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1.6微积分基本定理(高中数学人教A版选修2-2)



1.6 微积分基本定理

复习:1、定积分是怎样定义?
设函数f(x)在[a,b]上连续,在[a,b]中任意插入n-1个分点:

a ? x0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn?1 ? xn ? b 把区间[a,b]等分成n个小区间,
在每个小区间 [ xi ?1 , xi ] 任取?i ?[ xi ?1 , xi ] ?Si ? f (?i )?x
做和式: ? f (?i )?x ? ? f (?i )(b ? a) / n.
i ?1
i ?1

n

n

且有, lim ? f (?i )(b ? a) / n ? A(常数)
n?0 i ?1

n

则,这个常数A称为f(x)在[a,b]上的定积分(简称积分) 记作 b f ( x)dx

?

a

即A ?

?

b

a

f ( x)dx ? lim ? f (? i ( ) b - a) / n
n ?0 i ?1

n

积分上限

积分和
b n

即A ? ? f ( x)dx ? lim ? f (?i( ) b - a) / n
a n ?0 i ?1
积分下限

被 积 函 数

被 积 表 达 式

积 分 变 量

[a , b] 积分区间

复习:1、定积分的几何意义是什么?
1、如果函数f(x)在[a,b]上连续且f(x)≥0时,那么: 定积分

?

b

a

f ( x)dx 就表示以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积。

S1 S2

S3

2、定积分

形面积的代数和来表示。

?

b

a

f ( x)dx 的数值在几何上都可以用曲边梯

?

b

a

f ( x )dx ? S1 ? S 2 ? S 3

定积分的简单性质
(1)? kf ( x)dx ? k ? f ( x)dx (k为常数)
a a b b

(2)? [f1 ( x) ? f 2 ( x)]dx ? ? f1 ( x)dx ? ? f 2 ( x)dx
a a a

b

b

b

(3)? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx (a<c<b)
a a c

b

c

b

一、引入
由定积分的定义可以计算
1 ?0 x dx ? 3, 但比
1 2

较麻烦(四步曲),有没有更加简便有效的方 法求定积分呢?
利用几何意义可以求部分定积分,但是局限性很 大,对于大部分的定积分来说还是求不出来。

问题
一个作变速直线运动的物体的运动规律S =S(t)。由导数的概念可以知道,它在 任意时刻t的速度v(t)=S’(t)。设这个 物体在时间段〔a,b〕内的位移为S,你 能分别用S(t),v(t)来表示S吗?从中你 能发现导数和定积分的内在联系吗?

从定积分角度来看:如果物体运动的速度函数为
v=v(t),那么在时间区间[a,b]内物体的位移s可以用定
积分表示为

s ? ?a v(t )dt.
b

从导数角度来看:如果已知该变速直线运动的路程
函数为s=s(t),则在时间区间[a,b]内物体的位移为

s(b)–s(a), 所以有
由于 s'(t) =
说,定积分
b

?a v(t )dt ? s(b) ? s(a).
b

v(t) ,即s(t)是v(t)的原函数,这就是
a

s(t)在区间[a,b]上的增量s(b)–s(a).

?

v(t)dt等于被积函数v(t)的原函数

如果f ? x ? 是区间? a , b ? 上的连续函数, 并且F ? x ? ? f ? x ? , 则
'

微积分基本定理:

?

b

a

f ( x)dx ? F (b) ? F (a)

这个结论叫做微积分基本定理, 又叫做牛顿—莱布尼兹公式.

或记作

?

b

a

f ( x)dx ? F ( x) ? F (b) ? F (a).
b a

说明:
牛顿-莱布尼茨公式提供了计算定积分的一种 简便,有效的基本方法,即求定积分的值,只

要求出被积函数 f(x)的一个原函数F(x),然后
计算原函数在区间[a,b]上的增量F(b)–F(a)即

可.该公式把计算定积分归结为求原函数的问题,
揭示了导数与定积分之间的内在联系.

回顾:基本初等函数的导数公式
函数 f(x) 导函数 f′(x)

c x

n

sin x cos x
x

a

x

e

x

loga x ln x

0 nx n ?1cos x ? sin x a ln a e

x

1 x ln a

1 x

新知:基本初等函数的原函数公式
被积 函数f(x)

c cx

x

n

sin x cos x

a

x
x

e e

x

1 x
ln x

原函数 F(x)

a 1 n ?1 x ? cos x? sin x n ?1 ln a

x

例1 计算下列定积分: ?1? ?
'

2

1

1 dx ; x

1? ? ?2? ?1 ? 2x ? 2 ?dx . x ? ?
3

1 解 ?1?因为?ln x ? ? , x 21 2 所以? dx ? ln x |1 ? ln 2 ? ln 1 ? ln 2. 1 x ' 1 ? 1? 2 ' ?2?因为 x ? 2x, ? ? ? ? 2 , x ?x? 3? 3 3 1 1 1? 2 3 2x ? 2 ?dx ? ? 2xdx ? ? 2 dx ? x |1 ? ?1 ? 1 1 x x x ? ? ? 1 ? 22 ? ?9 ? 1? ? ? ? 1? ? . ?3 ? 3

? ?

3

1

?

b

a

f(x)dx = F(x)| = F(b)- F(a)
1 dx x

b a

例2: 计算下列定积分

?1??

2

1

?2?? 2 xdx
3 1
'

找出f(x)的原 函数是关键

1 解(1) ? ?ln x ? ? x
2

?2?? 2 xdx ? x
3 1

1 2 ? ?1 dx ? ln x 1 ? ln 2 ? ln1 ? ln 2 x b1 b 公式1: ?a xdx = lnx a = lnb - lna
2 3 1

? 3 ?1 ? 8
2 2

练习1:

1 ?1?? 1dx ? ____
1 0

?2?? xdx ?
1 0

1 3 ?3? 0 x dx ? ____ 4 15 2 3 ?4? ?1 x dx ? ____ 4

1 ____ 2

? ?

1

x 公式 2: ? x dx ? n ? 1
b n?1 n a

b a

例1 计算下列定积分 【例题讲解】
1、

? x dx
0

1

2、

?

1

0

x dx

2

3、

?

1

0

x 3dx

1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 ' 解:1、 ? ( x )? x ? ? x dx ? ( x) |0 ? ?1 ? ? 0 ? 0 2 2 2 2 2 1 1 1 3 1 1 3 1 3 1 3 ' 2 2 解:2、 ? ( x )? x ? ? x dx ? ( x) |0 ? ?1 ? ? 0 ? 0 3 3 3 3 3 1 1 1 4 1 1 4 1 4 1 4 ' 3 3 解:3、? ( x )? x ? ? x dx ? ( x) |0 ? ?1 ? ? 0 ? 0 4 4 4 4 4

公式 2: 公式:

?

b

a

x b x dx = | a n +1
n

n+1

例2 计算下列定积分 2 2 ?1 ?2 1、 2、 x x dx ? dx ?
1
1

3、
?1

?

2

1

2 (1 ? )dx x
?1 ?1

解1、? (? x )? x 解2、? (lnx)? x
'

?1 '

?2

??

2

1

1 x dx ? (? x ) | ? ( ? 2) ? (? 1 )? 2
?2 2 1

?1

2 ? ? x ?1dx ? (ln x) |1 ? ln 2 ? ln1 ? ln 2 1

2

解3、

?

2

1

2 21 2 2 2 2 (1 ? )dx ? ? 1dx ? ? dx ? ?1 1dx ? 2 ?1 dx 1 1 x x x

2 2 (2 ? 1) ?( 2 ln 2 ? ln 1) ? 1 ? 2 ln 2 ? x |1 ?2(ln x) |1 ?

公式 1: 公式:

?

b

a

1 b dx = lnx|a x

?

b

a

f ( x)dx ? F ( x) | ? F (b) ? F (a)
b a

例 4.计算下列定积分 3 1 2 ?1 (3x - x2 )dx 解:∵ (x )? = 3x ,
3 2

原式 = ? 3x dx ? ?
2 1

3

3

1

3 3 1 1 2 dx ? ? 3x dx ? ? (? 2 )dx 2 1 1 x x

1 1 ( )? ? ? 2 x x

1 3 1 1 76 3 3 =x | ? | 1 ? (3 ? 1 ) ? ( ? ) ? x 3 1 3
3 3 1

基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) ? c, 则f '( x) ? 0; 公式2.若f ( x) ? x n , 则f '( x) ? nx n ?1 ; 公式3.若f ( x) ? sin x, 则f '( x) ? cos x; 公式4.若f ( x) ? cos x, 则f '( x) ? ? sin x; 公式5.若f ( x) ? a x , 则f '( x) ? a x ln a ( a ? 0); 公式6.若f ( x) ? e , 则f '( x) ? e ;
x x

1 公式7.若f ( x) ? log a x, 则f '( x) ? ( a ? 0, 且a ? 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ? ln x, 则f '( x) ? ; x
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定积分公式 b cx | 1) (cx ) ? c ? ? cdx ? a 1 n b 2) x ? nx ? ? x dx ? x | a n+1 b 3) (sin x ) ? cos x ? ? cos xdx ? sin x | a b 4) (cos x ) ? ? sin x ? ? sin xdx ? - cos x | a b 1 1 b 5) (ln x ) ? ? ? dx ? ln| x || a a x x x b e | 6) (e ) ? e ? ? e dx ? a x a b | 7) (a ) ? a ln a ? ? a dx ? a ln a
'

b

a

n'

n ?1

b

n

+1

a

'

b

a

'

b

a

'

x '

x

b

x

a

x '

x

b

x

a

[例 1]
?2 ? ? ?1

求下列定积分:

(1) (x2+2x+3)dx; (2) (3)
?0 ? ? ?- π

(cos x-ex)dx;

?? x ? 2 sin2 dx. ?0 2

[思路点拨]

(1)(2)先求被积函数的原函数 F(x), 然后利用

微积分基本定理求解;(3)则需先对被积函数变形,再计算.

[精解详析]
?2 ? ? ?

(1)
1

?2 ? ? ?1

(x2+2x+3)dx
?2 ? ? ?

= x2dx+ 2xdx+ 3dx
1 1

?2 ? ? ?

x3 2 25 2 22 | | | = 1+x 1+3x 1= . 3 3 (2)
?0 ? ? ?-π

(cos x-ex)dx=
0 x0

?0 ? ? ?-π

cos xdx-

?0 ? ? ?-π

exdx

1 =sin x|-π-e |-π= π-1. e 1-cos x (3)sin = , 2 2
2x

1 1 1 1 而( x- sin x)′= - cos x, 2 2 2 2

?π ?π x 2 ?2 2 ∴? ?0 sin 2dx=?0

1 1 ( - cos x)dx 2 2 π 1 π- 2 = - = . 4 2 4

1 1 =( x- sin x) 2 2

π 2 0

[一点通]

求简单的定积分关键注意两点:

(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则,正确求解 被积函数的原函数,当原函数不易求时,可将被积函数适当 变形后再求解;

(2)精确定位积分区间,分清积分下限与积分上限.

例3:计算下列定积分.

?

?

0

sin xdx

??

2?

sin xdx

?

2?

0

sin xdx

? (1)? sin xdx ? ? cos x |0 ? (? cos? ) ? (? cos0) ? 2
?
2? (2)? sin xdx ? ? cos x |? ? (? cos2? ) ? (? cos? ) ? ?2 o 2?

?

解: ? (? cos x)? ? sin x

?

(3)? sin xdx ? ? cos x | ? (? cos2? ) ? (? cos0) ? 0
0 2? 0

2?

我们发现:定积分的值可取正值也可取负值,还可以是0;
(1)当曲边梯形位于x轴上方时,定积分的值取正值;

?
y

?

0

sin xdx

y ? sin x

o

?

2?

x

(2)当曲边梯形位于x轴下方时,定积分的值取负值;

??
y

2?

sin xdx

y ? sin x

o

?

2?

x

(3)当曲边梯形位于x轴上方的面积等于位于x轴下方 的面积时,定积分的值为0.

y

?

2?

0

sin xdx

y ? sin x

o

?

2?

x

得到定积分的几何意义:曲边梯形面积的代数和。

定积分的几何意义 设 y ? f ( x )为 [a, b] 上连续函数.

(1) 当 f ( x ) ? 0( x ? [a, b])时, ?a f ( x )dx 为曲线
y ? f ( x ), x ? a, x ? b, y ? 0
b

b

围成的面积.

(2) 当 f ( x ) ? 0( x ? [a, b])时, ?a f ( x )dx 为曲线
y ? f ( x ), x ? a, x ? b, y ? 0
b

围成的面积的相反数(负面积). (3)一般情形: ?a f ( x )dx 为曲线 y ? f ( x ) 在x轴上方的正面积与 在x轴下方的负面积的代数和.

y

a

?

?

?

?

?

b x

例3

求?

?1

?2



1 当 x ? 0时, 的一个原函数是 ln(? x ) ( x ? 0) , x ?1 1 ?1 dx ? [ln( ? x )]| ??2 x ?2 ? ln1 ? ln 2 ? ? ln 2.

1 dx. x

例 4 计算曲线 y ? sin x 在[0, ?]上与 x 轴所围 成的平面图形的面积.



面积 A ? ? sin xdx
0

?

y

? ?? cos x ? ? 2.
? 0

o

?

x

第二节

牛顿—莱布尼茨公式
微积分基本定理:
设函数f(x)在区间[a,b]上连续,并且F’(x)=f(x),则,

?

b

a

f ( x)dx ? F (b) ? F (a)

这个结论叫微积分基本定理(fundamental theorem of
calculus),又叫牛顿-莱布尼茨公式(Newton-Leibniz

Formula).

或记作

? f ( x)dx ? F ( x) ? F (b) ? F (a).
b a

b a

回顾:基本初等函数的导数公式
函数 f(x) 导函数 f′(x)

c x

n

sin x cos x
x

a

x

e

x

loga x ln x

0 nx cos x ? sin x a ln a e

n ?1

x

1 x ln a

1 x

新知:基本初等函数的原函数公式
被积 函数f(x)

c cx

x

n

sin x cos x

a

x
x

e e

x

1 x
ln | x |

一个原 函数F(x)

a 1 n ?1 x ? cos x sin x n ?1 ln a

x

练习:

(1)? (-3t + 2)dt ? ______ 1
2 0

1

1 2 29/6 (2)? (x + ) dx = ______ 1 x
2

9 (3)? (3x + 2x -1) dx = ______
2 2 -1 2

2-e+1 e (4)? (e ? 1)dx = ______ 1
x

被积函数为复合函数的定积分
?

求下列函数的原函数:

f ( x) ? e

3x

f ( x ) ? sin4 x

f ( x ) ? x cos x

2

1 3x F ( x) ? e 3 1 F ( x ) ? ? cos4 x 4 1 F ( x ) ? sin x 2 2

课本P55B组第2题 二倍角的余弦公式

cos 2? ? cos ? ? sin ?
2 2

? 2 cos ? ? 1
2

? 1 ? 2 sin ?
2

1 ? cos2? ? 2 cos ?
2

1 ? cos2? ? 2 sin2 ?
1 ? cos 2? sin ? ? 2
2

1 ? cos 2? cos ? ? 2
2

课本P55B组第2题(3)

??
?

?

sin m xdx

2

1 ? cos 2mx ?? dx ?? 2 1 sin 2mx ? ?( x? ) |?? 2 4m
?

课本P55B组第2题(4)

??
?

?

cos mxdx

2

1 ? cos 2mx ?? dx ?? 2 1 sin 2mx ? ?( x? ) |?? 2 4m
?

2 x , 0 ? x ? 1 ? 例4:计算? f ( x)dx,其中 f ( x) ? ? 0 ? 5, 1 ? x ? 2
2

分段函数的定积分计算



?

2

0

f ( x )dx ? ? 2 xdx ? ? 5dx ? x
0
1

1

2

21 0

? 5x 1 ? 6

2

Y=5

1

2

微积分与其他函数知识综合举例:
1、已知f ( x)是一次函数,其图象过 点(3,4),且

?

1

0

f ( x)dx ? 1, 求f ( x)的解析式

2、已知f (a) ? ? (2ax ? a x)dx, 求f (a)的最大值。
2 2 0

1

练一练:已知f(x)=ax? +bx+c,且f(-1)=2,f’(0)=0,

?

1

0

f ( x)dx ? ?2, 求a, b, c的值

三、小结
1.微积分基本定理

?a f ( x )dx ? F (b) ? F (a )
n

b

2.基本初等函数的原函数公式
被积 函数f(x)

c cx

x

sin x cos x

a

x
x

e e

x

1 x
ln | x |

一个原 函数F(x)

a 1 n ?1 x ? cos x sin x n ?1 ln a

x

牛顿
牛顿,是英国伟大的数学家、物理学家、 天文学家和自然哲学家。1642年12月25日 生于英格兰林肯郡格兰瑟姆附近的沃尔索 普村,1727年3月20日在伦敦病逝。 牛顿1661年入英国剑桥大学三一学院, 1665年获文学士学位。随后两年在家乡躲 避瘟疫。这两年里,他制定了一生大多数 重要科学创造的蓝图。1667年回剑桥后当 选为三一学院院委,次年获硕士学位。 1669年任卢卡斯教授直到1701年。1696年 任皇家造币厂监督,并移居伦敦。1703年 任英国皇家学会会长。1706年受女王安娜 封爵。他晚年潜心于自然哲学与神学。 牛顿在科学上最卓越的贡献是微积分 和经典力学的创建。

?

?

?

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莱布尼兹

莱布尼兹,德国数学家、哲学家,和牛顿 同为微积分的创始人;1646年7月1日生于 莱比锡,1716年11月14日卒于德国的汉诺 威。他父亲是莱比锡大学伦理学教授,家 庭丰富的藏书引起他广泛的兴趣。1661年 入莱比锡大学学习法律,又曾到耶拿大学 学习几何,1666年在纽伦堡阿尔特多夫取得法学博士学位。 他当时写的论文《论组合的技巧》已含有数理逻 辑的早期思想,后来的工作使他成为数理逻辑的创始人。 1667年他投身外交界,曾到欧洲各国游历。1676年到汉 诺威,任腓特烈公爵顾问及图书馆的馆长,并常居汉诺威, 直到去世。莱布尼兹的多才多艺在历史上很少有 人能和他相比,他的著作包括数学、历史、语言、生物 、地质、机械、物理、法律、外交等各个方面。
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