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2014年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学(理科)


2014 年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知 i 为虚数单位, a ? R ,若 (a ? 1)(a ? 1 ? i) 是纯虚数,则 a 的值为 A. -1 或 1 B. 1 C. -1 D. 3

? 2.若 p:?= +k?,k∈Z, q: f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0) 是偶函数,则 p 是 q 的 2 A.充要条件
1

B. 充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

3. 已知 a ? 32 , b ? log 1
3

1 1 , c ? log 2 ,则 2 3
B. b ? c ? a C. c ? b ? a D. b ? a ? c

A. a ? b ? c

4.登山族为了了解某山高 y (km)与气温 x (°C)之间的关系,随机统计了 4 次山高与相应的气温,并制 作了对照表: 气温( C) 山高 (km)
0

18 24

13 34

10 38

-1 64

A. -10

B. -8

C. -6

D. -4

5.已知等差数列 {an } ,且 3(a3 ? a5 ) ? 2(a7 ? a10 ? a13 ) ? 48 ,则数列 {an } 的前 13 项之和为 A. 24 B. 39 C. 52 D. 104

6. 执行右面的程序框图,若输出的结果为 3,则可输入的实数 x 值的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

7. 曲线 f ( x) ? e x (其中 e 为自然对数的底数)在点(0, 1)处的切线与直线

y ? ? x ? 3 和 x 轴所围成的区域 D(包含边界) ,点 P( x, y) 为区域 D 内
的动点,则 z ? x ? 3 y 的最大值为 A. 3 B. 4 C. -1 D. 2

8.三棱锥 S-ABC 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示,则棱 SB 的长为 A. 2 11 C. 38 B. 4 2 D. 16 3
4

S

9. 在?ABC 中,角 A、B、C 所对的边长分别为

a, b, c , 且满足 c sin A ? 3a cos C ,则
sinA+sinB 的最大值是

A B

C

2 正视图

2

2 3 侧视图

1

A.

1

B.

2

C. 3

D.

3

10. 双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1,F2,渐近线分别为 l1 , l2 ,点 P 在第一象限内 a 2 b2

且在 l1 上,若 l2 ⊥PF1, l2 ∥PF2,则该双曲线的离心率为

A.

5

B. 2

C.

3

D.

2

11.设直线 l 与曲线 f ( x) ? x3 ? 2 x ? 1有三个不同的交点 A、B、C, 且|AB|=|BC|= 10 ,则直线 l 的方程为 A. y ? 5x ? 1 12.设 max{ f ( x), g ( x) }= ? B. y ? 4 x ? 1 C y ? 3x ? 1 D. y ? 3x ? 1

? g ( x), f ( x) ? g ( x), 若函数 h( x) ? x2 ? px ? q( p, q ? R) 的图象经过不同的两 ? f ( x), f ( x) ? g ( x),

( ? , 0) ,且存在整数 n,使得 n<?<?<n+1 成立,则 点 (? , 0)、
A. max{h(n),h(n+1)}>1 1 C. max{h(n),h(n+1)}> 2 B. max{h(n),h(n+1)}<1 1 D. max{h(n),h(n+1)}< 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 1 1 2 13. ? ( 1 ? x ? x) d x = 0 2
14. 在三棱锥 P-ABC 中,侧棱 PA,PB,PC 两两垂直,Q 为底面 ABC 内一点,若点 Q 到三个侧面的距离分别为 3、4、5,则过点 P 和 Q 的所有球中,表面积最小的球的表面积为______ 15.已知函数 f ( x) ? cos( 或大于 6 的概率为
2 2 2 2 16.若实数 a ,b, c, d 满足 b ? a ? 3ln a ? (c ? d ? 2) ? 0 ,则 (a ? c) ? (b ? d ) 的最小值为_______

a? x), a 为抛掷一颗骰子得到的点数,则函数 f ( x) 在[0, 4]上零点的个数小于 5 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知 {an } 是各项均为正数的等比数列,且 a1 ? a2 ? 2, a3 ? a4 ? 32. (I)求数列 {an } 的通项公式; (II)设数列 {bn } 满足

bn b1 b2 b3 + + +L + = an+ 1 - 1(n 1 3 5 2n - 1

N * ) ,求数列 {bn } 的前 n 项 和.

2

18. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB⊥AC,顶点 A1 在底面 ABC 上的射影恰为点 B ,且 AB=AC=A1B=2. (Ⅰ)证明:平面 A1 AC ? 平面 AB1B ; (Ⅱ)若点 P 为 B1C1 的中点,求出二面角 P ? AB ? A1 的余弦值.

C1 P B1

A1

C B

A

19.(本小题满分 12 分) 现有甲、乙、丙三人参加某电视台的应聘节目?非你莫属?,若甲应聘成功的概率为 t 功的概率均为 (0<t<2),且三个人是否应聘成功是相互独立的. 2 (Ⅰ)若乙、丙有且只有一个人应聘成功的概率等于甲应聘成功是相互独立的,求 t 的值; (Ⅱ)记应聘成功的人数为ξ ,若当且仅当ξ 为 2 时概率最大,求 E(ξ )的取值范围. 1 ,乙、丙应聘成 2

20. (本小题满分 12 分)

x2 y 2 3 椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,过其右焦点 F 与长轴垂直的弦长为 1. 2 a b
(I)求椭圆 C 的方程; (II)设椭圆 C 的左,右顶点分别为 A,B ,点 P 是直线 x ? 1 上的动点,直线 PA 与椭圆的另一交点为 M, 直线 PB 与椭圆的另一交点为 N,求证:直线 MN 经过一定点.

3

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? 2)ln( x ? 1) ? ax2 ? x(a ? R), g ( x) ? ln( x ? 1) . (I)若 a =0, F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求函数 F ( x) 的极值点及相应的极值; (II)若对于任意 x2 ? 0 ,存在 x1 满足 x1 ? x2 且 g ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,求 a 的取值范围.

请考生在第 22?24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 已知⊙O1 和⊙O2 相交于 A,B 两点,过 A 点作⊙O1 的切线交⊙O2 于点 E,连接 EB 并延长交⊙O1 于点 C, 直线 CA 交⊙O2 于点 D. 2 (Ⅰ) 当点 D 与点 A 不重合时(如图①),证明 ED =EB·EC; (II) 当点 D 与点 A 重合时(如图②),若 BC=2,BE=6,求⊙O2 的直径长.

A

D
A

C

O1 B
图①

O2 E
C

O1 E
图②

O2
O2

23. (本小题_分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,曲线 C1 的参数方程为: ?

? ? x ? 2 cos ? , (?为参数) ,以原点为极点,x 轴的正半轴 ? ? y ? 2 sin ? ,

为极轴,并取与直角坐标系相同的长度单位,建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为: ? ? cos ? . (I)求曲线 C2 的直角坐标方程; (II)若 P,Q 分别是曲线 C1 和 C2 上的任意一点,求|PQ|的最小值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? ax ? 2 ? ax ? a (a ? 0) . (I)当 a =1 时,求 f ( x) ? x 的解集; (II )若不存在实数 x ,使 f ( x ) <3 成立,求 a 的取值范围.

4

2014 年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试 (数学理科答案)
一、选择题: A 卷答案:1---5CAACC B 卷答案:1---5DAADD 6---10CABDB 6---10DABCB 11-12DB 11-12CB

11.提示:曲线 f ( x) ? x3 ? 2 x ? 1关于(0,1)中心对称. 12.提示:函数图象不随 p, q 的变化而变化. 二、填空题: 13.

? ?1 4

14. 50?

15.

5 6
2

16. 8

16.提示:可转化为 y ? 3 ln x ? x 上的动点与直线 y ? x ? 2 上动点的问题. 三、解答题: (解答题按步骤给分,本答案只给出一或两种答案,学生除标准答案的其他解法,参照标准 酌情设定,且只给整数分) (Ⅰ)设等比数列 {an }的公比为 q ,由已知得 ? í 17.解:

ì ? a12 q = 2, ……………2 分 2 5 ? a q = 32 , ? 1 ?

又∵ a1 > 0 , q > 0 ,解得 ? í

ì a1 = 1 , ? ? ? ? q = 2,

………………3 分

∴ an = 2n- 1 ;…………………5 分 (Ⅱ)由题意可得

bn b1 b2 b3 + + +L + = 2n - 1 , 1 3 5 2n - 1

2 n ?1 ? 1 ?
两式相减得

bn ? 2n ? 1 , 2n ? 1

( n ? 2)

bn = 2n- 1 , 2n - 1

∴ bn ? (2n ? 1)2n?1 , ( n ? 2 )……………………7 分 当 n = 1 时, b1 = 1 ,符合上式, ∴ bn = (2n - 1) 2 设 Tn = 1+ 3?2
1 n- 1
* , ( n ? N )…………………………8 分

5?22 L + (2n - 1) 2n- 1 , 5?23 L + (2n - 3)?2n- 1 (2n - 1) 2n ,………………10 分
- (2n - 3)?2n 3,

2Tn = 1?2 3?22
两式相减得

- Tn = 1 + 2 (2 + 22 + L + 2n- 1 )- (2n - 1)?2n
5

∴ Tn = (2n - 3)2 + 3 .…………………12 分(整理结果正确即可,不拘泥于形式)
n

18. (本小题满分 12 分) 如图, 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,AB ? AC , 顶点 A1 在底面 ABC 上的射影恰为点 B ,AB ? AC ? A1B ? 2 . (Ⅰ)证明:平面 A1 AC ? 平面 AB1B ; (Ⅱ)若点 P 为 B1C1 的中点,求出二面角 P ? AB ? A1 的余弦值. 证明: (Ⅰ)由题意得: A1B ? 面 ABC , ∴ A1B ? AC , 又 AB ? AC , AB ? A1B ? B ∴ AC ? 面 AB1B , ∵ AC ? 面 A 1 AC , ∴平面 A1 AC ? 平面 AB1B ; ------3 分 ------5 分 ------2 分

(Ⅱ)解法 1:以 A 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A(0,0,0), B(0, 2,0), B1 (0, 4, 2) C1 (2,2,2) 因为 P 为棱 B1C1 的中点,故易求得 P ?1 ,, 3 2? .

??? ? ??? ? AB ? (0, 2,0), AP ? (1,3, 2) 设平面 PAB 的法向量为 n1 ? ( x, y, z), ??? ? ? ? AB ? n1 ? 0, ? x ? 3 y ? 2 z ? 0 则 ? ??? 得? ? 2y ? 0 ? ? AP ? n1 ? 0, ?
n1 ? (? 2 , 0 , 1 ) , 而平面 ABA1 的法向量 n2 ? (1,0,0),
令 z ? 1 ,则

------6 分

z
C1 B1 A1

------8 分 ------9 分 ------11 分
y x
C B A

n ?n 2 2 5 则 cos n1 , n2 ? 1 2 ? ? ?? n1 | n2 | 5 5
由图可知二面角 P ? AB ? A1 为锐角, 故二面角 P ? AB ? A1 的平面角的余弦值是

2 5 . ------12 分 5 解法 2:过 P 做 PP1//A1B1 交 A1C1 的中点于 P1,由(Ⅰ)可
P1A1 ? 平面A1 AB , 连 接 P1B, 则 ?P 1 BA 1 为 二 面 角 的平面角, ------8 分 ,


P ? AB ? A1

在 Rt?P , A1 B ? 2, P 1 BA 1 中 , P 1A 1 ?1 1B ? 5

cos?P1 BA1 ?

A1 B 2 2 5 , ? ? P1 B 5 5
5

故二面角 P ? AB ? A1 的平面角的余弦值是 2 5

------12 分

19.解: (Ⅰ)由题意得 2 ?

t t 1 ? (1 ? ) ? ,解得 t ? 1 .……………3 分 2 2 2

(Ⅱ) ? 的所有可能取值为 0,1,2,3
6

1 t t (2 ? t ) 2 ; P(? ? 0) ? (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? 2 2 2 8 P(? ? 1) ? 1 t t 1 t t 4 ? t2 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 2 ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? ; 2 2 2 2 2 2 8

1 t t 1 t t 4t ? t 2 P(? ? 2) ? 2 ? ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? ? ; 2 2 2 2 2 2 8 1 t t t2 P(? ? 3) ? ? ? ? . 2 2 2 8
故 ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

(2 ? t ) 2 8

4 ? t2 8

4t ? t 2 8

t2 8

……………………7 分

? E? ? t ?

1 .…………………8 分 2

由 题 意 得 :

P(? ?

2 ?P ) ? ? (?

t ?1 1 ?) 2



P(?0? 2) ? P(? ? 0) ?

?t 2 ? 4t ? 2 ?0 , 4

2t ? t 2 P(? ? 2) ? P(? ? 3) ? ? 0 ,又因为 0 ? t ? 2 4
所以解得 t 的取值范围是 1 ? t ? 2 .…………………11 分

?

3 5 ? E? ? 2 2 .…………………12 分

20.解:

y

M

c 3 (Ⅰ)依题意 e ? ? a 2

P

N

过焦点F与长轴垂直的直线x=c与椭圆

x y ? ?1 a2 b2

2

2

A

B

x

联立解答弦长为

2b 2 =1,……………2 分 a

x2 ? y2 ? 1 所以椭圆的方程 4 .………………4 分
(Ⅱ)设P(1,t)
7

k PA ?

t ?0 t t ? 直线 l PA : y ? ( x ? 2) 1? 2 3 , 3 ,联立得:

t ? y ? ( x ? 2), ? ? 3 ? 2 ? x ? y 2 ? 1. ? ?4


?4t

2

? 9 x 2 ? 16t 2 x ? 16t 2 ? 36 ? 0 ,


?

16t 2 ? 36 18 ? 8t 2 , x ? 可知 ?2 xM ? 所以 M 4t 2 ? 9 4t 2 ? 9
? 18 ? 8t 2 x ? , ? ? M 4t 2 ? 9 则? ……………………6 分 ? y ? 12t . M ? 4t 2 ? 9 ? ? 8t 2 ? 2 x ? , ? ? N 4t 2 ? 1 同理得到 ? ? y ? 4t . N ? 4t 2 ? 1 ………………8 分 ?
由椭圆的对称性可知这样的定点在 x 轴, 不妨设这个定点为Q 又

?m,0?,………………10-分
4t 4t 2 ? 1 ? 2 8t ? 2 ?m 4t 2 ? 1


k MQ

12t 2 9 ? 4t ? 2 18 ? 8t ?m 4t 2 ? 9
,?



k NQ



kMQ ? kNQ

8m ? 32? t 2 ? 6m ? 24 ? 0

m ? 4 .……………12 分

21.解:(Ⅰ) F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ? x ?1? ln( x ?1) ? x ,

F ' ( x) ? ln( x ? 1) ,
x ? (?1, 0) F ' ( x) ? 0, F ( x) 为减函数;

x ? (0, ??), F ' ( x) ? 0, F ( x) 为增函数,
所以 F ( x) 只有一个极小值点 x ? 0 ,极小值为 0.……………………4 分 (Ⅱ) 设 G ( x) ? ln( x ? 1) ? f ( x2 ) ? ln( x ? 1) ? ? ?? x2 ? 2 ? ln( x2 ? 1) ? ax2 ? x2 ? ?
2

8

依题意即求

G ( x) 在 (?1, x2 ) 上存在零点时 a 的取值范围.

又当 x ? ?1 时, G( x) ? ?? ,且 G ( x) 在定义域内单调递增, 所以只需要 G( x2 ) ? 0 在 ? 0, ?? ? 即 即 上恒成立. 上恒成立.

2 ln( x2 ? 1) ? ? ?? x2 ? 2 ? ln( x2 ? 1) ? ax2 ? x2 ? ? ? 0 ,在 ? 0, ?? ?

? x2 ?1? ln( x2 ?1) ? ax22 ? x2 ? 0 ,在 ? 0, ?? ? 上恒成立.…………7 分

10 若 a ? 0 ,显然不成立,因为由第一问知 F ( x) ? ( x ? 1) ln(x ? 1) ? x 在 (0,??) 为增函数,
故 F ( x) ? F (0) ? 0

20 ? x ? 1 ? 0 ,即 ln( x ? 1) ?

ax 2 ? x ? 0 在 ? 0, ?? ? 恒成立, x ?1

不妨设 h( x) ? ln( x ? 1) ?

ax 2 ? x , x ? ? 0, ??? x ?1

h ' ( x) ?

x(?ax ? 1 ? 2a) , x ? (0,??) , ( x ? 1) 2 x(?ax ? 1 ? 2a) 1 ? 2a ,…………………9 分 ? 0, x1 ? 0, x2 ? 2 a ( x ? 1)

h ' ( x) ?

1 ? 2a ? 0 ,若 x ? 0 , h' ( x) ? 0 ,所以 h( x) 为增函数, h( x) ? h(0) ? 0 (不合题意), a 1 1 ? 2a ) , h' ( x) ? 0 , h( x) 为增函数, h( x) ? h(0) ? 0 (不合题意), 若 0 ? a ? ,若 x ? (0, 2 a 1 若 a ? ,若 x ? (0, ??) , h' ( x) ? 0 , h( x) 为减函数, h( x) ? h(0) ? 0 (符合题意), 2
若 a ? 0 ,则 x 2 ? 综上所述,若 x ? 0 时, h( x) ? 0 f ( x) ? 0 恒成立, 则a ?

1 .……………………………12 分 2

22.解:(Ⅰ)连接 AB,在 EA 的延长线上取点 F,如图①所示. ∵AE 是⊙O1 的切线,切点为 A, ∴∠FAC=∠ABC,.……………1 分 ∵∠FAC=∠DAE, ∴∠ABC=∠DAE,∵∠ABC 是⊙O2 内接四边形 ABED 的外角, ∴∠ABC=∠ADE,……………2 分 ∴∠DAE=∠ADE.………………3 分
9

∴EA=ED,∵ EA ? EB ? EC ,
2

∴ ED

2

? EB ? EC .………………5 分

(Ⅱ)当点 D 与点 A 重合时,直线 CA 与⊙O2 只有一个公共点, 所以直线 CA 与⊙O2 相切.……………6 分 如图②所示,由弦切角定理知:

?PAC ? ?ABC ?MAE ? ?ABE 又?PAC ? ?MAE 1 因?ABC ? ?ABE ? ? 180? 2
∴AC 与 AE 分别为⊙O1 和⊙O2 的直径.…………8 分 ∴由切割线定理知:EA2=BE· CE,而 CB=2,BE=6,CE=8 ∴EA =6×8=48,AE= 4 3 .故⊙O2 的直径为 4 3 .………………10 分 23.解: (Ⅰ)? ? ? cos? ,
2

M P O1 C B
图(2)

A O2 E

? 2 ? ? cos ? …………………2 分
x2 ? y2 ? x 1? 1 ? 2 ?x? ? ? y ? 2? 4 ?
2

.…………………4 分

(Ⅱ)设 P( 2 cos? , 2 sin ? ), C 2 ( ,0)

1 2

1? ? PC2 ? ? 2 cos ? ? ? ? 2? ?

2

?

2 sin ?

?

2

1 ? 4 cos 2 ? ? 2 cos ? ? ? 2sin 2 ? 4 ? 2 cos 2 ? ? 2 cos ? ?
…………………6 分

9 4

? cos ? ?

1 , , PC2 2

min

?

7 ,…………………8 分 2

PQ min ?

7 ?1 .……………………10 分 2

24.解:(Ⅰ)当 a=1 时,
10

f ( x) ? x ? 2 ? x ?1 ? x

当x ? 2时 ,解得 x ? 3 ;
当 1 ? x ? 2 时,解得 x ? 1 ,? 无解

当x ? 1时 ,解得 x ? 1 ;……………………………3 分
综上可得到解集 {x x (Ⅱ)依题意, 则

? 1或x ? 3}

.……………………5 分

对?x ? R, 都有f ( x) ? 3 ,
,……………8 分

f ( x) ? ax ? 2 ? ax ? a ? ?ax ? 2? ? ?ax ? a? ? a ? 2 ? 3

a ? 2 ? 3或a ? 2 ? ?3

? a ? 5或a ? ?1(舍) , 所以 a ? 5. …………………10 分

11


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