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2016年普通高等学校招生全国统一考试(理)数学



绝密★启封并使用完毕前 试题类型:A

2016 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4.考试结束后,将本试题和

答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.设集合 A ? {x | x ? 4 x ? 3 ? 0} , B ? {x | 2 x ? 3 ? 0} ,则 A ? B ?
2

3 3 3 3 ( ?3, ? ) ( ?3, ) (1, ) ( ,3) 2 C. 2 D. 2 2 B. A.
2.设 (1 ? i) x ? 1 ? yi ,其中 x,y 是实数,则 x ? yi = A.1 B. 2 C. 3 D.2

3.已知等差数列

{an } 前 9 项的和为 27, a10 =8 ,则 a100 =

A.100 B.99 C.98 D.97 4.某公司的班车在 7:00, 8:00, 8:30 发车, 小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车, 且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过 10 分钟的概率是 1 1 2 3 A. B. C. D. 3 2 3 4 5.已知方程

x2 y2 – 2 =1 表示双曲线, 且该双曲线两焦点间的距离为 4, 2 m +n 3m –n

则 n 的取值范围是 A.(–1,3) B.(–1, 3) C.(0,3) D.(0, 3) 6.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直 的半径.若该几何体的体积是 A.17π B.18π C.20π 28π ,则它的表面积是 3

D.28π

7.函数 y=2x –e 在[–2,2]的图像大致为

2

|x|

1/4

A.

B.

C.

D.

, 0 ? c ? 1 ,则 8.若 a ? b ? 1
A. a c ? b c B. abc ? bac C. a logb c ? b loga c D. log a c ? logb c 9.执行右面的程序图,如果输入的 x ? 0,y ? 1 ,n ? 1 ,则输出 x,y 的值满 足 A. y ? 2 x B. y ? 3x C. y ? 4 x D. y ? 5 x 10.以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A、B 两点,交 C 的标准线于 D、E 两 点.已知|AB|= 4 2 ,|DE|= 2 5 ,则 C 的焦点到准线的距离为 A.2 B.4 C.6 D.8 11.平面 a 过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A, a//平面 CB1D1, a ? 平面 ABCD=m, a ? 平面 ABA1B1=n, 则 m、n 所成角的正弦值为 A.

3 2 3 B. C. 2 2 3

D.

1 3

? ? 12. 已 知 函 数 f ( x) ? sin(? x + ? )(? ? 0,

?
2

), x ? ?

?
4

为 f ( x) 的 零 点 , x ?

?
4



? ? 5? ? y ? f ( x) 图像的对称轴,且 f ( x) 在 ? , ? 单调,则 ? 的最大值为 ? 18 36 ?
A.11 B.9 C.7 D.5 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答. 第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分 2 2 2 (13)设向量 a=(m,1),b=(1,2),且|a+b| =|a| +|b| ,则 m=.

2/4

(14) (2 x ?

x )5 的展开式中,x3 的系数是.

(用数字填写答案) (15)设等比数列满足 a1+a3=10,a2+a4=5, 则 a1a2 …an 的最大值为。 (16)某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg,乙材料 1kg,用 5 个工 时;生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg,乙 材料 0.3kg,用 3 个工时,生产一件产品 A 的利润为 2100 元,生产一件产品 B 的利润 为 900 元。该企业现有甲材料 150kg,乙材 料 90kg, 则在不超过 600 个工时的条件下, 生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 元。 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17 .(本题满分为 12 分)

? ABC 的内角 A , B , C 的对边分别别为 a , b , c ,已知

2cos C (a cos B+b cos A) ? c.
(I)求 C; (II)若 c ? 7,? ABC 的面积为

3 3 ,求 ? ABC 的周长. 2

18.(本题满分为 12 分) 如图,在已 A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面 ABEF 为 正方形,AF=2FD, ?AFD ? 90 ,且二面角 D-AF-E 与二面角
?

C-BE-F 都是 60? .
(I)证明平面 ABEF ? EFDC; (II)求二面角 E-BC-A 的余弦值. (19) (本小题满分 12 分) 19.某公司计划购买 2 台机器, 该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件, 在购进机 器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元.在机器使用期间,如果备件不足再购 买, 则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件, 为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图: 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率, 记X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数, n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数. X (I)求 的分布列; (II)若要求 P( X ? n) ? 0.5 ,确定 n 的最小值; (III)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在 n ? 19 与 n ? 20 之中选其一,应

3/4

选用哪个? 20. (本小题满分 12 分) 设圆 x ? y ? 2x ?15 ? 0 的圆心为 A, 直线 l 过点 B (1,0) 且与 x 轴不重合, l 交圆 A 于 C,
2 2

D 两点,过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E.
(I)证明 EA ? EB 为定值,并写出点 E 的轨迹方程; (II)设点 E 的轨迹为曲线 C1,直线 l 交 C1 于 M,N 两点,过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交 于 P,Q 两点,求四边形 MPNQ 面积的取值范围. 21.(本小题满分 12 分) x 2 已知函数f(x)=9(x-2)e +a(x-1) 有两个零点 (I)求 a 的取值范围; (II)设 x1,x2 是的两个零点,证明:+x2<2. 请考生在 22、 23、 24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题 计分,做答时请写清题号 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,△OAB 是等腰三角形,∠AOB=120°.以⊙O 为圆心,OA 为半径 作圆. (I)证明:直线 AB 与 O 相切; (II)点 C,D 在⊙O 上, 且 A,B,C,D 四点共圆, 证明: AB∥CD. 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直线坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为(t 为参数,a >0) 。在以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系 中,曲线 C2:ρ =cosθ . (I)说明 C1 是哪种曲线,并将 C1 的方程化为极坐标方程; (II)直线 C3 的极坐标方程为,其中满足 tan=2,若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上,求 a。 24.(本小题满分 10 分) ,选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x)= ∣x+1∣-∣2x-3∣. (I)在答题卡第(24)题图中画出 y= f(x)的图像; (II)求不等式∣f(x)∣﹥1 的解集

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