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高三第一轮复习:《立体几何》综合检测试题



第八章《立体几何》综合检测试题
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题中只有一项符合题 目要求)
1、一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是( A.棱柱 B.棱台 C.圆柱 ) D.圆台

2、一个简单几何体的主视图,左视图如图所示,则其俯视图不可能为 ①矩形;②直角三角形;③圆;④椭圆.其中正确的是

2 A.① B.② C.③ D.④

3 .设 m.n 是两条不同的直线,α .β 是两个不同的平面,





A.若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n C.若 m∥n,m⊥α ,则 n⊥α

B.若 m∥α ,m∥β ,则 α ∥β D.若 m∥α ,α ⊥β ,则 m⊥β

4.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是

( A.



1 6

B.

1 3

C.

2 3

D. 1

1

5 .在空间,下列命题正确的是

( B. 垂直于同一平面的两条直线平行 D. 平行于同一直线的两个平面平行



A.平行直线在同一平面内的射影平行或重合 C. 垂直于同一平面的两个平面平行

6、 一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如图所示该四棱锥侧面积和体积分别是

( A. 4 5,8 B. 4 5,



8 3

C. 4( 5 ? 1),

8 3

D.8,8

7、如图所示,正四棱锥 P-ABCD 的底面积为 3,体积为 成的角为( ) π π π π A. B. C. D. 6 4 3 2

2 ,E 为侧棱 PC 的中点,则 PA 与 BE 所 2

8、如图是不锈钢保温饭盒的三视图,根据图中数据(单位:cm), 则 该饭盒的表面积为 A. 1100? cm 2 C. 800? cm 2 B. 900? cm 2 D. 600? cm 2

9、已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上,若 AB ? 3,AC ? 4 ,

AB ? AC , AA1 ? 12 ,则球 O 的半径为
A.





3 17 2

B. 2 10

C

13 2

D. 3 10 )

10.圆台上、下底面面积分别是 π、4π,侧面积是 6π,这个圆台的体积是( 2 3 7 3 7 3 A、 π B、2 3π C、 π D、 π 3 6 3
2

11、若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为 S1 、 S 2 ,则 S1 : S 2 =

A . 1:1.

B . 2:1.

C . 3:2.

D . 4:1.

AB , BD1 (不包括端点)上的 12、在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A 1,P 2 分别为线段 1B 1C1D 1 中, P
动点,且线段 P 1 P2 平行于平面 A 1 2 AB 1 的体积的最大值是 1 ADD 1 ,则四面体 PP

A.

1 24

B.

1 12

C.

1 6

D.

1 2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) 13、已知正四棱锥 O ? ABCD 的体积为

3 2 ,底面边长为 3 ,则以 O 为球心, OA 为半径的球的 2

表面积为________。 14、某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为________.

15、已知球与棱长均为 2 的三棱锥各条棱都相切,则该球的表面积为

.

16.(2013 湖北 文 16)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆 台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸. 若盆 中积水深九寸,则平地降雨量是__________寸. (注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? BC , D 为棱 CC1 上任一点. (1)求证:直线 A1 B1 ∥平面 ABD ; (2)求证:平面 ABD ⊥平面 BCC1 B1 .

3

18.(本小题满分 12 分) 如图, AB是圆O的直径,PA垂直圆O所在的平面,C是圆O上的点. (1)求证: BC ? 平面PAC; (2)设 Q为PA 的中点,G为?AOC的重心,求证:QG / /平面PBC.

19.(本小题满分 12 分)如图, 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形, O 为底面中心, A1O⊥平面

ABCD, AB ? AA1 ? 2 .

4

D1 A1 B1

C1

D A O B

C

(Ⅰ) 证明: 平面 A1BD // 平面 CD1B1; (Ⅱ) 求三棱柱 ABD-A1B1D1 的体积.

20.(本小题满分 12 分)如图 1,在边长为 1 的等边三角形 ABC 中, D, E 分别是 AB, AC 边上的 点, AD ? AE , F 是 BC 的中点, AF 与 DE 交于点 G ,将 ?ABF 沿 AF 折起,得到如图 2 所示 的三棱锥 A ? BCF ,其中 BC ? (1) 证明: DE //平面 BCF ; (2) 证明: CF ? 平面 ABF ; (3) 当 AD ?

2 . 2

2 时,求三棱锥 F ? DEG 的体积 VF ? DEG . 3

图1

图2

5

21.(本小题满分 12 分)如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,?BAC ? 90? , AB ? AC ? AA1 ,且 E 是

BC 中点.
(1)求证: A1B / / 平面 AEC1 ; (2)求证: B1C ? 平面 AEC1 .

6

22.(本小题满分 12 分)已知四边形 ABCD 为平行四边形,BC⊥平面 ABE,AE⊥BE,BE = BC = 1,

AE =

3 ,M 为线段 AB 的中点,N 为线段 DE 的中点,P 为线段 AE 的中点。

(1)求证:AE⊥MN; (2)求四棱锥 M – ADNP 的体积。

7

参考答案
一、选择题
1、【答案】D

【解析】由三视图可知,该几何体为圆台. 2、【答案】C 【解析】当俯视图为圆时,由三视图可知为圆柱,此时主视图和左视图应该相同,所以俯视图不可 能是圆,选 C.
3、【答案】C

【解析】平行的传递性只有在线线和面面之间成立,其他的线面混合的不成立,所以 A,B 错误。 两条平行线中的一条直线垂直于某个平面,则另一条也垂直该平面,所以 C 正确. 4、【答案】B 【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形,三棱锥的高为 2,则 V ? 5、【答案】B 【解析】A 中的射影也有可能是两个点,错误。C 中两个平面也可能相交,错误。D 中的两个平面 也有可能相交,错误。所以只有 B 正确。
6、【答案】B

1 1 1 ? ?1?1? 2 ? ,选 B. 3 2 3

【解析】由三视图可知四棱锥的底面边长是 2,高为 2,斜高是

5 ,所以

1 S侧 ? 4 ? ? 2 ? 2

5 ?

1 8 4 V 5? , ? ? 2 ? ? 2 ,故选 2 B. 3 3

7、答案 C 解析 连结 AC、BD 交于点 O,连结 OE,易得 OE∥PA. ∴所求角为∠BEO. 6 1 2 由所给条件易得 OB= ,OE= PA= ,BE= 2, 2 2 2 ? 1 ∴cos∠OEB= ,∴∠OEB= ,选 C. 2 3 8、B 由三视图可知,该饭盒是一个圆柱和半球的组合体,圆柱的底面半径为 10cm,高为 30cm,半球的半 径为 10cm,则 S 圆柱= 2? rh ? ? r ? 700? .S 半球= 2? r =200 ? ,所以这个饭盒的表面积为 90 ? cm2.
2 2

9、【答案】C
8

【解析】由球心作平面 ABC 的垂线,则垂足为 BC 中点 M。计算 AM=

5 ,由垂径定理,OM=6,所 2

以半径 R= ( ) ? 6 ?
2 2

5 2

13 ,选 C. 2

10、答案 D 解析 上底半径 r=1,下底半径 R=2.∵S 侧=6π,设母线长为 l,则 π(1+2)· l=6π,∴l=2,∴ 1 7 3 高 h= l2-?R-r?2= 3,∴V= π· 3(1+1×2+2×2)= π.故选 D. 3 3 11、【答案】C 12、【答案】A 【解析】过 P 2 ?P 1 AB 1 的高,设 2O ? 底面于 O,连结 OP 2作P 1 , 则 OP 1 ? AB ,即 OP 1 为三棱锥 P

OP BP 1 ? 1 ,即 OP 1 ? 1 ? x 。所以 四面体 AD AB 1 1 1 1 1 x ?1? x 2 1 S?AP1B1 ? OP ? x(1 ? x) ? x(1 ? x) ? ( ) ? P ,当且仅当 1 ? 1P 2 AB 1 的体积为 3 3 2 6 6 2 24 1 1 x ? 1 ? x ,即 x ? 时,取等号,所以四面体 PP ,选 A. 1 2 AB 1 的体积的最大值为 2 24

AP , 0 ? x ? 1 ,则由题意知 OP 1 ? x 1 / / AD , 所以有

二、填空题 13、【答案】 24? 【解析】设正四棱锥的高为 h ,则 ? ( 3) h ?
2

1 3

3 2 3 2 ,解得高 h ? 。则底面正方形的对角线长 2 2

为 2 ? 3 ? 6 ,所以 OA ? (
14、【答案】 3?

3 2 2 6 ) ? ( )2 ? 6 ,所以球的表面积为 4? ( 6)2 ? 24? . 2 2
1 ? 4?r 2 ? ?r 2 ? 3? 。 2

【解析】 由三视图可知,该几何体是一个半径 r=1 的半个球体。其表面积为 15、【答案】 2?

【解析】将该三棱锥放入正方体内,若球与三棱锥各棱均相切等价于球与正方体各面均相切,所以

9

2 R ? 2, R ?

1 2 2 ,则球的表面积为 S ? 4? R ? 4? ? ? 2? . 2 2

16、【答案】3

【解析】本题考查圆台的体积公式。做出圆台的轴截面如图

,由题意知,

BF ? 14 (单位寸,下同), OC ? 6 , OF ? 18, OG ? 9 ,即 G 是中点,所以 GE 为梯形的中位
线 , 所 以 GE ?

14 ? 6 ? 10 , 即 积 水 的 上 底 面 半 径 为 10. 所 以 盆 中 积 水 的 体 积 为 2

1 588? (100? ? 36? ? 100? ? 36? ) ? 9 ? 588? 。盆口的面积为 142 ? ? 196? ,所以 ?3, 3 196?
即平地降雨量是 3 寸。 ⊥ 三、解答题 17、(1)证明:由直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ,得 A1 B1 / / AB ,

ABD . 而A 1B 1 ? 平面ABD, AB ? 平面ABD ,所以直线 A 1B 1 ∥平面
(2)因为三棱柱 ABC ? A1 B1C1 为直三棱柱,所以 AB ? BB1 ,又 AB ? BC , 而 B1B ? 平面 BCC1 B1 , BC ? 平面 BCC1 B1 ,且 BB1 ? BC ? B ,所以 AB ? 平面 BCC1 B1 又 AB ? 平面ABD ,所以平面 ABD ⊥平面 BCC1 B1 . 18、证明:(1)由 AB 是圆 O 的直径,得 AC⊥BC. 由 PA⊥平面 ABC,BC?平面 ABC,得 PA⊥BC. 又 PA∩AC=A,PA?平面 PAC,AC?平面 PAC, 所以 BC⊥平面 PAC.

10

(2)连结 OG 并延长交 AC 于 M,连结 QM,QO, 由 G 为△AOC 的重心,得 M 为 AC 中点, 由 Q 为 PA 中点,得 QM∥PC. 又 O 为 AB 中点,得 OM∥BC. 因为 QM∩MO=M,QM?平面 QMO. MO?平面 QMO,BC∩PC=C,BC?平面 PBC,PC?平面 PBC, 所以平面 QMO∥平面 PBC. 因为 QG?平面 QMO,所以 QG∥平面 PBC.
19、解: (Ⅰ) 设 B1 D1线段的中点为 O1 . 在正方体 AG 中有 BD∥B1D1,A1O1∥OC

∴平面 A1BD∥平面 CD1B1.

AO 1 ? BD ? O, O 1C ? B 1D 1 ?O 1 ∴平面 A1BD∥平面 CD1B1.
(Ⅱ) ∵A1O∥O1C.且


. 在正方形 AB CD 中,AO = 1 .

在RT? A1OA中,A1O ? 1.
1 × 2

三棱柱 A1B1D1-ABD 的体积 VA1B1D1-ABD=S△ABD·A1O=

? 2 ? ×1=1.
2

三棱柱 A1 B1 D1 ? ABD 的体积 V A1B1D1 ? ABD ? S ?ABD ? A1O ?
所以, 三棱柱A1 B1 D1 ? ABD 的体积VA1B1D1 ? ABD ? 1 .
20、解:(1)在等边三角形 ABC 中, AD ? AE

1 ? ( 2 ) 2 ?1 ? 1. 2

?

AD AE ? DB EC ,在折叠后的三棱锥 A ? BCF 中

也成立,? DE / / BC ,? DE ? 平面 BCF ,

BC ? 平面 BCF ,? DE / / 平面 BCF ;

(2)在等边三角形 ABC 中, F 是 BC 的中点,所以 AF ? BC ①,

BF ? CF ?

1 2.

11

? 在三棱锥 A ? BCF 中,

BC ?

2 2 ,? BC 2 ? BF 2 ? CF 2 ?CF ? BF ②

? BF ? CF ? F ?CF ? 平面ABF ;
(3)由题意可知 GE / / CF ,结合(2)可得 GE ? 平面DFG .

1 1 1 1 1 ?1 3? 1 3 VF ? DEG ? VE ? DFG ? ? ? DG ? FG ? GF ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 2 3 2 3 ? ? 3 2 ? 3 324
21、解:(I) 连接 A1C 交 AC1 于点 O ,连接 EO 因为四边形 ACC1 A1 为正方形,所以 O 为 A1C 中点, 又 E 为 CB 中点,所以 EO 为 ?A1BC 的中位线, 所以 EO / / A1B 又 EO ? 平面 AEC1 , A1B ? 平面 AEC1 , 所以 A1B / / 平面 AEC1 . (2)因为 AB ? AC ,又 E 为 CB 中点,所以 AE ? BC 又因为在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, BB1 ? 底面 ABC , 又 AE ? 底面 ABC , 所以 AE ? BB1 , 又因为 BB1 ? BC ? B ,所以 AE ? 平面 BCC1 B1 . 又 B1C ? 平面 BCC1 B1 ,所以 AE ? B1C . 在矩形 BCC1 B1 中, tan ?CB1C1 ? tan ?EC1C ? 所以 ?CB1C1 ? ?EC1B ? 90 ,即 B1C ? EC1
?

2 ,所以 ?CB1C1 ? ?EC1C , 2

又 AE ? EC1 ? E ,所以 B1C ? 平面 BCC1 B1 , 22、解: (1)? AE ? BE , MP // BE ? MP ? AE 又? BC ? 平面 ABE , AE ? 平面 ABE ,? BC ? AE ,
A N M E P B

12
D C

? N 为 DE 的中点, P 为 AE 的中点,? NP // AD,
? AD // BC ,? NP // BC , ? NP ? AE ,
又? NP ? MP ? P, NP, MP ? 平面 PMN .

? AE ? 平面MNP,? MN ? 平面MNP,? AE ? MN
(2)由(1)知 MP ? AE ,且 MP ?
1 1 BE ? 2 2.

? AD // BC ,? AD ? 平面ABE , ? MP ? 平面ABE , ? AD ? MP ,
? AD ? AE ? A, AD, AE ? 平面ADNP , ? MP ? 平面ADNP

? AD // BC ,? AD ? 平面ABE , ? AD ? AP ,
又 ? NP // AD, ?四边形ADNP 为直角梯形

? S梯形ADNP

?1 ? 3 ? ? 1? ? 3 3 2 ? 2 1 ?? ? , MP ? , 2 2 8

? 四棱锥 M ? ADNP 的体积 V ? S梯形ADNP ? MP ?

1 3 3 1 3 . ? ? ? 3 8 2 16

13



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