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人教版高三数学一轮复习导数的概念及运算



考点一 导数的概念及运算

一、导数的概念

2.有关导数定义的几点理解:

f (x0 ? Δx) ? f ( x0 ) f ?( x0 ) ? lim . ?x ?0 ?x

定义法求函数的导数

习题:

三、导数的计算

/>公式1.若f ( x ) ? c, 则f '( x ) ? 0; 公式2.若f ( x ) ? x n , 则f '( x ) ? nx n ?1 ; 公式3.若f ( x ) ? sin x, 则f '( x ) ? cos x; 公式4.若f ( x ) ? cos x, 则f '( x ) ? ? sin x; 公式5.若f ( x ) ? a x , 则f '( x ) ? a x ln a (a ? 0); 公式6.若f ( x ) ? e x , 则f '( x ) ? e x ; 1 公式7.若f ( x ) ? log a x, 则f '( x ) ? (a ? 0, 且a ? 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ? ln x, 则f '( x) ? ; x

导数的运算法则

法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差),即:

? f ( x ) ? g ( x ) ? ? ? f ?( x ) ? g ?( x )

法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:

? f ( x ) ? g ( x ) ?? ?

f ?( x ) g ( x ) ? f ( x ) g ?( x )

法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 数的平方.即:

? f ( x ) ? ? f ?( x ) g ( x ) ? f ( x ) g ?( x ) ( g ( x ) ? 0) ? g ( x) ? ? 2 ? ? ? g ( x)?

例4:求下列函数的导数:
1 4 (1) y? ? ? 2 ? 3 ; x x

1 ? x2 ( 2) y ? ? ; 2 2 (1 ? x )

( 3) y ? ?

1 ; 2 cos x

2.复合函数的导数: 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间关系为

y ?x ? y ?u ? u ?x ;
y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.

四、导数的几何意义

f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ?y ? lim 即: k切线 ? tan ? ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x
故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线方程是:

y ? f ( x 0 ) ? f ?( x 0 )( x ? x 0 )

注意:曲线在某点处的切线, (1)与该点的位置有关;

(2)要根据割线是否有极限来判断与求解.如有极限,则在此点有
切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线; (3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚 至可以无穷多个.

因为两切线重合,

?2 x1 ? ?2( x2 ? 2) ? x1 ? 0 ? x1 ? 2 ?? ?? 或? . 2 2 ? ? x1 ? x2 ? 4 ? x2 ? 2 ? x2 ? 0

若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4. 所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.



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