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数列求和的基本方法和技巧(例题与答案)


数列求和的基本方法与技巧
一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式: S n ?
n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

(q ? 1) ? na1 ? n 2、等比数列求和公式: S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? (q ? 1) ? 1? q ? 1? q
例 1、已知 log3 x ? 解:由 log3 x ?
?1 ,求 x ? x 2 ? x3 ? ? ? ? ? x n ? ? ? ? 的前 n 项和. log2 3

?1 1 ? log3 x ? ? log3 2 ? x ? log2 3 2

由等比数列求和公式得 S n ? x ? x 2 ? x 3 ? ? ? ? ? x n (利用常用公式)

1 1 (1 ? n ) x (1 ? x n ) 2 =1- 1 = =2 1 2n 1? x 1? 2
练习:求 ?12 ? 22 ? 32 ? 42 ? 52 ? 62 ? ... ? 992 ? 1002 的和。 解: ?12 ? 22 ? 32 ? 42 ? 52 ? 62 ? ? ? 992 ? 1002
? ? 22 ? 12 ? ? ? 42 ? 32 ? ? ? 62 ? 52 ? ? ? ? ?1002 ? 992 ?

? ? 2 ?1?? 2 ?1? ? ? 4 ? 3?? 4 ? 3? ? ?6 ? 5??6 ? 5? ? ??100 ? 99??100 ? 99?
? 3 ? 7 ? 11 ? ?+199

由等差数列的求和公式得 S50= 二、错位相减法求和

50 ? 3+199 ? =5050 2

这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法, 这种方法主要用于求数列 {an· bn}的前 n 项和,其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.

例 2 求和: S n ? 1 ? 3x ? 5x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n?1 ………………………① 解:由题可知,{ (2n ? 1) x n?1 }的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数列{ x n ?1 }的通 项之积

设 xSn ? 1x ? 3x 2 ? 5x 3 ? 7 x 4 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n ……………………….②(设制错位) ①-②得 (1 ? x)S n ? 1 ? 2x ? 2x 2 ? 2x 3 ? 2x 4 ? ? ? ? ? 2x n?1 ? (2n ? 1) x n (错位相减) 再利用等比数列的求和公式得: (1 ? x) S n ? 1 ? 2 x ? ∴ Sn ?
1 ? x n ?1 ? (2n ? 1) x n 1? x

(2n ? 1) x n?1 ? (2n ? 1) x n ? (1 ? x) (1 ? x) 2

2 4 6 2n 练习:求数列 , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和. 2 2 2 2

解:由题可知,{ 设 Sn ?
1 Sn ? 2

2n 1 }的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{ n }的通项之积 n 2 2

2 4 6 2n ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n …………………………………① 2 2 2 2
2 4 6 2n ? 3 ? 4 ? ??? ? n ?1 ………………………………② 2 2 2 2 2

①-②得
1 2 2 2 2 2 2n (1 ? ) S n ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ? n ?1 (错位相减) 2 2 2 2 2 2 2

? 2?

1 2
n ?1

?

2n 2 n ?1

∴ Sn ? 4 ?

n?2 2 n ?1

三、倒序相加法求和 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(倒 序) ,再把它与原数列相加,就可以得到 n 个 (a1 ? an ) . 例 3 求 sin 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ? ? ? ? sin 2 88? ? sin 2 89? 的值 解:设 S ? sin 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ? ? ? ? sin 2 88? ? sin 2 89? ………….① 将①式右边倒序得
S ? sin 2 89? ? sin 2 88? ? ? ? ? ? sin 2 3? ? sin 2 2? ? sin 2 1? …………..②(倒序)

又因为 sin x ? cos(90? ? x),sin 2 x ? cos2 x ? 1 ①+②得(倒序相加)

2S ? (sin 2 1? ? cos2 1? ) ? (sin 2 2? ? cos2 2? ) ? ? ? ? ? (sin 2 89? ? cos2 89? ) =89

∴S=44.5 四、分组法求和 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几 个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.

? n 1 ? ? 1? ? 2 1 ? ? ? ? 例 4、求和: ? ? x ? ? x ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? x ? yn ? ? ?x ? 0, x ? 1, y ? 1? y y ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 ? 解:原式= x ? x 2 ? x 3 ? ? ? x n ? ? ? y ? y2 ??? yn ? ? ? ?

?

?

=

x 1? xn 1? x

?

?

1? 1 ? ? 1? n ? ? n ?1 n y? y ? ? = x ? x ? y ?1 ? 1 1? x y n?1 ? y n 1? y
1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? 3n ? 2 ,… a a a

练习:求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

1 1 1 解:设 S n ? (1 ? 1) ? ( ? 4) ? ( 2 ? 7) ? ? ? ? ? ( n ?1 ? 3n ? 2) a a a

将其每一项拆开再重新组合得
S n ? (1 ? 1 1 1 ? 2 ? ? ? ? ? n ?1 ) ? (1 ? 4 ? 7 ? ? ? ? ? 3n ? 2) (分组) a a a
(3n ? 1)n (3n ? 1)n = (分组求和) 2 2

当 a=1 时, S n ? n ?

1 1? n a n ? (3n ? 1)n = a ? a ? (3n ? 1)n 当 a ? 1 时, S n ? 1 a ?1 2 2 1? a 1?
练习:求数列 1 , 2 , 3 , ? ? ?, ( n ? 解:
1 2 1 4 1 8 1 ), ? ? ? 的前 n 项和。 2n

1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? (n ? n ) 2 4 8 2 1 1 1 1 ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n) ? ( ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n ) 2 2 2 2 1 1 ? n( n ? 1) ? 1 ? n 2 2 Sn ? 1

五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项(通 项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.通项分解(裂项) 如: 例 5 求数列 解:设 a n ? 则 Sn ?
1 1? 2 1 1? 2 1 n ? n ?1 ? 1 2? 3 , 1 2? 3 ,? ? ?, 1 n ? n ?1 ,? ? ? 的前 n 项和.

? n ? 1 ? n (裂项) ? ??? ? 1 n ? n ?1

(裂项求和)

= ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2 ) ? ? ? ? ? ( n ? 1 ? n ) = n ? 1 ?1

1 1 1 1 练习: 求 、 、 、 的和 3 15 35 63
解: 3 ? 15 ? 35 ? 63 ? 1 ? 3 ? 3 ? 5 ? 5 ? 7 ? 7 ? 9
1 2 1 ? 2 1 ? 2 ? 1 1 1 1 1 )? ( ? )? 3 2 3 5 2 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? 3 3 5 5 ? 1 4 (1 ? ) ? 9 9 (1 ? ( 1 1 1 1 1 ? )? ( ? ) 5 7 2 7 9 1 1 1 ? ? ) ? ( ? )? 7 7 9 ? 1 1 1 1 1 1 1 1

六、并项求和 针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列 的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求 Sn. 例 6、数列{an}: a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 2, an?2 ? an?1 ? an ,求 S2002. 解:设 S2002= a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? a2002 由 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 2, an?2 ? an?1 ? an 可得

a4 ? ?1, a5 ? ?3, a6 ? ?2, a7 ? 1, a8 ? 3, a9 ? 2, a10 ? ?1, a11 ? ?3, a12 ? ?2,
……

a6k ?1 ? 1, a6k ?2 ? 3, a6k ?3 ? 2, a6k ?4 ? ?1, a6k ?5 ? ?3, a6k ?6 ? ?2
∵ a6k ?1 ? a6k ?2 ? a6k ?3 ? a6k ?4 ? a6k ?5 ? a6k ?6 ? 0 (找特殊性质项) ∴S2002= a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? a2002 (合并求和) = (a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ?a6 ) ? (a7 ? a8 ? ? ? ?a12 ) ? ? ? ? ? (a6k ?1 ? a6k ?2 ? ? ? ? ? a6k ?6 )

? ? ? ? ? (a1993 ? a1994 ? ? ? ? ? a1998 ) ? a1999 ? a2000 ? a2001 ? a2002
= a1999 ? a2000 ? a2001 ? a2002 = a6k ?1 ? a6k ?2 ? a6k ?3 ? a6k ?4 =5 练习: 在各项均为正数的等比数列中,若 a5 a6 ? 9, 求 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? ? ? log3 a10 的值. 解:设 S n ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? ? ? log3 a10 由等比数列的性质 m ? n ? p ? q ? aman ? a p aq (找特殊性质项) 和对数的运算性质 loga M ? loga N ? loga M ? N 得

S n ? (log3 a1 ? log3 a10 ) ? (log3 a2 ? log3 a9 ) ? ? ? ? ? (log3 a5 ? log3 a6 ) (合并求和)
= (log3 a1 ? a10 ) ? (log3 a2 ? a9 ) ? ? ? ? ? (log3 a5 ? a6 ) = log3 9 ? log3 9 ? ? ? ? ? log3 9 =10 七、利用数列的通项求和 先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通 项揭示的规律来求数列的前 n 项和,是一个重要的方法. 例 7、求 5,55,555,…,的前 n 项和。

解:∵an=59(10n-1) ∴Sn=59(10-1)+59(102-1)+59(103-1)+…+59(10n-1) =59[(10+102+103+……+10n)-n]
n+1 =(10 -9n-10)

练习:求数列:1,





的前 n 项和。

解:

2、 3、 4、= =


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