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21.2.3用因式分解法解一元二次方程



1.我们已经学过了几种解一元二次方程 的方法? X2=a (a≥0) 直接开平方法 2=k (k≥0) (x+h) 配方法

复习

公式法

2.什么叫分解因式? 把一个多项式分解成几个整式乘积 的形式叫做分解因式.

? b ? b ? 4ac 2 x? . b ? 4ac ? 0 . 2a

r />2

?

?

心动

不如行动

你能解决这个问题吗

? 一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗?如果相 等,这个数是几?你是怎样求出来的? ? 小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x 2 ? 3x.
小颖是这样解的 : 解 : x 2 ? 3x ? 0.
(?3) 2 ? 4 ?1? 0 ? 9.
3? 9 . 2 ? 这个数是0或3. ?x ?

小明是这样解的 :
解 : 方程x 2 ? 3x两 边都同时约去x, 得. ? x ? 3.

? 这个数是3.

小颖做得对吗?

小明做得对吗?

心动

不如行动

你能解决这个问题吗

? 一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗?如果相 等,这个数是几?你是怎样求出来的? ? 小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x 2 ? 3x.
小亮是这样想的 :
如果a ? b ? 0,
那么a ? 0或b ? 0 或a ? b ? 0. 即, 如果两个因式的积等于0, 那么这两个数至少有一个为0.

小亮是这样解的 : 解 :由方程x 2 ? 3x, 得 x 2 ? 3x ? 0. ? x?x ? 3? ? 0. ? x ? 0, 或x ? 3 ? 0. ? x1 ? 0, x2 ? 3. ? 这个数是0或3.

小亮做得对吗?

如果两个一次因式的积等于0, 那么至少有一个因式等于0

即:A· B=0

A=0或B=0

当一元二次方程的一边是0,而另一边易于 分解成两个一次因式的乘积时,我们就可 以用因式分解的方法求解.这种用因式分 解解一元二次方程的方法称为因式分解法.

重 点 难 点

重点: 用因式分解法解一元二次方程 难点: 正确理解AB=0〈=〉A=0或B=0 ( A、B表示两个因式)

例题欣赏

?

解:x( x ? 2) ? ?x ? 2? ? 0,

(1)x(x-2)+x-2=0;

例 解下列方程: 1 3 2 2 (2)5 x ? 2 x ? ? x ? 2 x ? , 4 4
解 : 移项, 合并同类项, 得:

?x ? 2??x ?1? ? 0.

? x ? 2 ? 0, 或x ? 1 ? 0.
? x1 ? 2, x2 ? ?1.

(2x ? 1)?2x ?1? ? 0.
? 2x ? 1 ? 0, 或2x ?1 ? 0. 1 1 ? x1 ? ? ; x2 ? . 2 2

4 x ? 1 ? 0,
2

练习、解下列方程

(1)3x( x ? 2) ? 5( x ? 2) 2 (3)(3x ? 1) ? 5 ? 0

(1)3x( x ? 2) ? 5( x ? 2)
解:移项,得 3x( x ? 2) ? 5( x ? 2) ? 0

( x ? 2) (3x ? 5) ? 0

x+2=0或3x-5=0 5 ∴ x1=-2 , x2= 3
提公因式法

2、(3x+1)2-5=0 解:原方程可变形为

(3x+1+ 5 )(3x+1-

5)=0
=0 5

3x+1+ 5 =0或3x+1-

?1 ? 5 ?1 ? 5 ∴ x1= , x2= 3 3
公式法

用因式分解法解一元二次方程的步骤
1o方程右边化为 零 。 2o将方程左边分解成两个 一次因式 的 乘积。 3o至少 有一个 因式为零,得到两个 一元一次方程。 4o两个 一元一次方程的解 就是原方 程的解。

快速回答:下列各方程的根分 别是多少?

(1) x( x ? 2) ? 0

x1 ? 0, x2 ? 2

2 1 (3)(3x ? 2)( 2 x ? 1) ? 0 x1 ? ? , x2 ? 3 2 2 (4) x ? x x1 ? 0, x2 ? 1

(2)( y ? 2)( y ? 3) ? 0 y1 ? ?2, y2 ? 3

下面的解法正确吗?如果不正确, 错误在哪?
解方程 ( x ? 5)( x ? 2) ? 18 解: 原方程化为 ( x ? 5)( x ? 2) ? 3 ? 6 由x ? 5 ? 3,得x ? 8; 由x ? 2 ? 6,得x ? 4. ? 原方程的解为x1 ? 8或x2 ? 4.

(

?

)

1.解下列方程: . 2

(1) x ? x ? 0,

提公因式:x( x ? 1) ? 0, 所以有x ? 0或x ? 1 ? 0 即x1 ? 0,x2 ? ?1.

1.解下列方程: .
2

(2) x ? 2 3 x ? 0,

提公因式x( x ? 2 3 ) ? 0, 即x1 ? 0,x2 ? 2 3.

所以有x ? 0或x ? 2 3 ? 0,

(3)3 x ? 6 x ? ?3,
2

移项,得: 3 x ? 6 x ? 3 ? 0,
2 2

提公因式得: 3( x ? 2 x ? 1) ? 0, 所以3( x ? 1) ? 0,
2

有( x ? 1) ? 0,
2

所以x1 ? x2 ? 1.

?2 x ? 11??2 x ? 11? ? 0

(4)4 x ? 121 ? 0
2

另一解法 : 移项: 4 x 2 ? 121,
2

121 系数化为1:x ? , 4 2 x ? 11 ? 0或2 x ? 11 ? 0 11 所以有x ? ? , 2 11 11 x1 ? ? , x2 ? . 11 11 即x1 ? ,x2 ? ? . 2 2 2 2

(5)3x(2 x ? 1) ? 4 x ? 2 移项: 3x(2 x ? 1) ? 2(2 x ? 1) ? 0, 提取公因式: (2 x ? 1)(3x ? 2) ? 0, 所以有: 2 x ? 1 ? 0或3x ? 2 ? 0, 1 2 所以x1 ? ? ,x2 ? . 2 3

(6)?x ? 4? ? ?5 ? 2 x ?
2 2 2

2

?x ? 4? ? ?5 ? 2 x ? ? 0 ??x ? 4? ? ?5 ? 2 x ????x ? 4? ? ?5 ? 2 x ?? ? 0
(1 ? x)(3x ? 9) ? 0 3(1 ? x)( x ? 3) ? 0 1 ? x ? 0或x ? 3 ? 0 即x1 ? 1,x2 ? 3.

(6)另一解法 : ( x ? 4) ? (5 ? 2 x) x ? 4 ? ?(5 ? 2 x)
2 2

x ? 4 ? 5 ? 2 x或x ? 4 ? ?5 ? 2 x 3x ? 9或x ? 1 即x1 ? 3,x2 ? 1.

十字相乘法因式分解 例2把 x 2 ? 2x ?15分解因式;
解 : 原式 ? (x+3) (x-5)
x
x 3 -5

-5x+3x=-2x

例3把a ? 7a ? 10分解因式 ;
2

解:原式= (a+5) (a+2)

a a
5a+2a=7a

5 2

结果为 ( B ) 1. 分解a 2 ? a ? 12的

练习一选择题:

A. (a - 3)(a ? 4); C. ?a ? 6 ??a ? 2 ?;

B. D.

?a ? 3??a ? 4?; ?a ? 6??a ? 2?;

2. 分解x 2 ? 2x ? 8的结果为 ( A ) A. ?a ? 4 ??a ? 2 ? ; B. ?a ? 4 ??a ? 2 ?; C. ?a ? 4 ??a ? 2 ?; D. ?a - 4 ??a ? 2 ?; 3. 若 多项项M分解的因式是 (x - 2)(x- 3),则M是( C ) A. x2 ? 5x ? 6; C. x2 ? 5X ? 6; A. ?a ? b ??a ? 2b?; C. (a - b)(a ? 2b); B. x2 ? 5x ? 6; D. x2 ? 5x ? 6; B. (a ? b)(a - 2b); D. (a - b)(a - 2b);

(4). 分解a 2 ? 3ab ? 2b2的结果为 ( D )

练习二丶把下列各式分解因式:
1. x ? 4 x ? 3;
2

2. y ? 7 y ? 12;
2

3. m ? 7m ? 18;
2

4. p ? 5 p ? 36;
2

解方程?1?x ? 6 x ? 8 ? 0;
2 2 2

?2?x

2

? 5 x ? 6 ? 0;

?3?x ? x ? 20 ? 0; ?4?x ? 2 x ? 8 ? 0 2 2 ?5?y ? 3x ? 2 ? 0; ?6?x ? 11x ? 30 ? 0

?1??x ? 2??x ? 4? ? 0 解:

? x ? 2 ? 0 x? 4 ? 0 ? x1 ? ?2, x2 ? ?4

解方程?1?x ? 6 x ? 8 ? 0;
2 2 2

?2?x

2

? 5 x ? 6 ? 0;

?3?x ? x ? 20 ? 0; ?4?x ? 2 x ? 8 ? 0 2 2 ?5?y ? 3x ? 2 ? 0; ?6?x ? 11x ? 30 ? 0

解 ?2??x ? 2??x ? 3? ? 0
? x ? 2 ? 0, x- 3 ? 0
? x1 ? 2, x2 ? 3

解方程?1?x ? 6 x ? 8 ? 0;
2 2 2

?2?x

2

? 5 x ? 6 ? 0;

?3?x ? x ? 20 ? 0; ?4?x ? 2 x ? 8 ? 0 2 2 ?5?y ? 3x ? 2 ? 0; ?6?x ? 11x ? 30 ? 0



?3?? x

? 5 ?? x ? 4 ? ? 0

? x ? 5 ? 0, x ? 4 ? 0 ? x1 ? ?5, x 2 ? 4

?4 ?? x

? 4 ?? x ? 2 ? ? 0

? x ? 4 ? 0, x ? 2 ? 0 ? x1 ? 4, x 2 ? ?2

解方程?1?x ? 6 x ? 8 ? 0;
2 2 2

?2?x

2

? 5 x ? 6 ? 0;

?3?x ? x ? 20 ? 0; ?4?x ? 2 x ? 8 ? 0 2 2 ?5?y ? 3x ? 2 ? 0; ?6?x ? 11x ? 30 ? 0

解 ?5??x ? 1??x ? 2? ? 0 ? x ? 1 ? 0, x ? 2 ? 0 ? x1 ? 1, x2 ? 2

解方程?1?x ? 6 x ? 8 ? 0;
2 2 2

?2?x

2

? 5 x ? 6 ? 0;

?3?x ? x ? 20 ? 0; ?4?x ? 2 x ? 8 ? 0 2 2 ?5?y ? 3x ? 2 ? 0; ?6?x ? 11x ? 30 ? 0

解 ?6??x ? 5??x ? 6? ? 0

? x ? 5 ? 0, x ? 6 ? 0 ? x1 ? ?5, x 2 ? ?6

十字相乘法分解因式:

a1a2 x ? (a1c2 ? a2c1) x ? c1c2 a1
2

? (a1x ? c1 )(a2 x ? c2 )

a2

? c1 ? c2

(4)3x ? 7 x ? 2 ? 0
2

例2 解下列方程

(1)2 y ? 3 y ? 2 ? 0 (2)3x ? 10x ? 8 ? 0
2
2

(3)4 x ? 31x ? 45 ? 0
2

(4) ? 3x ? 22x ? 24 ? 0
2

? 配方法和公式法是解一元二次方程 重要方法,要作为一种基本技能来掌 握.而某些方程可以用分解因式法简 便快捷地求解.

简记歌诀:

右化零
两因式

左分解
各求解



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