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13提公因式法


因式分解的概念

回忆
运用前面所学知识填空:
(1)
(2) (3)

m (a ? b ? c) ? (a ? b)(a ? b) ?

(a ? b) ?
2

探索
你会做下面的填空吗?
(1) m a ? mb ? mc ? (
(2) (3)

)(

)

a ?b ? (
2 2

)(
2

)

a ? 2ab ? b ? (
2

)

2

思考
观察“回忆”与“探索”,你能发现 它们之间的联系与区别吗?

小结 我们“回忆”的是已熟悉的整式乘法公 式,而要“探索”的内容,其过程正好与 “回忆”相反,它是把一个多项式化为几个 整式的乘积形式,这就是因式分解.

试一试:
下列由左边到右边的变形中,哪些是因式分解,哪些 不是?
2 2 a b ? 2 ab ? ab(a ? 2b) (1) ( )

温馨提示

(2)(x+2)(x-2)= x2-4(



判断是否是因式分 (3)a2-b2+1=(a+b)(a-b)+1( ) 解 要看等式的左边是 (4)ax2+ay2=a(x2+y2) ( ) 否是一个多项式,右 边是否是几个整式的 积的形式。

1、多项式ab +bc各项都含有相 同的因式吗?多项式3x2+6x呢? 2 多项式mb +nb+b呢?

2、你能将上面的多项式写成几 个因式的乘积的形式?说明你 的理由?

多项式各项都含有的相同 因式叫做这个多项式各项的公 因式.
如:bx+ax的公因式是x.

议一议
确定公因式的方法:确定多项式的公因 式应对系数和字母分别考虑 1、公因式的系数是多项式各项系数的 最大公约数。 2、字母取多项式各项中都含有的相同 的字母。 3、相同字母的指数取各项中最小的一 个,即最低次幂。

如果一个多项式的各项含有公因 式,那么就可以把这个公因式提出来, 从而将多项式化成两个因式乘积的形 式.这种分解因式的方法叫做提公因式 法.

大家谈谈
? ?

用提公因式法分解因式的前提条件 是什么? 对a2-b2这样的多项式,能用提公因 式法分解吗?

例1: 找出3 x 式。

2

– 6 x 的公因式。并分解因

指数:相同字母 1 的最低次幂 3 x 系数:各项系数的 想一想 字母:各 最大公约数。 项的相同 另一个因式x-2是如 字母 何得到的? 所以,公因式是3x

3x2-6x=3x(x-2)

3x2-6x=3x(x-2)
提公因式法的一般步骤:
1、确定应提取的公因式; 2、用公因式去除这个多项式,所得的商作为另一个因式; 3、把多项式写成两个因式的积的形式。

①ax+ay+a 2 ②3mx-6nx ③4a2b+10ab2 4 3 3 3 ④x y +x y ⑤12x2yz-9x3y2

指出下列各多项式中各项的公因式,并 试着分解因式。 公因式

a 3x 2ab 3 3 xy 3x2y

找公因式的方法: ①系数取各系数 的最大公约数; ②字母取各项的 相同字母,而且 各字母的指数取

次数最低的。

?

?

例2: 分解因式 8a? b-12ab? c+ab

不要漏掉1

解: 原式=ab· 8a? -ab· 12b? c+ab· 1
如果多项式的某一项正好是公因式,要注意该项在提 取了公因式后,应该用“1”顶替它原来的位置,切不 可把“1”漏掉。 我做 判断下列分解因式正确吗 得对 吗? X(2X+3X? +1)

=ab(8a? -12b? c+1)

1.2x? +3x? +x=x(2x+3x? )

c(1-2a) 2.3a? c-6a? c=3a? (c-2ac) 3a? 注意: 提取公因式后: (1)另一个因式不能再含 有公因式(2)另一个因式的项数与原多项式的项 数一致

?

例3:把 -24x3-12x2+28x 分解因式 分析: 如果多项式的第一项系数是负数,一 般要先提出 负因数。保证括号内首项为正。

-24x? -12x? +28 解:原式 ? (?4x) ? 6x ? (?4x) ? 3x ? (?4x) ? (?7)
2

= -4x(6x? +3x-7)

注意:首项负 要变号

提负因数

括号内各项

练习二:分解因式
(1)–a? +ab-ac

=?a(a?b+c)
(2)-2x? +4x? +2x
=?2x(x? ?2x?1)

例4:把2a(b+c)-5(b+c) (b+c) (b+c) 分解因式

解: 2a(b+c)-5(b+c)

= (b+c)(2a-5)
注意:公因式可以是数字,字母,也 可以是单项式,还可以是多项式。

练习三、把下列各式分解因式:
(1)x(a+b)+y(a+b) (2)3a(x-y)-(x-y)
2 (3)6(p+q) -12(p+q)

解:(1)原式=(a+b)(x+ y)
(2)原式=(x-y)(3a-1) (3)原式=6(p+q)(p+q-2)

填空:
(填入

“+”或
“-”)

(1)2-a=___(a-2) (2)y-x=___(x-y) (3)b+a=___(a+b) (4)-m-n=___(m+n) (5)(b-a)2= (a-b)2 (6)-s2+t2= (s2-t2) (7)(x-y)3= (y-x)3

+ + -

这些在分解因式时,都可 当做公因式,但要注意符号.

例5、用提取公因式法分解因式
5a(x-y)-10b(y-x),提取的公因式 应该是什么?并将其因式分解.

公因式为5(x-y)
解:原式= 5a(x-y)+10b(x-y)

= 5(x-y)(a+2b)

小结:本节课我们学习了哪些知识?
1、什么叫做公因式?
2、什么叫提公因式法? 3、确定公因式的方法 (1)系数——取各项的最大公约数 (2)字母——取各项相同字母 (3)指数——取各项相同字母的最低次幂 4、提公因式法分解因式的步骤 (1)确定公因式 (2)用公因式去除多项式的各项得另一因式 (3)写成这两个因式的积的形式

让我们一起总结一下
用提公因式法分解因式应注意的问题:
(1)公因式要提尽; (2)小心漏掉“1―; (3)多项式的首项取正号; (4)公因式是多项式时,要注意符号问题。

练习四.已知a+b=5,ab=4, 求ab2+a2b-a-b的值.
解: ab2+a2b-a-b =ab(b+a)-(a+b) =(a+b)(ab-1) =5×(4-1) =15


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