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江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学2015届高三模拟数学试卷(05)



江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学 2015 届高考数学模拟试卷 (05)
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.复数 +i
2014

对应的点位于复平面的第__________象限.

2.已知函数 y=lg(4﹣x)的定义域为 A,集合 B={x|x<a},若 P:“x∈A”是 Q:“

x∈B”的充 分不必要条件,则实数 a 的取值范围 __________. 3.若实数 x 满足 log2log2x=log4log4x,则 x=__________. 4.已知角 α 终边上一点 P 的坐标是(2sin3,﹣2cos3) ,则 sinα=__________. 5. 已知 0<a<1, 若 log( >log( , 且 λ<x+y, 则 λ 的最大值为__________. a 2x﹣y+1) a 3y﹣x+2) 6.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2a8=2a3a6,S5=﹣62,则 a1 的值是__________. 7.设 α,β 为锐角,且(1+sinα﹣cosα) (1+sinβ﹣cosβ)=2sinαsinβ,则 α+β=__________.

8.若 x∈(0, __________.

) ,则不等式

+sin2x≥5 恒成立的正实数 a 的取值范围为

9.如图,将正偶数排列如表,其中第 i 行第 j 个数表示为 aij(i,j∈N ) ,例如 a43=18,若 aij=2010,则 i+j=__________.

*

10.如图,在△ ABC 中,∠A=60°,∠A 的平分线交 BC 于 D,若 AB=4,且 λ (λ∈R) ,则 AD 的长为__________.

=

+

11.设等比数列{an}的前 n 项的和为 Sn,且对任意正整数 n,都有 a2a8=2a3a6,S5=﹣62,则 a1=__________.

12.设定义域为 R 的函数 f(x)

,若关于 x 的方程 2f (x)+2bf(x)

2

+1=0 有 8 个不同的实数根,则 b 的取值范围是__________. 13.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)=x ,若对任意 x∈[a,a+2],不 等式 f(x+a)≥f(3x+1)恒成立,则实数 a 的取值范围是__________. 14.设实数 b,c 满足 b +c =1,且 f(x)=ax+bsinx+ccosx 的图象上存在两条切线垂直,则 a+b+c 的取值范围是__________.
2 2 2

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分) 15.在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 A,B,C 成等差数列. (1)若 =﹣ ,b= ,求 a+c 的值;

(2)求 2sinA﹣sinC 的取值范围. 16.已知向量 =(2sin(ωx+ ) ,2) , =(2cosωx,0) (ω>0) ,函数 f(x)= ? 的图

象与直线 y=﹣2+ 的相邻两个交点之间的距离为 π. (1)求函数 f(x)在[0,2π]上的单调递增区间; (2)将函数 f(x)的图象向右平移 个单位,得到函数 y=g(x)的图象.若 y=g(x)在

[0,b](b>0)上至少含有 10 个零点,求 b 的最小值. 17.某园林公司计划在一块以 O 为圆心,R(R 为常数,单位为米)为半径的半圆形(如图) 地上种植花草树木, 其中弓形 CMDC 区域用于观赏样板地, △ OCD 区域用于种植花木出售, 其余区域用于种植草皮出售. 已知观赏样板地的成本是每平方米 2 元, 花木的利润是每平方 米 8 元,草皮的利润是每平方米 3 元. (1)设∠COD=θ(单位:弧度) ,用 θ 表示弓形 CMDC 的面积 S 弓=f(θ) ; (2)园林公司应该怎样规划这块土地,才能使总利润最大?并求相对应的 θ. (参考公式:扇形面积公式 ,l 表示扇形的弧长)

18.已知函数

,g(x)=logax.如果函数 h(x)=f(x)+g(x)没有极

值点,且 h′(x)存在零点. (1)求 a 的值; (2)判断方程 f(x)+2=g(x)根的个数并说明理由; (3)设点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) (x1<x2)是函数 y=g(x)图象上的两点,平行于 AB 的切线以 P(x0,y0)为切点,求证:x1<x0<x2.

19. 已知 k 为给定正整数, 数列{an}满足 a1=3, 其中 Sn 是数列{an}的前 n 项和,令 bn= (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)记 Tk= ,若 Tk∈Z ,求 k 的所有可能值.
+

, .

20. (16 分) 已知函数 f (x) =a﹣blnx (a, b∈R) , 其图象在 x=e 处的切线方程为 x﹣ey+e=0. 函 数 g(x)= (k>0) ,h(x)= .

(Ⅰ)求实数 a、b 的值; (Ⅱ)以函数 g(x)图象上一点为圆心,2 为半径作圆 C,若圆 C 上存在两个不同的点到 原点 O 的距离为 1,求 k 的取值范围; (Ⅲ)求最大的正整数 k,对于任意的 p∈(1,+∞) ,存在实数 m、n 满足 0<m<n<p,使 得 h(p)=h(m)=g(n) .

三、周日附加题卷(7) 21.选修 4﹣2:矩阵与变换 已知圆 C:x +y =1 在矩阵 求 a,b 的值. 22. (极坐标与参数方程)
2 2

(a>0,b>0)对应的变换作用下变为椭圆

=1,

已知直线 l 经过点 P(2,1) ,倾斜角



(Ⅰ)写出直线 l 的参数方程; (Ⅱ)设直线 l 与圆 O:ρ=2 相交于两点 A,B,求线段 AB 的长度. 23. 某地区举办科技创新大赛, 有 50 件科技作品参赛, 大赛组委会对这 50 件作品分别从“创 新性”和“实用性”两项进行评分, 每项评分均按等级采用 5 分制, 若设“创新性”得分为 x, “实 用性”得分为 y,统计结果如下表: y 作品数量 x 实用性 1分 2分 3分 4分 5分 创 新 性

1分 3 0 2分 0 5 3分 1 9 4分 b 0 5分 0 1 (1)求“创新性为 4 分且实用性为 3 分”的概率; (2)若“实用性”得分的数学期望为 ,求 a、b 的值.

1 1 1 1 7 1 2 0 3 1 6 a 0 1 3

24.把所有正整数按上小下大,左小右大的原则排成如图所示的数表,其中第 i 行共有 2 个正整数,设 aij(i,j∈N*)表示位于这个数表中从上往下数第 i 行,从左往右第 j 个数. (Ⅰ)若 aij=2013,求 i 和 j 的值; (Ⅱ)记 An=a11+a22+a33+…+ann(n∈N*) ,求证:当 n≥4 时,An>n +C
2

i﹣1



江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学 2015 届高考数学模 拟试卷(05)
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.复数 +i
2014

对应的点位于复平面的第二象限.

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:利用复数的运算法则、几何意义即可得出. 4 2014 4 503 2 解答: 解:∵i =1,∴i =(i ) ?i =﹣1. ∴复数 +i
2014

=

﹣1=

﹣1=﹣1+i 对应的点(﹣1,1)位于复平面

的第二象限. 故答案为:二. 点评:本题考查了复数的运算法则、几何意义、周期性,属于基础题. 2.已知函数 y=lg(4﹣x)的定义域为 A,集合 B={x|x<a},若 P:“x∈A”是 Q:“x∈B”的充 分不必要条件,则实数 a 的取值范围 a>4. 考点: 必要条件、 充分条件与充要条件的判断; 元素与集合关系的判断; 对数函数的定义域. 专题:计算题. 分析: 先利用对数函数的性质求出集合 A, 再根据集合之间的关系结合数轴看端点坐标之间 的大小关系即可. 解答: 解:∵A={x|x<4}, ∵P:“x∈A”是 Q:“x∈B”的充分不必要条件, ∴集合 A 是集合 B 的子集, 由图易得 a>4. 故答案为:a>4.

点评:本题主要考查了元素与集合关系的判断、必要条件、充分条件与充要条件的判断,以 及对数函数的定义域,属于基础题. 3.若实数 x 满足 log2log2x=log4log4x,则 x= 考点:对数的运算性质. 专题:函数的性质及应用. 分析:实数 x 满足 log2log2x=log4log4x,可得 =log4x= ,化为 ,即 =0,解出即可. .

解答: 解:∵实数 x 满足 log2log2x=log4log4x, ∴ ∴ ∴ ∴ ∵log2x≠0,∴ , =log4x= , =0, =0, ,

解得 ,经过验证满足条件. 故答案为: . 点评:本题考查了对数函数的单调性、运算性质,属于基础题. 4.已知角 α 终边上一点 P 的坐标是(2sin3,﹣2cos3) ,则 sinα=﹣cos3. 考点:任意角的三角函数的定义. 专题:计算题;三角函数的求值. 分析:由题意,先求出点 P 到原点的距离,再由定义求出即可. 解答: 解:∵角 α 终边上一点 P 的坐标是(2sin3,﹣2cos3) , ∴|OP|= ∴sinα= =﹣cos3. =2,

故答案为:﹣cos3. 点评:本题考查任意角三角函数的定义,属于基础题,熟记定义是解答的关键. 5.已知 0<a<1,若 loga(2x﹣y+1)>loga(3y﹣x+2) ,且 λ<x+y,则 λ 的最大值为﹣2. 考点:简单线性规划;对数函数的单调性与特殊点. 专题:不等式的解法及应用.

分析: 根据题意得出约束条件, 再作出不等式组表示的平面区域; 作出目标函数对应的直线; 结合图象知当直线过 A 时, z 最小, 从而得出目标函数 z=x+y 的取值范围, 最后根据 λ<x+y, 得出 λ 的最大值. 解答: 解:根据题意得:



画出不等式表示的平面区域 设目标函数 z=x+y,则 z 表示直线在 y 轴上截距,截距越大,z 越大 作出目标函数对应的直线 L:y=﹣x 由 得 A(﹣1,﹣1)

直线过 A(﹣1,﹣1) 时,直线的纵截距最小,z 最小,最小值为 z=﹣2 则目标函数 z=x+y 的取值范围是(﹣2,+∞) . 又 λ<x+y,则 λ 的最大值为﹣2 故答案为:﹣2.

点评:本题考查对数函数的单调性与特殊点、画不等式组表示的平面区域,考查数形结合求 函数的最值. 6.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2a8=2a3a6,S5=﹣62,则 a1 的值是﹣2. 考点:等比数列的通项公式. 专题:计算题;等差数列与等比数列.

分析: 由题意可知, q≠1, 结合等比数列的通项公式及求和公式可得



解方程可求 解答: 解:∵a2a8=2a3a6,S5=﹣62

∴q≠1



解方程可得,q=2,a1=﹣2 故答案为:﹣2 点评:本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用,属于基础试题

7.设 α,β 为锐角,且(1+sinα﹣cosα) (1+sinβ﹣cosβ)=2sinαsinβ,则 α+β=



考点:同角三角函数基本关系的运用. 专题:三角函数的求值. 分析: 由条件利用同角三角函数的基本关系, 二倍角公式、 两角和的正切公式求得 tan (α+β) =1,结合 α,β 为锐角,可得 α+β 的值. 解答: 解:∵ =1+tan , = =1+tan ,同理可得

∴由(1+sinα﹣cosα) (1+sinβ﹣cosβ)=2sinαsinβ 可得 ? ∴(1+tan ) (1+tan )=1+tan =2, +tan +tan tan =2,

tan

+tan

=1﹣tan

tan

,故 tan

=

=1,



=

,α+β= .

故答案为:

点评:本题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角公式,两角和的正切公式,属于基础 题.

8.若 x∈(0, [ ,+∞) .

) ,则不等式

+sin2x≥5 恒成立的正实数 a 的取值范围为

考点:三角函数的最值.

专题:三角函数的求值. 分析:由题意可得 sin2x>0, + +sin2x≥2 + +sin2x≥ 恒成立.利用基本不等式可得

,可得 2

≥ ,由此求得 a 的范围. +sin2x≥5 恒成立,即

解答: 解:由题意可得 sin2x>0,且 + +sin2x≥ 恒成立. +

利用基本不等式可得 即 = ∴2

+ sin2x+ sin2x≥4

=2

,当且仅当

= sin2x 时取等号. ,

≥ ,求得 a≥

故答案为:[

,+∞) .

点评:本题主要考查半角公式、基本不等式的应用,函数的恒成立问题,属于基础题. 9.如图,将正偶数排列如表,其中第 i 行第 j 个数表示为 aij(i,j∈N ) ,例如 a43=18,若 aij=2010,则 i+j=60.
*

考点:等差数列的性质;等差数列的通项公式. 专题:归纳法. 分析:根据题目中给出的图形,归纳总结出各行各列与各偶数的关系是解题的关键. 解答: 解:由图形可知: 第 1 行 1 个偶数, 第 2 行 2 个偶数, … 第 n 行 n 个偶数; ∵2010 是第 1005 个偶数,设它在第 n 行,则之前已经出现了 n﹣1 行,共 1+2+…+(n﹣1) 个偶数, ∴ <1005,

解得 n<45, ∴2010 在第 45 行, ∵前 44 行有 990 个偶数, ∴2010 在第 45 行,第 15 列,即 i=45,j=15, ∴i+j=60,

故答案为 60. 点评:本题集数列和图形计数于一体,题目设计新颖,既考查了数列的知识,又考查了归纳 推理的过程,是 2015 届高考考查的重点内容. 10.如图,在△ ABC 中,∠A=60°,∠A 的平分线交 BC 于 D,若 AB=4,且 λ (λ∈R) ,则 AD 的长为 3 . = +

考点:向量在几何中的应用. 专题:计算题;平面向量及应用. 分析:因为 B,D,C 三点共线,所以有 +λ=1,解得 λ= ,再确定 AMDN 是菱形,即可得出结论. 解答: 解:因为 B,D,C 三点共线,所以有 +λ=1,解得 λ= ,如图,过点 D 分别作 AC, AB 的平行线交 AB,AC 于点 M,N,则 = , = , = , = ,

∵△ABC 中,∠A=60°,∠A 的平分线交 BC 于 D, ∴AMDN 是菱形, ∵AB=4,∴AN=AM=3, ∴AD=3 . 故答案为:3 .

点评:本题考查向量在几何中的应用,考查学生的计算能力,确定 AN=AM=3 是关键. 11.设等比数列{an}的前 n 项的和为 Sn,且对任意正整数 n,都有 a2a8=2a3a6,S5=﹣62,则 a1=﹣2. 考点:等比数列的性质. 专题:等差数列与等比数列. 分析:由等比数列的性质和已知可得公比 q,代入求和公式可得 a1 2 解答: 解:由等比数列的性质可得 a2a8=a5 ,a3a6=a4a5, 2 ∵a2a8=2a3a6,∴a5 =2a4a5,解得 a5=2a4, ∴ =2,即等比数列{an}的公比 q=2,

∵S5=

=31a1=﹣62,∴a1=﹣2

故答案为:﹣2 点评:本题考查等比数列的性质,求出公比是解决问题的关键,属基础题.

12.设定义域为 R 的函数 f(x)

,若关于 x 的方程 2f (x)+2bf(x) .

2

+1=0 有 8 个不同的实数根,则 b 的取值范围是﹣1.5<b<﹣

考点:根的存在性及根的个数判断. 专题:计算题;压轴题. 2 分析:题中原方程 2f (x)+2bf(x)+1=0 有 8 个不同实数解,即要求对应于 f(x)=某个 常数 K,有 2 个不同的 K,再根据函数对应法则,每一个常数可以找到 4 个 x 与之对应,就 出现了 8 个不同实数解 故先根据题意作出 f(x)的简图: 由图可知,只有满足条件的 K 在开区间(0,1)时符合题意.再根据一元二次方程根的分 布理论可以得出答案. 解答: 解:根据题意作出 f(x)的简图: 由图象可得当 f(x)∈(0,1)时,有四个不同的 x 与 f(x)对应.再结合题中“方程 2f (x) 2 +2bf(x)+1=0 有 8 个不同实数解“,可以分解为形如关于 K 的方程 2k +2bK+1=0 有两个不 2 同的实数根 K1、K ,且 K1 和 K2 均为大于 0 且小于 1 的实数.
2

列式如下:

,即

,可得﹣1.5<b<﹣

故答案为:﹣1.5<b<﹣

点评:本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识,属于难题,采用数形结合的 方法解决,使本题变得易于理解.数形结合是数学解题中常用的思想方法,能够变抽象思维 为形象思维,有助于把握数学问题的本质;另外,由于使用了数形结合的方法,很多问题便 迎刃而解,且解法简捷.

13.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)=x ,若对任意 x∈[a,a+2],不 等式 f(x+a)≥f(3x+1)恒成立,则实数 a 的取值范围是(﹣∞,﹣5]. 考点:函数奇偶性的性质;函数单调性的性质. 专题:函数的性质及应用. 分析:利用函数奇偶性和单调性之间的关系,解不等式即可. 解答: 解:∵当 x≥0 时,f(x)=x , ∴此时函数 f(x)单调递增, ∵f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴函数 f(x)在 R 上单调递增, 若对任意 x∈[a,a+2],不等式 f(x+a)≥f(3x+1)恒成立, 则 x+a≥3x+1 恒成立, 即 a≥2x+1 恒成立, ∵x∈[a,a+2], ∴(2x+1)max=2(a+2)+1=2a+5, 即 a≥2a+5, 解得 a≤﹣5, 即实数 a 的取值范围是(﹣∞,﹣5]; 故答案为: (﹣∞,﹣5]; 点评:本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用,以及不等式恒成立问题,综合考查函数的 性质. 14.设实数 b,c 满足 b +c =1,且 f(x)=ax+bsinx+ccosx 的图象上存在两条切线垂直,则 a+b+c 的取值范围是 .
2 2 2

2

考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;基本不等式在最值问题中的应用. 专题:导数的综合应用. 分析:先利用辅助角公式和 b +c =1 将函数 f(x)化简为 f(x)=ax+sin(x+φ) ,求出 f′(x) =a+cos(x+φ) , 根据 f(x)=ax+bsinx+ccosx 的图象上存在两条切线垂直,不妨设在 x=m 与 x=n 处的切线互 相垂直,则由导数的几何意义,分别求出两条切线的斜率 k1=f′(m)=a+cos(m+φ) ,k2=f′ (n)=a+cos(n+φ) ,则[a+cos(m+φ)][a+cos(n+φ)]=﹣1,化简为关于 a 的一元二次方 程要有实数根,从而得到△ ≥0,再利用三角函数的有界性,即可得到 cos(m+φ)=1,cos (n+φ)=﹣1 或者 cos(m+φ)=﹣1,cos(n+φ)=1,代入到[a+cos(m+φ)][a+cos(n+φ)]= 2 2 ﹣1,求出 a=0,将 a+b+c 的取值范围转化为求 b+c 的取值范围,根据 b +c =1,利用基本不 2 2 2 等式,求出 bc 的范围,结合(b+c) =b +c +2bc=1+2bc,即可求出 b+c 的取值范围,从而 得到 a+b+c 的取值范围. 解答: 解:∵f(x)=ax+bsinx+ccosx ∴f(x)=ax+
2 2 2 2

sin(x+φ) ,

∵b +c =1, ∴f(x)=ax+sin(x+φ) , ∴f′(x)=a+cos(x+φ) , ∵f(x)=ax+bsinx+ccosx 的图象上存在两条切线垂直,

设在 x=m 与 x=n 处的切线互相垂直, 则 k1=f′(m)=a+cos(m+φ) ,k2=f′(n)=a+cos(n+φ) , ∴k1?k2=﹣1, 即[a+cos(m+φ)][a+cos(n+φ)]=﹣1, 2 ∴关于 a 的二次方程 a +[cos(m+φ)+cos(n+φ)]a+cos(m+φ)cos(n+φ)+1=0 有实数根, 2 2 ∴△=[cos(m+φ)+cos(n+φ)] ﹣4×[cos(m+φ)cos(n+φ)+1]=[cos(m+φ)﹣cos(n+φ)] ﹣4≥0, 又∵﹣2≤cos(m+φ)﹣cos(n+φ)≤2, 2 2 ∴[cos(m+φ)﹣cos(n+φ)] ≤4,即[cos(m+φ)﹣cos(n+φ)] ﹣4≤0, 2 ∴[cos(m+φ)﹣cos(n+φ)] ﹣4=0 ∴cos(m+φ)=1,cos(n+φ)=﹣1 或者 cos(m+φ)=﹣1,cos(n+φ)=1, ∵[a+cos(m+φ)][a+cos(n+φ)]=﹣1, ∴a ﹣1=﹣1, ∴a=0, 根据基本不等式,则有 b +c =1≥2 ∴1≥2|bc|,即|bc|≤ , ∴﹣ ≤bc≤ , 又(b+c) =b +c +2bc=1+2bc, ∴0≤1+2bc≤2 ∴0≤(b+c) ≤2, ∴﹣ ≤b+c≤ , ∵a=0, ∴a+b+c=b+c, ∴a+b+c 的取值范围即为 b+c 的取值范围为[﹣ , ]. 故答案为:[﹣ , ]. 点评:本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,基本不等式在最值问题中的应用.导 数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率, 解题时要注意运用切点在曲线上和切 点在切线上. 在应用基本不等式求最值时要注意“一正、 二定、三相等”的判断.属于中档题. 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分) 15.在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 A,B,C 成等差数列. (1)若 =﹣ ,b= ,求 a+c 的值;
2 2 2 2 2 2 2

=2|bc|(当且仅当 b=c 时取等号) ,

(2)求 2sinA﹣sinC 的取值范围. 考点:余弦定理的应用;数列的应用;向量在几何中的应用. 专题:计算题. 分析: (1)通过 A,B,C 成等差数列,求得 B 的值,通过已知的向量积求得 ac 的值,代 入余弦定理即可求出 a+c. (2) 通过两角和公式对 2sinA﹣sinC, 再根据 C 的范围和余弦函数的单调性求出 2sinA﹣sinC 的取值范围.

解答: 解: (1)∵A,B,C 成等差数列, ∴B= ∵ ? . =﹣ ,

∴accos(π﹣B)=﹣ , ∴ ac= ,即 ac=3. ∵b= ,b =a +c ﹣2accosB, 2 2 2 ∴a +c ﹣ac=3,即(a+c) ﹣3ac=3. 2 ∴(a+c) =12,所以 a+c=2 . (2)2sinA﹣sinC=2sin( ∵0<C< ∴ , , ) . , ) . ﹣C)﹣sinC=2( cosC+ sinC)﹣sinC= cosC.
2 2 2

cosC∈(﹣

∴2sinA﹣sinC 的取值范围是(﹣

点评:本题主要考查了余弦定理的应用.解决本题的关键就是充分利用了余弦定理的性质.

16.已知向量 =(2sin(ωx+

) ,2) , =(2cosωx,0) (ω>0) ,函数 f(x)= ? 的图

象与直线 y=﹣2+ 的相邻两个交点之间的距离为 π. (1)求函数 f(x)在[0,2π]上的单调递增区间; (2)将函数 f(x)的图象向右平移 个单位,得到函数 y=g(x)的图象.若 y=g(x)在

[0,b](b>0)上至少含有 10 个零点,求 b 的最小值. 考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;平面向量数量积的运算;同角三角函数基本关系 的运用. 专题:三角函数的图像与性质. 分析: (1) 利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的表达式为一个角的一个 三角函数的形式,利用余弦函数的单调增区间求出函数的单调增区间,即可求函数 f(x) 在[0,2π]上的单调递增区间; (2)通过将函数 f(x)的图象向右平移 个单位,得到函数 y=g(x)的图象.求出 g(x)

的表达式,求出函数的零点在一个周期内的个数,利用 y=g(x)在[0,b](b>0)上至少含 有 10 个零点,判断 b 的位置,即可求 b 的最小值.

解答: 解: (1)函数 f(x)= ? =4sin(ωx+ +4× sin2ωx= 由题意得:T=π,ω>0,∴ 故 f(x)=2cos(2x+ ∴kπ﹣ ≤x≤kπ﹣ ) )+ ωx]cosωx=2 cos ωx﹣ = ,∴ω=1, .2kπ﹣π≤2x
2

)cosωx=[4sinωx(





≤2kπ(k∈Z) ,

(k∈Z) , 的单调递增区间为[kπ﹣ ]. ]. ],[ ]. 的图象. ,kπ﹣ ](k∈Z) .

∴y=cos(2x+

当 k=1 时,函数的单调增区间[ 当 k=2 时,函数的单调增区间[ 函数 f(x)在[0,2π]上的单调递增区间[ (2)将函数 f(x)的图象向右平移 令 g(x)=0 得,x=kπ 或 x=k

个单位,得到函数 y=g(x)=2cos2x+ ,k∈Z,

∴函数 g(x)在每个周期内恰好有两个零点, 若 y=g(x)在[0,b](b>0)上至少含有 10 个零点, 则 x 不小于第 10 个零点即可, ∴b 的最小值为 4 = .

点评:本题考查复合三角函数的单调性,三角函数的图象的平移变换,函数的零点.着重考 查余弦函数的性质,属于中档题. 17.某园林公司计划在一块以 O 为圆心,R(R 为常数,单位为米)为半径的半圆形(如图) 地上种植花草树木, 其中弓形 CMDC 区域用于观赏样板地, △ OCD 区域用于种植花木出售, 其余区域用于种植草皮出售. 已知观赏样板地的成本是每平方米 2 元, 花木的利润是每平方 米 8 元,草皮的利润是每平方米 3 元. (1)设∠COD=θ(单位:弧度) ,用 θ 表示弓形 CMDC 的面积 S 弓=f(θ) ; (2)园林公司应该怎样规划这块土地,才能使总利润最大?并求相对应的 θ. (参考公式:扇形面积公式 ,l 表示扇形的弧长)

考点:已知三角函数模型的应用问题. 专题:应用题;综合题;转化思想. 分析: (1)设∠COD=θ(单位:弧度) ,利用扇形面积减去三角形的面积,即可求出弓形 CMDC 的面积 S 弓=f(θ) ; (2)设总利润为 y 元,草皮利润为 y1 元,花木地利润为 y2,观赏样板地成本为 y3,求出 y 的表达式,利用导数确定函数的最大值,得到结果. 解答: 解: (1) , . (2)设总利润为 y 元,草皮利润为 y1 元,花木地利润为 y2,观赏样板地成本为 y3 ∴ = 设 g(θ)=5θ﹣10sinθθ∈(0,π) .g′(θ)=5﹣ 10cosθ 上为减函数; 上为增函数. 当 时,g(θ)取到最小值,此时总利润最大. 时,总利润最大. , , , . ,

答:所以当园林公司把扇形的圆心角设计成

点评: 本题是中档题, 考查三角函数的应用题中的应用, 三角函数的化简求值, 导数的应用, 考查计算能力,转化思想的应用.

18.已知函数

,g(x)=logax.如果函数 h(x)=f(x)+g(x)没有极

值点,且 h′(x)存在零点. (1)求 a 的值; (2)判断方程 f(x)+2=g(x)根的个数并说明理由; (3)设点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) (x1<x2)是函数 y=g(x)图象上的两点,平行于 AB 的切线以 P(x0,y0)为切点,求证:x1<x0<x2.

考点:利用导数研究函数的极值;函数恒成立问题. 专题:计算题;综合题. 分析: (1)因为 h′(x)存在零点,所以 h′(x)=0 有解,又因为 h(x)没有极值点,所以 在 h′(x)=0 的解的两侧函数的导数符号相同,所以对于方程 h′(x)=0,满足△ =0,就可 求出 a 的值. (2)方程 f(x)+2=g(x)可变形为 ,把方程的左右两边都看做是函数

解析式,则只需在同一坐标系中作出这两个函数的图象,图象有几个交点,则方程 f(x) +2=g(x)有几个不相等的实数根. (3)因为以 P(x0,y0)为切点的切线平行于直线 AB,所以切线斜率等于直线 AB 的斜率, 即 ,就可把

x0 用 A,B 点的横坐标 x1,x2 表示,令 数判断函数 y=t﹣1﹣lnt 的单调性,就可得到 x1<x0<x2. 解答: 解: (1)依题意

,则

,利用导



∵h(x)无极值,h′(x)存在零点 ∴x lna﹣2xlna+1=0 的△ =0, 2 即 4(lna) ﹣4lna=0,解得 a=e 或 1, ∵g(x)=logax, ∴a≠1, ∴所求的 a 的值为 e. (2)方程 f(x)+2=g(x)可变形为 在同一坐标系中作出函数 和函数 y=lnx 的图象,如右图,观察图象,有两个
2

交点, ∴方程 f(x)+2=g(x)有两个不相等的实数根. (3)由已知 ,

所以 =



得:

(t>1) .构造函数 y=t﹣1﹣lnt

当 t≥1 时,

,所以函数 y=t﹣1﹣lnt 在当 t≥1 时是增函数

所以 t>1 时,t﹣1﹣lnt>0,所以 x0﹣x1>0 得 x0>x1 成 同理可得 x0<x2 成立,所以 x1<x0<x2

点评:本题主要考查函数极值与导数的关系,以及图象法判断方程解的个数,以及借助导数 判断函数单调性的应用,属于综合题.

19. 已知 k 为给定正整数, 数列{an}满足 a1=3, 其中 Sn 是数列{an}的前 n 项和,令 bn= (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)记 Tk= ,若 Tk∈Z ,求 k 的所有可能值.
+

, .

考点:数列递推式. 专题:等差数列与等比数列.

分析: (1)由已知得{an}是首项为 3,公比为 (n∈Z ) , bn= =
+

的等比数列,由此能求出

= (n∈Z ) .
+

,由此能求出

(2)由已知得

,故

.由此能求出 k 的所有可 能值只有 1. 解答: 解: (1)∵a1=3, ,

∴n≥2 时,an=( ∴an+1﹣an=

)Sn﹣1+3, ,



an,

∴{an}是首项为 3,公比为 ∴ (n∈Z ) ,
+

的等比数列,

bn= = = =1+ ∴ . (n∈Z ) .
+

=

(2) ∴当 n≤k 时, 当 n≥k+1 时, , ,




2 + 2

. ,设 k =t(2k﹣1) (t∈Z ) ,即 k ﹣2tk+t=0 有正整数解,
2 2 +



∴△=4t ﹣4t=s (s∈Z ) , ∴(2t﹣1﹣s) (2t﹣1+s)=1, ∴t=1,故 k 的所有可能值只有 1. 点评:本题考查数列的通项公式的求法,考查满足条件的 k 的所有可能值的求法,解题时要 认真审题,注意构造法的合理运用. 20. (16 分) 已知函数 f (x) =a﹣blnx (a, b∈R) , 其图象在 x=e 处的切线方程为 x﹣ey+e=0. 函 数 g(x)= (k>0) ,h(x)= .

(Ⅰ)求实数 a、b 的值; (Ⅱ)以函数 g(x)图象上一点为圆心,2 为半径作圆 C,若圆 C 上存在两个不同的点到 原点 O 的距离为 1,求 k 的取值范围; (Ⅲ)求最大的正整数 k,对于任意的 p∈(1,+∞) ,存在实数 m、n 满足 0<m<n<p,使 得 h(p)=h(m)=g(n) . 考点:导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题:综合题;导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)x=e 时,y=2,由 f′(e)= ,f(e)=2 可得方程组,解出即可; (Ⅱ)问题即为圆 C 与以 O 为圆心 1 为半径的圆有两个交点,即两圆相交.设 , 则 , 即 , 只需保证该方程组有解即可;

(Ⅲ)易知 g(n)>g(p) ,若 h(p)=g(n) ,则对任意 p>1,有 h(p)>g(p) .当 x >1 时, ,令 ,利

用导数可求得 φ(x)在(1,+∞)上的最小值 φ(x0)=x0∈(3,4) ,从而 k≤3.可证明: 当 k=3 时, 对 0<x<1, 有( h x) <( g x) . 同时, 当 x∈ ( 0, +∞) 时, . 当

x∈(0,1)时,h(x)∈R;当 x∈(1,+∞)时,h(x)∈(0,+∞) .结合函数的图象可知, 结论成立时 k 的最大值;

解答: 解: (Ⅰ) 当 x=e 时,y=2,f′(x)=﹣ ,



,解得



(Ⅱ)问题即为圆 C 与以 O 为圆心 1 为半径的圆有两个交点,即两圆相交. 设 ,则 ,即 ,

∵ ∵ 故 (Ⅲ)显然 有解,须

,∴ ,∴

,∴ , .

必定有解;

,又 k>0,从而

在区间(1,+∞)上为减函数,

于是 g(n)>g(p) ,若 h(p)=g(n) ,则对任意 p>1,有 h(p)>g(p) . 当 x>1 时, , 令 ,



.令 ?(x)=x﹣2﹣lnx(x>1) ,则



故 ?(x)在(1,+∞)上为增函数,又 ?(3)=1﹣ln3<0,?(4)=2﹣ln4>0, 因此存在唯一正实数 x0∈(3,4) ,使 ?(x0)=x0﹣2﹣lnx0=0. 故当 x∈(1,x0)时,φ′(x)<0,φ(x)为减函数;当 x∈(x0,+∞)时,φ′(x)>0,φ (x)为增函数, 因此 φ(x)在(1,+∞)上有最小值 ,又 x0﹣2﹣lnx0=0,化

简得 φ(x0)=x0∈(3,4) ,∴k≤3. 下面证明:当 k=3 时,对 0<x<1,有 h(x)<g(x) . 当 0<x<1 时,h(x)<g(x)?3﹣2x+xlnx>0.令 ψ(x)=3﹣2x+xlnx(0<x<1) , 则 ψ′(x)=lnx﹣1<0,故 ψ(x)在(0,1)上为减函数, 于是 ψ(x)>ψ(1)=1>0. 同时,当 x∈(0,+∞)时, .

当 x∈(0,1)时,h(x)∈R;当 x∈(1,+∞)时,h(x)∈(0,+∞) . 结合函数的图象可知,对任意的正数 p,存在实数 m、n 满足 0<m<n<p,使得 h(p)=h (m)=g(n) . 综上所述,正整数 k 的最大值为 3. 点评:本题考查导数的几何意义、圆与圆的位置关系、导数的综合运用,该题综合性强,能 力要求高.

三、周日附加题卷(7) 21.选修 4﹣2:矩阵与变换 已知圆 C:x +y =1 在矩阵 求 a,b 的值. 考点:几种特殊的矩阵变换. 专题:计算题. 分析:设 P(x,y)为圆 C 上的任意一点,在矩阵 A 对应的变换下变为另一个点 P'(x',y') , 代入椭圆方程,对照圆的方程即可求出 a 和 b 的值. 解答: 解:设 P(x,y)为圆 C 上的任意一点,在矩阵 A 对应的变换下变为另一个点 P' (x',y') , 则 ,即 …
2 2

(a>0,b>0)对应的变换作用下变为椭圆

=1,

又因为点 P'(x',y')在椭圆
2 2 2

上,所以
2



由已知条件可知,x +y =1,所以 a =9,b =4. 因为 a>0,b>0, 所以 a=3,b=2. … 点评:本题主要考查了特殊矩阵的变换,同时考查了计算能力,属于基础题. 22. (极坐标与参数方程) 已知直线 l 经过点 P(2,1) ,倾斜角 ,

(Ⅰ)写出直线 l 的参数方程; (Ⅱ)设直线 l 与圆 O:ρ=2 相交于两点 A,B,求线段 AB 的长度. 考点:直线的参数方程;直线与圆的位置关系;简单曲线的极坐标方程. 专题:计算题;直线与圆. 分析: (1)设直线 l 上任意一点为 Q(x,y) ,根据直线的斜率公式与同角三角函数的商数 关系,引入参数 t 可得 y﹣1= t 且 x﹣2= t,由此即可得到直线 l 的参数方程;
2 2

(2)将圆 O 化为直角坐标下的标准方程得 x +y =4,将 l 的参数方程代入,化简整理得 .再利用一元二次方程根与系数的关系和两点间的距离公式加以计算,可 得求线段 AB 的长度. 解答: 解: (1)设直线 l 上任意一点为 Q(x,y) ,

∵直线 l 经过点 P(2,1) ,倾斜角

,∴PQ 的斜率 k=

=tan

=



因此,设 y﹣1=tsin

=

t,x﹣2=tcos

=

t,

可得直线 l 的参数方程为
2

(t 为参数) .
2 2

(2)圆 O 的方程为 ρ=2,平方得 ρ =4,即 x +y =4,
2 2

将直线 l 的参数方程

代入 x +y =4,整理得



设 A(2+ ∴

t1,1+

t1) ,B(2+ ,t1t2=1,

t2,1+

t2) ,

可得线段 AB 长为: = . 点评: 本题将直线 l 的方程化成参数方程, 并求直线被圆截得的弦长. 着重考查了参数方程、 极坐标方程与直角坐标方程的互化和直线与圆的位置关系等知识,属于中档题. 23. 某地区举办科技创新大赛, 有 50 件科技作品参赛, 大赛组委会对这 50 件作品分别从“创 新性”和“实用性”两项进行评分, 每项评分均按等级采用 5 分制, 若设“创新性”得分为 x, “实 用性”得分为 y,统计结果如下表: y 作品数量 x 实用性 1分 2分 3分 4分 5分 创 新 性 =

1分 3 0 2分 0 5 3分 1 9

1 1 1 1 7 1 2 0 3

4分 b 0 5分 0 1 (1)求“创新性为 4 分且实用性为 3 分”的概率; (2)若“实用性”得分的数学期望为 ,求 a、b 的值.

1 6 a 0 1 3

考点:离散型随机变量的期望与方差;等可能事件的概率. 专题:计算题. 分析: (1)由题意从表中可以看出,“创新性 4 分且实用性 3 分”的作品数量 6 件,利用古典 概型可知创新性 4 分且实用性 3 分”的概率值; (2)由题意及图表可知“实用性”得 y1 分,2 分,3 分,4 分 5 分,五个等级,且每个等级 分别 5 件,b+4 件,15 件,15 件,a+8 件,利用古典概型求出每一个值对应的事件的概率, 利用分布列及期望定义即可求得. 解答: 解: (1)从表中可以看出,“创新性 4 分且实用性 3 分”的作品数量 6 件, ∴“创新性 4 分且实用性 3 分”的概率 .

(2)由表可知“实用性”得 y1 分,2 分,3 分,4 分 5 分,五个等级, 且每个等级分别 5 件,b+4 件,15 件,15 件,a+8 件. ∴“实用性”得 y 的分布列为: y 1 2 3 4 5 P 又∵“实用性”得分的数学期望 ∴ + , .

∵作品数量共 50 件,a+b=3 解 a=1,b=2. 点评:此题考查了古典概型随机事件的概率公式,离散型随机变量的定义及其分布列,随机 变量的期望,还考查了学生的理解与计算能力. 24.把所有正整数按上小下大,左小右大的原则排成如图所示的数表,其中第 i 行共有 2 个正整数,设 aij(i,j∈N*)表示位于这个数表中从上往下数第 i 行,从左往右第 j 个数. (Ⅰ)若 aij=2013,求 i 和 j 的值; (Ⅱ)记 An=a11+a22+a33+…+ann(n∈N*) ,求证:当 n≥4 时,An>n +C
2 i﹣1



考点:数列的求和;等差数列的通项公式. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由数表中前 i﹣1 行共有 1+2 +2 +…+2 是2
i﹣1 1 2 i﹣2

=2
11

i﹣1

﹣1 个数,可知第 i 行的第一个数

,因此

,由于 2 <2013<2 ,aij=2013,于是 i﹣1=10,即可得出

10

i,进而得到 j. (Ⅱ)利用(I) ,可得 ,利用等差数列和

等比数列的前 n 项和公式可得 An,再利用二项式定理可证明. 1 2 i﹣2 i﹣1 解答: 解: (Ⅰ)∵数表中前 i﹣1 行共有 1+2 +2 +…+2 =2 ﹣1 个数, 则第 i 行的第一个数是 2
10 11 i﹣1

,∴



∵2 <2013<2 ,aij=2013,则 i﹣1=10,即 i=11. 10 10 令 2 +j﹣1=2013,则 j=2013﹣2 +1=990. (Ⅱ)∵ ∴ 当 n≥4 时, = ∴当 n≥4 时,An>n +C
2

,∴ =

, ,





点评: 本题考查了等差数列与等比数列的前 n 项和公式、 二项式定理等基础知识与基本技能 方法,属于难题.



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