ??a n ? a n ?1 ?

8

∵ a n , a n ?1 均为正数,∴ a n ? a n ?1 ? 1 ∴数列 ?a n ? 是公差为 1 的等差数列 又 n=1 时, 2S1 ? a1 ? a12 , 解得 a1 =1, ∴ a n ? n .( n ? N * )

(n ≥ 2)

1 1 1 ? ? (n ? 1) ? n n n ? 1 1 1 1 1 1 n ?Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )? 2 2 3 n n ?1 n ?1
(Ⅱ) 解:由(1)可知 bn ? 19. 解(Ⅰ)? PA ? AD ? 2,? AF ? PD

? ? PA ? 平面ABCD,CD ? 平面ABCD ? PA ? CD

? AD ? CD,PA ? AD ? A,? CD ? 平面PAD, ? AF ? 平面PAD, AF ? CD ? ? PD ? CD ? D, AF ? 平面PCD, ? ? GE ? 平面PCD, ? GE ? 平面PEC, 平面PCE ? 平面PCD; ?
(Ⅱ)由(2)知 GE ? 平面PCD,所以EG为四面体PEFC的高 ,

又GF // CD,所以GF ? PD 1 EG ? AF ? 2,GF ? CD ? 2 2 1 S ?PCF ? PD ? GF ? 2 2 1 2 2 得四面体PEFC的体积V ? S ?PCF ? EG ? 3 3
20.解: (Ⅰ) k ? 0 时, f ( x) ? e ? x , f '( x) ? e ? 1 .
x x

当 x ? (??, 0) 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? (0, ??) 时, f '( x) ? 0 . 所以 f ( x) 在 (??, 0) 上单调减小,在 (0, ??) 上单调增加 故 f ( x) 的最小值为 f (0) ? 1 (Ⅱ)若 k ? 1 ,则 f ( x) ? e x ?

1 2 x ? x ,定义域为 R . 2

? f '( x) ? e x ? x ? 1 , f ??( x) ? e x ? 1
由 f ??( x) ? 0 得 x ? 0 ,所以 f ?( x) 在 ? 0, ?? ? 上递增,
9

由 f ??( x) ? 0 得 x ? 0 ,所以 f ?( x) 在 ? ??, 0 ? 上递减, 所以, f ?( x) min ? f ?(0) ? 0 ,故 f ?( x) ? 0 . 所以 f ( x) 在 R 上递增. 21.解: (Ⅰ)? AT ? AB ? 0 ? AT ? AB ,从而直线 AC 的斜率为 ?3 . 所以 AC 边所在直线的方程为 y ? 1 ? ?3( x ? 1) .即 3 x ? y ? 2 ? 0 . 由?

? x ? 3 y ? 6 ? 0, 得点 A 的坐标为 (0, 2) , ? ?3 x ? y ? 2 = 0 ???? ???? ? ? ? BM ? MC

? M (2, 0)为Rt ?ABC外接圆的圆心
又 r ? AM ?

(2 ? 0) 2 ? (0 ? 2) 2 ? 2 2 .
( x ? 2) 2 ? y 2 ? 8 .

所以 ?ABC 外接圆的方程为:

(Ⅱ)设动圆圆心为 P ,因为动圆过点 N ,且与 ?ABC 外接圆 M 外切, 所以 PM ? PN ? 2 2 ,即 PM ? PN ? 2 2 . 故点 P 的轨迹是以 M ,N 为焦点,实轴长为 2 2 ,半焦距 c ? 2 的双曲线的左支. 从而动圆圆心的轨迹方程 ? 为

x2 y 2 ? ? 1( x ? 0) . 2 2

(Ⅲ) PQ 直线方程为: y ? kx ? 2 ,设 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ) 由?

? x 2 ? y 2 ? 2( x ? 0) 2 2 得 (1 ? k ) x ? 4kx ? 6 ? 0( x ? 0) y ? kx ? 2 ?

? ? ?1 ? k 2 ? 0 ? ?? ? 16k 2 ? 24(1 ? k 2 ) ? 0 ? 4k ? ? ? x1 ? x2 ? 2 ?0 解得: ? 2 ? k ? ?1 k ?1 ? 6 ? ? x1 x2 ? k 2 ? 1 ? 0 ? ? 2k 2 ? 2 ? ??? ???? OP ? OQ ? x1 x2 ? y1 y2 ? 2 ?6 ? k ?1 ?
故 k 的取值范围为 (? 2, ?1)

10



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