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求数列前N项和方法



求数列前 n 项和的常用方法

一.用倒序相加法求数列的前 n 项和

如果一个数列{an},与首末项等距的两项之和等于首末两项之和, 可采用把正着写与倒着写的两个和式相加,就得到一个常数列的和, 这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时,不但要知其果,更 要索其因,知识的得出过程是知识的源头,也是研究同一类知识的工 具,例如:等差数列前

n 项和公式的推导,用的就是“倒序相加法”。 例题 1 :设等差数列 {an} ,公差为 d ,求证: {an} 的前 n 项和 Sn=n(a1+an)/2 解:Sn=a1+a2+a3+...+an ① 倒序得:Sn=an+an-1+an-2+…+a1 ② ①+②得:2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1) 又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1 ∴2Sn=n(a2+an) Sn=n(a1+an)/2 点拨:由推导过程可看出,倒序相加法得以应用的原因是借助 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1 即与首末项等距的两项之和等于首末 两项之和的这一等差数列的重要性质来实现的。 二.用公式法求数列的前 n 项和 对等差数列、等比数列,求前 n 项和 Sn 可直接用等差、等比数列 的前 n 项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项:首先要注意公 式的应用范围,确定公式适用于这个数列之后,再计算。 例题2:求数列 的前 n 项和 Sn

解: 点拨:这道题只要经过简单整理,就可以很明显的看出:这个数 列可以分解成两个数列,一个等差数列,一个等比数列,再分别运用 公式求和,最后把两个数列的和再求和。 三.用裂项相消法求数列的前 n 项和 裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项, 使得前后项相抵消, 留下有限项,从而求出数列的前 n 项和。 例题3:求数列 (n∈N*)的和

解: 点拨:此题先通过求数列的通项找到可以裂项的规律,再把数列 的每一项拆开之后,中间部分的项相互抵消,再把剩下的项整理成最 后的结果即可。 四.用错位相减法求数列的前 n 项和 错位相减法是一种常用的数列求和方法,应用于等比数列与等差 数列相乘的形式。即若在数列{an· bn}中,{an}成等差数列,{bn}成等

比数列,在和式的两边同乘以公比,再与原式错位相减整理后即可以 求出前 n 项和。 例题4:求数列{nan}(n∈N*)的和 解:设 Sn = a + 2a2 + 3a3 + … + nan① 则:aSn = a2 + 2a3 + … + (n-1)an + nan+1② ①-②得:(1-a)Sn = a + a2 + a3 + … + an - nan+1③ 若 a = 1则:Sn = 1 + 2 + 3 + … + n = 若 a ≠ 1则: 点拨:此数列的通项是 nan,系数数列是:1,2,3……n,是等 差数列;含有字母 a 的数列是:a,a2,a3,……,an,是等比数列,符合 错位相减法的数列特点,因此我们通过错位相减得到③式,这时 考虑到题目没有给定 a 的范围,因此我们要根据 a 的取值情况分 类讨论。我们注意到当 a=1时数列变成等差数列,可以直接运用 公式求值;当 a≠1时,可以把③式的两边同时除以(1-a) ,即可得 出结果。 五.用迭加法求数列的前 n 项和 迭加法主要应用于数列{an}满足 an+1=an+f(n), 其中 f(n)是等差数列 或等比数列的条件下,可把这个式子变成 an+1-an=f(n),代入各项,得 到一系列式子,把所有的式子加到一起,经过整理,可求出 an ,从 而求出 Sn。 例题5:已知数列6,9,14,21,30,……其中相邻两项之差成等差数列,

求它的前 n 项和。 解:∵a2 - a1 = 3, a3 - a2 = 5, a4 - a3 = 7 ,…, an - an-1 = 2n-1 把 各 项 相 加 得 : an - a1 = 3 + 5 + 7 + … + (2n - 1) = ∴a n = n 2 - 1 + a 1 = n 2 + 5 ∴Sn = 12 + 22 + … + n2 + 5n = + 5n

点拨:本题应用迭加法求出通项公式,并且求前 n 项和时应用 到了12 + 22 + … + n2= 六.用分组求和法求数列的前 n 项和 所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列,也不是等比数列的 数列, 若将这类数列适当拆开, 可分为几个等差、 等比或常见的数列, 然后分别求和,再将其合并。 例题6:求 S = 12 - 22 + 32 - 42 + … + (-1)n-1n2(n∈N*) 解:①当 n 是偶数时:S = (12 - 22) + (32 - 42) + … + [(n - 1)2 - n2] = - (1 + 2 + … + n) = ②当 n 是奇数时: S = (12 - 22) + (32 - 42) + … + [(n - 2)2 - (n - 1)2] + n2 = - [1 + 2 + … + (n - 1)] + n2 =综上所述:S = (-1)n+1 n(n+1) 点拨:分组求和法的实质是:将不能直接求和的数列分解成若干 因此问题就容易解决了。

个可以求和的数列,分别求和。 七.用构造法求数列的前 n 项和 所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的 通项的特征,构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式,从而求 出数列的前 n 项和。 例题7:求 的和

解: 点拨: 本题的关键在于如何构造出等差或等比数列的特征的通项, 在这道题的解法中巧妙的运用了 这一转化,

使得数列的通项具备了等比数列的特征,从而为解题找到了突破口。



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