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广东省广州市执信中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学(文) Word版含答案



广州执信中学 2014-2015 学年度第一学期

高二级文科数学期中考试试卷
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分为 150 分.考试用时 120 分钟.
注意事项:1、答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封 线内相应的位置上,用 2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上. 2、选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案;不能答在试卷上. 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答,答案必须写在答卷纸各题目指定 区域内的相应位置上,超出指定区域的答案无效;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4、考生必须保持答题卡的整洁和平整.

50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 M ? x 0 ? x ? 3 , N ? x x ? 2k ? 1, k ? Z , 则图中阴影部分表示的集合是 A. ? B. ? 1? C. ? 1,3? D. ? 0,1,3?

第一部分选择题(共

?

?

?

?

M

N

2. 下列对一组数据的分析,不正确的说法是 A 数据标准差越小,样本数据分布越集中、稳定. B.数据平均数越小,样本数据分布越集中、稳定 C. 数据极差越小,样本数据分布越集中、稳定 D.数据方差越小,样本数据分布越集中、稳定 3.已知 m , n 为两条不同的直线, ? , ? 为两个不同的平面,则下列命题中正确的是 A.

m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? ? ? // ?

B.

? // ? , m ? ? , n ? ? ? m // n

C. m ? ? , m ? n ? n // ?

D. m // n, n ? ? ? m ? ?

4.用系统抽样法(按等距离的规则)从 160 名学生中抽取容量为 20 的样本, 将这 160 名学生从 1 到 160 编号.按编号顺序平均分成 20 段(1~8 号,9~16 号,…,153~160 号),若第 16 段应抽出的号码为 125,则第 1 段中用简单随机抽样确定的号码是( A.7 B.5 C.4 D.3 )

5.函数 f ( x) ? 2 x?1 ? x ? 5 的零点所在的区间为 A. (0,1) C.(2,3) B. (1,2) D. (3,4)

6.如下右图所示,为函数 y=Asin(ωx+φ)+k 在 一个周期内的图象,则这个函数的一个解析式为 x π x π A.y=2sin( + )-1 B.y=2sin( + )-1 2 6 2 3 π π C.y=2sin(2x+ )-1 D.y=2sin(2x+ )-1 3 6

7. 将正方体(如图 1 所示)截去两个三棱锥,得到图 2 所示的几何体,则该几何体的左视 图为

8.运行如图的程序框图,输出的结果是

A. 510

B. 1022

C. 254

D. 256

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 9.设实数 x, y 满足 ? y ? 2 x ? 2 ,则 x 2 ? y 2 的取值范围是 ?y ? 2 ?
A.

?4 ? ,8 ? ?5 ? ?

B. 1,2 2

?

?

C. ?1,8?

?2 5 ? D. ? ,2 2 ? ? 5 ?

10.在 R 上定义运算 ? : x ? y ? x(1 ? y). 若对任意 x ? 2 ,不等式

? x ? a? ? x
A. ?? 1,7?

? a ? 2 都成立,则实数 a 的取值范围是

B. ?? ?,3?

C. ?? ?,7?

D. ?? ?,1 ? ?7,????

第二部分非选择题

(共 100 分)

二.填空题:本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 把答案填在答卷的相应位置. 11. 数列 ?an ?是等差数列, a8 ? 2 ,则前 15 项和 S15 ? _*___ 12. 在 ?ABC 中 , A D?

1 AB , 4

E 为 BC 边 的 中 点 , 设 AB ? a , AC ? b , 则

DE ? ___*___(注意:手写向量,小写字母上面要加箭头)
13、设不等式组 ?

?0 ? x ? 2, ,表示平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点,则此点到坐 ?0 ? y ? 2

标原点的距离小于 2 的概率是___*___ 14.圆 C: x2 ? y 2 ? x ? 2 y ? 0 的圆心是__*___,与圆 C 关于直线 l : x ? y ? 1 ? 0 对称的圆 的方程是__*___ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 12 分)

?ABC 的面积是 4 , 角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c , b ? 2, cos A ?
(1) 求 cos
2

3 5

A 1 ? cos 2 A ? 的值; 2 2

(2) 分别求 c, a 的值.

16. (本题满分 12 分) 某市为增强市民的环境保护意识, 面向全市征召义务宣传志愿者。 现从符合条件的志愿者中 随机抽取 100 名按年龄分组:第 1 组 ?20,25? ,第 2 组 ?25,30? ,第 3 组 ?30,35? ,第 4 组

?35,40? ,第 5 组 [40, 45] ,得到的频率分布直方图如图所示.
(1)若从第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参加广场的宣传活动,应从 第 3,4,5 组各抽取多少名志愿者? (2)在(1)的条件下,该县决定在 这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者 介绍宣传经验,求第 4 组至少有一名 志愿者被抽中的概率.[

17.(本题满分 14 分) 如图,五面体 EF-ABCD 中,ABCD 是以点 H 为中心的正方形,EF//AB,EH 丄平面 ABCD,AB=2, EF=EH=1. (1)证明:EH//平面 ADF; (2) 证明:平面 ADF 丄平面 ABCD; (3) 求五面体 EF—ABCD 的体积.

18. (本题满分 14 分) 已知等差数列 ?a n ? 的首项 a 1 =1,公差 d>0,且其第 2 项、第 5 项、第 14 项成等比数列 (1)求数列 ?an ? 的通项公式;

(2)设 bn ?

1 1 2 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,并证明: ? Tn ? 6 3 an?1an? 2

19. (本题满分 14 分) 已知两点 M (0, ?1) 、N (0,1) , 点 P 为坐标平面内的动点, 满足 MN ? NP ? MN ? MP . (1)求动点 P (x,y)的轨迹方程; (2)若点 A ? 4, t ? 是动点 P 的轨迹上的一点, K (0, m) 是 y 轴上的一动点,试讨论直 线 AK 与圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 的位置关系.

20. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? 2 x ? a ? 1 , a ? R (1)若函数 f ( x ) 满足 f (1 ? x ) ? f (1 ? x ) ,求实数 a 的值;

?1 ? ,2 上总是单调函数,求实数 a 的取值范围; ? ?2 ? ? ?1 ? (3)若函数 f ( x ) 在区间 ,2 上有零点,求实数 a 的取值范围. ? ?2 ? ?
(2)若函数 f ( x ) 在区间

2014-2015 学年度第一学期

???????

2014-2015 学年度第一学期

高二级文科数学期中考试答案
一、选择题:CBDBC DBA AC 二、填空题:11.30;12. 13.题目中 ?

1 1 a? b 4 2

?0 ? x ? 2 表示的区域如图正方形所示,而动点 D 可以存在 ?0 ? y ? 2 1 ? ? 22 ? 的位置为正方形中四分之一扇形的面积部分,因此 P ? 4 ? , 2?2 4 14.(1/2,- 1); 设 圆 心 (1/2,- 1) 关 于 直 线 l : x ? y ? 1 ? 0 的 对 称 点 为
? y0 ? 1 ? ?1 ? 1 x0 ? ? 解此方程组,得 ? 2 ( x0 , y0 ), 则有 ? ?x ? 1 ? 0 2 ? y0 ? 1 ? 1 ? 0 ? ? 2 2

x0 ? ?2, y0 ?

3 ,所以与圆 C 关于直线 2

3? 5 ? l : x ? y ? 1 ? 0 对 称 的 圆 的 方 程 是 ? x ? 2? ? ? y ? ? ? 2? 4 ? 2 2 x ? y ? 4 x ? 3 y ? 5 ? 0 也是对的)
2

2

( 写 成

三、解答题 15.解: (1) cos 2

A 1 1 ? cos A 1 ? cos 2 A ? ? ? 2 cos 2 A ? 1 ? 2 2 2 2

2 ? 2c o s A?

c o sA 2

……3 分

9 1 3 51 ? ? ? ……………… 6 分 25 2 5 50 1 4 2 (2) S ? bc sin A ? 4, b ? 2, ?ABC 中, sin A ? 1 ? cos A ? 2 5 代入解得 c ? 5 …… 9 分 ? 2?
由余弦定理得: a ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 4 ? 25 ? 2 ? 2 ? 5 ?

……… 8 分

3 ? 17 5

………11 分

? a ? 17

………12 分 第 4 组的人数为 0.2×100=20, 第 5 组的人 0.1 × …………3 分

16. 解:(1) 第 3 组的人数为 0.3×100=30, 数 为 100=10.

因为第 3,4,5 组共有 60 名志愿者, 所以利用分层抽样的方法在 60 名志愿者中抽取 6 名志愿 者,每组抽取的人数分别为:第 3 组:
30 20 10 ×6=3; 第 4 组: ×6=2; 第 5 组: ×6=1. 60 60 60

所以应从 第 3,4,5 组中分别抽取 3 人,2 人,1 人.

…………6 分

(2)记第 3 组的 3 名志愿者为 A1,A2,A3,第 4 组的 2 名志愿者为 B1,B2,第 5 组的 1 名志愿者为 C1. 则从 6 名志愿者中抽取 2 名志愿者有 : (A1,A2), (A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),

(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有 15 种. 其中第 4 组的 2 名志愿者 B1,B2 至少有一名志愿者被抽中的有:

…………8 分

(A1,B1), (A1,B2), (A2,B1), (A2,B2), (A3,B1), (A3,B2), (B1,B2), (B1,C1), (B2,C1), 共有 9 种, 所以第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率为 17(本题满分 14 分) (1)由已知得 EF / / AB且EF ? …………10 分

9 3 = . 15 5

…………12 分

1 AB 2

取 AD 的中点 G,,连结 GH,GF…………………………..1 分 则 GH/ / AB且GH ?

1 AB ………………………………2 分 2

? EF / /GH 且EF ? GH ,即EFGH 为平行四边形 ? FG//EH,FG ? 平面ADF,EH ? 平面ADF .
? EH / / 平面ADF …
(2)

..........4分 .........6分

EH ? 平面ABCD ,且 FG//EH………………………………7 分

? FG ? 平面ABCD, 且FG ? 平面ADF ………………………………9 分
? 平面ADF ? 平面ABCD …………………………….10 分
(2)在面 ABCD 内过 H 作 RT//AD 如图,则面 RTE//面 ADF,ADF—RTE 为三棱柱 由(1)及 HG ? AD 得 GH 为该柱体的高,………….12 分

?VABCD ? EF ? VADF ? RTE ? VE ? BCTR .......................................13分 1 1 5 ? ( ? 2 ?1) ?1 ? ? (2 ?1) ?1 ? ..................14分 2 3 3
(不排除其它方法,酌情分布给分) 18. (本题满分 14 分) ∵ an (1)解:设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,

? a1 ? ? n ?1? d , ? a1 ? d ?? a1 ? 13d ? ? ? a1 ? 4d ?2 ? d ? 0 ?
2
*

…………4分

整理: 3d ? 6a1d ? d ? 0? ,?d ? 2a1 ? 2,?an ? 1 ? (n-1)2=2n-1. ∴an=2n-1 ( n ? N )…………7 分 (2) bn ? 分

2 2 1 1 ? ? ? an?1 ? an? 2 (2n ? 3)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 3

…………9

∴ b1 ? b2 ? ? ? bn ? 分 = 分 ∵ Tn?1 ? Tn ? bn ? 13 分 ∴

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 3
1 1 1 ? ? 3 2n ? 3 3

…………10

…………12

? 2n ? 1?? 2n ? 3?

1

数列 ?Tn ? 是递增数列. ∴ Tn ? T1 ? ? 0,

1 . ………… 6

1 1 ? Tn ? . …………14 分 6 3

19.(本题满分 14 分) (1)解:设 P( x, y) ,则 MN ? (0, 2) , NP ? ( x, y ?1) , MP ? ( x, y ?1) .…………3 分
2 2 由 | MN | ? | NP |? MN ? MP ,得 2 x ? ( y ? 1) ? ? 2( y ? 1) ,………………5 分

化简得 x ? 4 y .所以动点 P 的轨迹方程为 x ? 4 y .…………………6 分
2 2
2 (2) 解: 由 A ? 4, t ? 在轨迹 x2 ? 4 y 上, 则 4 ? 4t , 解得 t ? 4 , 即 A? 4,4? . …………………

7分

4?m x ? m ,即 (4 ? m) x ? 4 y +4m ? 0 . ……………9 分 4 2 2 圆 ( x ? 2) ? y ? 4 的圆心 (2, 0) 到直线 AK 的距离 (m ? 4) * 2 ? 4*0 ? 4m 2m ? 8 d? ? ,………………10 分 (m ? 4) 2 ? 16 ( m ? 4) 2 ? 16
直线 AK 的方程为 y ? 令d ? 令d ? 令d ?

2m ? 8 (m ? 4) 2 ? 16 2m ? 8 (m ? 4) 2 ? 16 2m ? 8 (m ? 4) 2 ? 16

? 2 ,解得 m ? 1 ;………………11 分 ? 2 ,解得 m ? 1 ;………………12 分 ? 2 ,解得 m ? 1 .………………13 分
2 2 2 2 2 2

综上所述,当 m ? 1 时,直线 AK 与圆 ( x ? 2) ? y ? 4 相交; 当 m ? 1 时,直线 AK 与圆 ( x ? 2) ? y ? 4 相切; 当 m ? 1 时,直线 AK 与圆 ( x ? 2) ? y ? 4 相离.…………14 分 20. (本题满分 14 分)

f (1 ? x ) ? f (1 ? x ) 知 函 数 (1) 称……………………1 分
? a ? 0,

f ( x) ? ax2 ? 2 x ? a ? 1 关 于 直 线 x ? 1 对

1 ? 1, a ? 1. ……………………2 分 a

(2)① a ? 0, f ( x ) ? ?2 x ? 1 在区间

?1 ? ,2 上单调递减……………………3 分 ? ?2 ? ?

?a ? 0 ?1 ? ②? ? 1 1 即 a ? 2 时, f ( x ) 在区间 ? 2 ,2? 上单调递增……………………4 分 ? ? ? ? ?a 2
?a ? 0 1 ③? 即 0 ? a ? 时, f ( x ) 在区间 ? 1 ,2? 上单调递减……………………5 分 ?1 ? 2 ?2 ? ? ?2 ? ?a

④ a ? 0, f ( x ) 在区间 ? 1 ,2? 上单调递减……………………6 分
? ?2 ? ?

综上所述, a ? (3)解法 1:

1 ?1 ? 或 a ? 2 , f ( x ) 在区间 ,2 上是单调函数…………………7 分 ? 2 ?2 ? ? 1 ?1 ? ?1 ? ? ? ,2? , f ( x ) 在区间 ? ,2? 上没有零点 2 ?2 ? ?2 ?

当 a ? 0 时,函数 f ( x ) ? ?2 x ? 1 的零点是 ? 当 a ? 0 时,…………………8 分 ①若 f ( x ) 在区间

1 1 ?1 ? ,2? 上有两个相等的实根,则 ? ? 4 ? 4a(a ? 1) ? 0, 且 ? ? 2 即 ? 2 a ?2 ?

1 ?a?2 2


? ? 4 ? 4a(a ? 1) ? 0, 则 a ?

1? 5 1? 5 ?1 ? ?1 ? ? ? ,2 ? , a ? ? ? ,2 ? , 2 2 ?2 ? ?2 ?

1? 5 ………9 分 2 ?5a ? 8??5a ? 5? ? 0 1 ?1 ? ②若 f ( x ) 在区间 ? ,2 ? 上有一个实根,则 f ( ) f ( 2) ? 0 ,即 2 4 ?2 ? 8 得 1 ? a ? …………………10 分 5 ?1 ? ③若 f ( x ) 在区间 ,2 上有两个的不同实根,则有 ? ?2 ? ? ?a ?
? ? ?a ? 0 ?a ? 0 ? 2 ? 2 ?? ? 4( ? a ? a ? 1) ? 0 或 ?? ? 4( ? a ? a ? 1) ? 0 解得 8 ?1 1 ?1 1 5 ? ? ?2 ? ? ?2 2 a 2 a ? ? 5a ? 8 5a ? 8 ? 1 ? 1 f ( ) ? ? 0 ? 2 ? f (2) ? 4 ? 0 4 ? ? ? f ( 2) ? 5a ? 5 ? 0 ? f ( 2) ? 5a ? 5 ? 0

?a?

5 ?1 或空集………………… 12 2

分 综上 1 ? a ? 符合; 综上所述 1 ? a ?

5 ?1 ?1 ? 2 , 检验 f (2) ? 0, a ? 1, f ( x) ? x ? 2 x 的零点是 0, 2, 其中 2 ? ,2 , ? 2 ?2 ? ? 5 ?1 …………………14 分 2

解法 2
2 当 a ? 0 时,函数 f ( x) ? ax2 ? 2 x ? a ? 1 在区间 ? 2 ,2? 上有零点 ? a x ? 1 ? 1 ? 2 x 在

?1 ? ? ?

?

?

1 ? 2x 1 ? 2x ?1 ? ?1 ? 在区间 问题转化为求函数 y ? 在区 ,2? 上有解 ? a ? ,2? 上有解, 2 ? ? 1? x 1 ? x2 ?2 ? ?2 ? ?1 ? 间 ,2 上的值域……8 分 ? ?2 ? ? t ?1 t 4t 4 设 t ? 1 ? 2 x ? ?2,5? , x ? ,则 y ? ……9 分 ? ? 2 2 5 2 5 ? 2t ? t ? t ? 1? ?t?2 1? ? ? t 2 ? ? 5 设 g (t ) ? t ? ,可以证明当 t ? 2, 5 , g(t ) 递减, t ? 5,5 , g (t ) 递增 t 事 实 上 , 设 则 0 ? t1 ? t2 ? 5,
区间

?

?

?

?

? 5? ? 5 ? ?t1 ? t2 ??t1t2 ? 5? ? ? ? , g (t1 ) ? g ?t2 ? ? ? t ? ? t ? 1 2 ? ? ? ?? t t t t 1? 2 ? 1 2 ? ? 由 0 ? t1 ? t2 ? 5, ,得 t1 ? t2 ? 0 , 0 ? t1t2 ? 5 ,即 g ?t1 ? ? g ?t2 ? ? 0 . ……10 分
所以 g ? t ? 在 2, 5 上单调递减.同理得 g ? t ? 在 又 g (5) ? 6 ? g (2) ? 4.5 故

?

?

? 5,5?上单调递增,……11 分

g( 5) ? g(t ) ? g(5),? 2 5 ? g (t ) ? 6,? 0 ? 2 5 ? 2 ? g(t ) ? 2 ? 4, ……12 分
?1 ?
? 5 ? 1? 4 5 ?1 4 4 ? ,? y ? ?1, ? , ?1 ? ? . ……13 分 g (t ) ? 2 2 2 g (t ) ? 2 2 5 ? 2 ? ?

? 5 ? 1? 故实数 a 的取值范围为 ?1, ? .……14 分 2 ? ?



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