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高中数学必修四(综合测试题+详细答案)



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必修四综合复习
一、选择题(12 道)
1.已知 AB ? (6,1), BC ? ( x, y),CD ? (?2,?3),且BC ∥ DA ,则 x+2y 的值为 A.0 B. 2 C

. ( )

1 2

D. -2

OP2 ? ?2 ? sin ? , 2 ? cos ? ? ,则向量 P 2.设 0 ? ? ? 2? ,已知两个向量 OP 1P 2 长度的最大值是 1 ? ?cos? , sin ? ? , ( )
B. 3 C. 3 2 D. 2 3 ? ? ? ? ? ? ? ? 3.已知向量 a , b 满足 a ? 1, b ? 4, 且 a ? b ? 2 , 则 a 与 b 的夹角为 A. A. 2

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2
则向量 CD ? ( )高考资源网

4.如图 1 所示,D 是△ABC 的边 AB 上的中点, A. ? BC ? C. BC ?

1 BA 2

B. ? BC ? D. BC ?

1 BA 2

5.设 a 与 b 是两个不共线向量,且向量 a ? ? b 与 ? b ? 2a 共线,则 ? =( A.0 6.已知向量 a ?
3 1? A. ? ? ? ? 2 ,2? ? ?

?

?

1 BA 2

1 BA 2

?

?

?

?

?

?



B.-1

C.-2

D.0.5
3 ,则 b =(

? 3,1?, b 是不平行于 x 轴的单位向量,且 a ? b ?
1 3? B. ? ? , ? ?2 ? 2 ? ?
1 3 C. ? ? , ?4 ? 3? ? 4 ? ?



D. (1,0)

??? ? ??? ? ???? ??? ? 7.在 ?OAB 中, OA ? a , OB ? b , OD 是 AB 边上的高,若 AD ? ? AB ,则实数 ? 等 于(
A. a ? (b ? a)
a ?b
2



B. a ? (a ? b) 2 a ?b

C. a ? (b ? a) a ?b

D. a ? (a ? b)
a ?b

8.在 ?ABC 中, a, b, c 分别为三个内角 A、B、C 所对的边,设向量 m ? ? b ? c, c ? a ? , n ? ? b, c ? a ? ,若向量 m ? n , 则角 A 的大小为 ( A. )高考资源网 B.

??

?

?? ?

?

? 6

? 3

C.

? 2
??? ?

D.

2? 3


9.设∠BAC 的平分线 AE 与 BC 相交于 E,且有 BC ? ?CE, 若 AB ? 2 AC 则 ? 等于( A 2 B

??? ?

1 2

C

-3

D



1 高考资源网 3


10.函数 y ? sin x cos x ? 3 cos 2 x ? 3 的图象的一个对称中心是( A. (

2? 3 ,? ) 3 2

B. (

5? 3 2? 3 , ? ) C. (? , ) 6 2 3 2

D. (

?
3

, ? 3)

1

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11. (1 ? tan 210 )(1 ? tan 220 )(1 ? tan 230 )(1 ? tan 240 ) 的值是( A. 16 B. 8 C. 4 D. 2

)

cos 2 x 12.当 0 ? x ? 时,函数 f ( x) ? 的最小值是( 4 cos x sin x ? sin 2 x
A. 4 B.

?



1 2

C. 2

D.

1 4

二、填空题(8 道)
13.已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ) ,向量 b ? ( 3, ?1) ,则 2 a ? b 的最大值是

?

?

?

?

__________.

14.设向量 a 与 b 的夹角为 ? ,且 a ? (3,3) , 2b ? a ? (?1,1) ,则 cos ? ? ______________.

?

?

?

?

?

O B 的面积为__________. 15. 在 ?AOB 中,OA ? (2 cos? ,2 sin ? ), OB ? (5 cos? ,5 sin ? ) , 若 OA ? OB ? ?5 , 则 ?A
16. tan 20? ? tan 40? ? 3 tan 20 tan 40? 的值是 17. ? ABC 中, sin A ?
?

________.

3 5 , cos B ? ,则 cos C = ___________. 5 13 1 1 18.已知 sin ? ? cos ? ? , sin ? ? cos ? ? ,则 sin(? ? ? ) =________________. 3 2
19.函数 y ? sin x ? 3 cos x 在区间 ? 0,

? ?? 上的最小值为 ? 2? ?

_______.

20.函数 y ? (a cos x ? b sin x)cos x 有最大值 2 ,最小值 ?1 ,则实数 a ? _________, b ? ___________. 高三、解答题(3

道)
?

21.已知|a|= 2 ,|b|=3,向量 a 与向量 b 夹角为 45 ,求使向量 a+ ? b

与 ? a+b 的夹角是锐角时, ? 的取值范围

2

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2 2. 已知向量 a ? (sin? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, (1)求 sin ? 和 cos ? 的值; (2)若 sin(? ? ? ) ?

?
2

).

10 ? , 0 ? ? ? ,求 cos ? 的值. 10 2

23.)已知向量 a ? (sin ? ,cos? ? 2sin ? ), b ? (1, 2). 若 | a |?| b |,0 ? ? ? ? , 求 ? 的值。

?

?

?

?

3

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4

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大题参考答案
21、解:∵ |a|= 2 ,|b|=3 ,a 与 b 夹角为 45 ∴ a ? b ?| a || b | cos 45 ? 3 2 ?
?
2
?

2 ?3 2
2 2 2 2

而(a+ ? b) · ( ? a+b)= ?a ? ab ? ? ba ? ?b ? 2? ? 3 ? 3? ? 9? ? 3? ? 11? ? 3 要使向量 a+ ? b
2

与 ? a+b 的夹角是锐角,则(a+ ? b) · ( ? a+b)>0

即 3? ? 11? ? 3 ? 0

从而得

??
?

? 11? 85 ? 11? 85 或? ? 6 6

23、解: 由 | a |?| b | 知, sin 2 ? ? (cos ? ? 2sin ? )2 ? 5, 所以 1 ? 2sin 2? ? 4sin ? ? 5.
2

?

从而 ?2sin 2? ? 2(1 ? cos 2? ) ? 4 ,即 sin 2? ? cos 2? ? ?1 , 于是 sin(2? ? 所以 2? ?

?
4

)??

? ? 9? 2 .又由 0 ? ? ? ? 知, ? 2? ? ? , 4 4 4 2

5? ? 7? ,或 2? ? ? . 4 4 4 4 ? 3? . 因此 ? ? ,或 ? ? 2 4 ?

?

5

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备用大题
一、解答题(4 道)
1. 求函数 f ( x) ? 2cos2 x ? 3sin x 在 ? ?

? ? ?? 上的最值. , ? 2 2? ?

2. 已知△ABC 的内角 B 满足 2cos 2 B ? 8cos B ? 5 ? 0, , 若B C ?a ,CA ? b 且 a, b 满足:a ? b ? ?9 , a ? 3, b ? 5 ,

? ? ? ?

?

??? ?

?

? ?

? ?

?

?

? ? ? 为 a, b 的夹角.求 sin( B ? ? ) 。

6

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3.已知 0 ? x ?

?
4

, sin(

?
4

? x) ?

5 ,求 13

cos2 x cos( ? x) 4

?

的值。

4.已知函数 f ( x) ? a sin x ? cos x ? 3a cos x ?
2

3 a ? b (a ? 0) 2

(1)写出函数的单调递减区间; (2)设 x ?[0, ] , f ( x ) 的最小值是 ?2 ,最大值是 3 ,求实数 a , b 的值.

?

2

7

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大题参考答案
? ? ? ? ? 5 ? x) ? ( ? x) ? ,? cos( ? x) ? sin( ? x) ? , 4 4 2 4 4 13

3、解:? (

而 cos 2 x ? sin(

? ? ? 120 ? 2 x) ? sin 2( ? x) ? 2sin( ? x) cos( ? x) ? 2 4 4 4 169 120 cos 2 x 12 ? ? 169 ? 。 ? 5 13 cos( ? x) 4 13

?

4、解: f ( x) ?

1 3a 3 a sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? a ?b 2 2 2

?

a 3a ? sin 2 x ? cos 2 x ? b ? a sin(2 x ? ) ? b 2 2 3

(1) 2k? ?

?

2 3 5? 11? ?[ k ? ? , k? ? ], k ? Z 为所求 12 12

? 2x ?

?

? 2 k? ?

3? 5? 11? , k? ? ? x ? k? ? 2 12 12

(2) 0 ? x ?

?
2

,?

?
3

? 2x ?

?
3

?

2? 3 ? ,? ? sin(2 x ? ) ? 1 3 2 3

f ( x)min ? ?

3 a ? b ? ?2, f ( x)max ? a ? b ? 3, 2

? 3 ?a ? 2 a ? b ? ?2 ? ?? ?? ? 2 ? ?b ? ?2 ? 3 ?a ? b ? 3 ?

8



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