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2014年石家庄一模数学(文科)试卷与答案



2014 年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷 数学(文科)A 卷
(时间 120 分钟,满分 150 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知 i 为虚数单位, a ? R ,若 (a ? 1)(a ? 1 ? i) 是纯虚数,则 a 的值为 A. -1 或 1 B. 1 C. -1

D. 3

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8.三棱锥 S-ABC 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示,则棱 SB 的长为 A. 2 11 B. 4 2
S

C.

38

D. 16 3

4

A B

C

2 正视图

2

2 3 侧视图

2. 设不等式 x2 ? x ? 0 的解集为 M, 函数 f ( x) ? lg(1? x ) 的定义域为 N,则 M∩N= B. [0, 1) C.(0,1) D. [0.1] ? 3.函数 f ( x) ? tan(2 x ? ) 的单调递增区间是 3 k? ? k? 5? k? ? k? 5? ? ](k ? Z ) ? )(k ? Z ) A. [ ? , B. ( ? , 2 12 2 12 2 12 2 12 ? 2? ? 5? C. (k? ? , k? ? )(k ? Z ) D. [k? ? , k? ? ](k ? Z ) 6 3 12 12 4. 已知 a ? 32 , b ? log 1
3 1

A. (-1, 0]

9. 在?ABC 中,角 A、B、C 所对的边长分别为 a, b, c 且满足 c sin A ? 3a cos C ,则 sinA+sinB 的最大值是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 3

10. 双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1,F2,渐近线分别为 l1 , l2 , a 2 b2

1 1 , c ? log 2 ,则 2 3
C. c ? b ? a D. b ? a ? c

点 P 在第一象限内且在 l1 上,若 l2 ⊥PF1, l2 ∥PF2,则该双曲线的离心率为 A. 5 B. 2 C. 3 D.
f (5) ?

A. a ? b ? c

B. b ? c ? a

2

5. 登山族为了了解某山高 y (km)与气温 x (°C)之间的关系, 随机统计了 4 次山高与相应的气温,并制作了对照表:
气温( C) 山高 (km)
0

11. 已知 f ( x) 是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数,若 f (1) ? 1, 实数 a 的取值范围为 A. ?1 ? a ? 4 C. ?1 ? a ? 0 B. ?2 ? a ? 1 D. ?1 ? a ? 2

2a ? 3 ,则 a ?1

18 24

13 34

10 38

-1 64

12.设直线 l 与曲线 f ( x) ? x3 ? 2x ? 1有三个不同的交点 A、B、C, 且|AB|=|BC|= 10 , 则直线 l 的方程为 A. y ? 5x ? 1 C y ? 3x ? 1 B. y ? 4 x ? 1 D. y ? 3x ? 1

由表中数据,得到线性回归方程 y ? ?2 x ? a (a ? R)

?

? ?

A. -10

B. -8

C. -6

D. -4

6.已知等差数列 {an } ,且 3(a3 ? a5 ) ? 2(a7 ? a10 ? a13 ) ? 48 ,则数列 {an } 的前 13 项之和 为 A. 24 B. 39 C. 52 D. 104 7. 执行右面的程序框图,若输出的结果为 3,则可输入的实数 x 值的个数为

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 抛物线 y ? ?4 x 2 的焦点坐标为

3 x2 y 2 椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,过其右焦点 F 与长轴垂直的弦长为 1. 2 a b (I)求椭圆 C 的方程; (II)设椭圆 C 的左,右顶点分别为 A,B ,点 P 是直线 x ? 1 上的动点,直线 PA 与椭圆的另一 交点为 M,直线 PB 与椭圆的另一交点为 N,求证:直线 MN 经过一定点. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x ? ( x ? 1)(ax ? a ? 1)(a ? R) . (I)若 a =0,判断函数 f ( x ) 的单调性; (II)若 x ? 1 时, f ( x ) <0 恒成立,求 a 的取值范围. 请考生在第 22?24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 已知⊙O1 和⊙O2 相交于 A,B 两点,过 A 点作⊙O1 的切线交⊙O2 于点 E,连接 EB 并延长交⊙ O1 于点 C,直线 CA 交⊙O2 于点 D. D 2 (Ⅰ) 当点 D 与点 A 不重合时(如图①),证明 ED =EB·EC; A (II) 当点 D 与点 A 重合时(如图②),若 BC=2,BE=6,求⊙O2 的直径长. O2 O1 C 23. (本小题_分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? ?x≥0 14. 若 x, y 满足约束条件?x+2y≥3, 则 z ? x ? y 的最大值是 ?2x+y≤3 ?
15. 在三棱锥 P-ABC 中,侧棱 PA,PB,PC 两两垂直,PA=1,PB=2,PC=3,则三棱锥的外接球的表 面积为______ 16. 已知 O 为锐角?ABC 的外心,AB=6,AC=10, AO ? xAB ? yAC ,且 2 x ? 10 y ? 5 ,则边 BC 的长为 _______ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知 {an } 是各项均为正数的等比数列,且 a1 ? a2 ? 2, a3 ? a4 ? 32. (I)求数列 {an } 的通项公式; (II)设数列 {bn } 的前 n 项为 Sn = n2 (n ? n ) ,求数列 {an ?b n } 的前 n 项和.
*

18. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB⊥AC, 顶 点 A1 在 底 面 ABC 上 的 射 影 恰 为 点 B , 且 AB=AC=A1B=2. (Ⅰ)证明:平面 A1 AC ? 平面 AB1B ; (Ⅱ) 若点 P 为 B1C1 的中点, 求三棱锥 P ? ABC 与四棱锥 P ? AA 1B 1A 1 的体积之比. 19.(本小题满分 12 分) 某城市要建成宜商、宜居的国际化新城,该城市的东城区、 西城区分别引进 8 个厂家, 现对两个区域的 16 个厂家进行评 估,综合得分情况如茎叶图所示. (Ⅰ)根据茎叶图判断哪个区域厂家的平均分较高; (Ⅱ)规定 85 分以上(含 85 分)为优秀厂家,若从该两个 区域各选一个优秀厂家,求得分差距不超 过 5 的概率. 20. (本小题满分 12 分)

? ? x ? 2 cos ? , 在直角坐标系中,曲线 C1 的参数方程为: ? ? ? y ? 2 sin ? ,
(?为参数) ,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,并取与直 角坐标系相同的长度单位,建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方 程为: ? ? cos ? . (I)求曲线 C2 的直角坐标方程; (II)若 P,Q 分别是曲线 C1 和 C2 上的任意一点,求|PQ|的最小 值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? ax ? 2 ? ax ? a (a ? 0) . (I)当 a =1 时,求 f ( x) ? x 的解集; (II )若不存在实数 x ,使 f ( x ) <3 成立,求 a 的取值范围.
C
A

B
图①

E

O1 E
图②

O2
O2

2014 年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试 数学(文科)答案 一、选择题: A 卷答案:1-5 CBBAC 6-10 CCBDB 11-12AD B 卷答案:1-5 DBBAD 6-10 DDBCB 11-12AC 二、填空题:

∴ A1B ? AC , 又 AB ? AC , AB A1B ? B ∴ AC ? 面 AB1B ,

------2 分

------3 分 ------5 分

(0, ?
13. 15.14 ?

1 ) 16

14.

0

∵ AC ? 面 A1 AC , ∴平面 A1 AC ? 平面 AB1B ; (Ⅱ)在三棱锥 P ? ABC 中,因为 AB ? AC , 所以底面 ABC 是等腰直角三角形,

16. 4 6

三、解答题: (解答题按步骤给分,本答案只给出一或两种答案,学生除标准答案的其他解法, 参照标准酌情设定,且只给整数分)

1 1 1 4 VP ? ABC ? S ?ABC ? h ? ? AC ? AB ? h ? 3 3 2 3. 又因为点 P 到底面的距离 h ? A1 B =2,所以 ------6 分 由(Ⅰ)可知 AC ? 面 AB1B ,

ì ? a12 q = 2, ? í 2 5 ? a1 q = 32, an } { q ? 17 解: (Ⅰ)设等比数列 的公比为 ,由已知得 ? ……………2 分

因为点 P 在 B1C1 的中点, 1 B1 B 距 离 h2 等 于 点 C1 到 平 面 AA 1 B1 B 的 距 离 的 一 半 , 即 所 以 点 P 到 平 面 AA

又∵ a1 > 0 , q > 0 ,解得 ∴ an = 2
n- 1

ì a1 = 1 , ? ? í ? ? ? q = 2,

h2 ? 1 .------8 分
1 1 1 4 VP ? AA1B1B ? S四边形 AA1B1B ? h2 ? AB ? A1 B ? h2 ? ? 2 ? 2 ?1 ? 3 3 3 3, 所以三棱锥 P ? ABC 与四棱锥 P ? AA1 B1 A1 的体积之比为 1:1. 分

………………3 分

------10 分 ------12

;…………………5 分
2

2 S = (n - 1) (Ⅱ)由 Sn = n 得, n- 1 ,

19. 解: (Ⅰ)东城区的平均分较高. (结论正确即给分)……………………5 分 (Ⅱ)从两个区域各选一个优秀厂家,
9



西

∴当 n …2 时, bn = Sn - Sn- 1 = 2n - 1 ,………………7 分
* 当 n = 1 时, b1 = 1 符合上式,∴ bn = 2n - 1 , ( n ? N )……………8 分,

9 8

7 8 9

2 1

9 3 4 5



an ?bn

(2n - 1) 2n- 1 ,
5?22 L + (2n - 1) 2n- 1
, ,………………10 分
- (2n - 3)?2n 3

Tn = 1+ 3?21

2Tn = 1?2 3?22
两式相减得 ∴

5?23 L + (2n - 3)?2n- 1 (2n - 1) 2n

- Tn = 1 + 2 (2 + 22 + L + 2n- 1 )- (2n - 1)?2n
n

则所有的基本事件共 15 种,………………7 分 9 8 8 满足得分差距不超过 5 的事件( 88,85 ) ( 88,85 ) ( 89,85 ) (89,94) (89,94) (93 ,94) (93,94) (94,,94) (94,,94) 4 3 共 9 种.……………10 分 3 所以满足条件的概率为 .………………12 分 5 20.解: (Ⅰ)依题意 e ?
c 3 ? a 2

4 4



Tn = (2n - 3)2 + 3



.……………………12 分

18.证明: (Ⅰ)由题意得: A1B ? 面 ABC ,

2 2 过焦点F与长轴垂直的直线x=c与椭圆 x 2 ? y 2 ? 1

a

b

y
M

P

N A B

x

2b 2 联立解答弦长为 =1,……………2 分 a

kMQ ? kNQ

,?

8m ? 32? t 2 ? 6m ? 24 ? 0

m ? 4 .……………12 分



所以椭圆的方程

x2 ? y2 ? 1 4 .………………4 分

' 21.解: (Ⅰ)若 a ? 0 , f ( x) ? x ln x ? x ? 1 , f ( x) ? ln x

x ? (0,1), f ' ( x) ? 0, f ( x) 为减函数, x ? (1, ??), f ' ( x) ? 0, f ( x) 为增函数.………………4


(Ⅱ)设P(1,t)
k PA ? t ?0 t t ? 直线 l PA : y ? ( x ? 2) 1? 2 3 , 3 ,联立得:

1, ?? ? (Ⅱ) x ln x ? ( x ? 1)(ax ? a ? 1) ? 0, 在 ? 恒成立.
10 若 a ? 0 , f ( x) ? x ln x ? x ? 1 ,

t ? y ? ( x ? 2), ? ? 3 ? 2 x ? ? y 2 ? 1. ? ?4

f ' ( x) ? ln x ,

即 4t ? 9 x ? 16t x ? 16t ? 36 ? 0 ,
2 2 2 2

?

?

x ? (1, ??), f ' ( x) ? 0,? f ( x) 为增函数.
? f ( x) ? f (1) ? 0 ,

可知 ?2 xM ?

16t ? 36 ? 8t , 所以 xM ? 18 2 , 2 4t ? 9 4t ? 9
2
2

即 f ( x) ? 0 不成立;
? a ? 0 不成立.……………………6 分

? 18 ? 8t 2 x ? , ? ? M 4t 2 ? 9 则? ……………………6 分 12 t ?y ? . M ? 4t 2 ? 9 ? ? 8t 2 ? 2 x ? , ? ? N 4t 2 ? 1 同理得到 ? ? y ? 4t . N ? 4t 2 ? 1 ………………8 分 ?

2

0

x ? 1,

ln x ?

( x ? 1)(ax ? a ? 1) ? 0, 1, ?? ? x 在? 恒成立, ( x ? 1)(ax ? a ? 1) , x ? 1, ?? ? ? x ,

不妨设

h( x) ? ln x ?

h ' ( x) ? ?

由椭圆的对称性可知这样的定点在 x 轴, 不妨设这个定点为Q 又

? x ? 1? (ax ? a ? 1) ax 2 ? x ? a ? 1 ?? 2 x ? ?1, ?? ? x x2 , ………………8 分
1? a a ,

?m,0?,………………10-分
4t 4t 2 ? 1 ? 2 8t ? 2 ?m 4t 2 ? 1

h' ( x) ? 0, x1 ? 1, x2 ?

k MQ

12t 2 9 ? 4t ? 18 ? 8t 2 ?m 4t 2 ? 9



k NQ



若 a ? 0 ,则

x2 ?

1? a ?1 a ,

' x ? 1 , h ( x) ? 0 , h( x) 为增函数, h( x) ? h(1) ? 0 (不合题意) ;



0?a?

1 2,

…………………2 分

x2 ? y2 ? x 1? 1 ? 2 ?x? ? ? y ? 2? 4 ?
2

1? a x ? (1, ) ' a , h ( x) ? 0 , h( x) 为增函数, h( x) ? h(1) ? 0 (不合题意) ; a? 1 ' 2 , x ? (1, ??) , h ( x) ? 0 , h( x) 为减函数, h( x) ? h(1) ? 0 (符合题意).

.…………………4 分

1 (Ⅱ)设 P( 2 cos? , 2 sin ? ), C 2 ( ,0) 2



……………11 分 综上所述若 x ? 1 时, f ( x) ? 0 恒成立,则
a? 1 2 .………………12 分

1? ? PC2 ? ? 2 cos ? ? ? ? 2? ?

2

?

2 sin ?

?

2

1 ? 4 cos 2 ? ? 2 cos ? ? ? 2sin 2 ? 4 ? 2 cos 2 ? ? 2 cos ? ? 9 4

22.解:(Ⅰ)连接 AB,在 EA 的延长线上取点 F,如图①所示. ∵AE 是⊙O1 的切线,切点为 A, ∴∠FAC=∠ABC,.……………1 分 ∵∠FAC=∠DAE, ∴∠ABC=∠DAE,∵∠ABC 是⊙O2 内接四边形 ABED 的外角, ∴∠ABC=∠ADE,……………2 分 ∴∠DAE=∠ADE.………………3 分 ∴EA=ED,∵ EA ? EB ? EC ,
2

…………………6 分
? cos ? ? 1 , , PC2 2
min

?

7 ,…………………8 分 2

PQ min ?

7 ?1 .……………………10 分 2

2 ∴ ED ? EB ? EC .………………5 分

24.解:(Ⅰ)当 a=1 时,
f ( x) ? x ? 2 ? x ?1 ? x

(Ⅱ)当点 D 与点 A 重合时,直线 CA 与⊙O2 只有一个公共点, 所以直线 CA 与⊙O2 相切.……………6 分 如图②所示,由弦切角定理知:
?PAC ? ?ABC ?MAE ? ?ABE 又?PAC ? ?MAE 因?ABC ? ?ABE ? 1 ? 180? 2

M P O1 C B
图(2)

当x ? 2时 ,解得 x ? 3 ;

A O2 E

当 1 ? x ? 2 时,解得 x ? 1 ,? 无解
当x ? 1时 ,解得 x ? 1 ;……………………………3 分

综上可得到解集 {x x ? 1或x ? 3}

.……………………5 分

∴AC 与 AE 分别为⊙O1 和⊙O2 的直径.…………8 分 ∴由切割线定理知:EA2=BE· CE,而 CB=2,BE=6,CE=8 ∴EA =6×8=48,AE= 4 3 .故⊙O2 的直径为 4 3 .………………10 分 23.解: (Ⅰ)? ? ? cos? ,
2

(Ⅱ)依题意, 对?x ? R, 都有f ( x) ? 3 , 则

f ( x) ? ax ? 2 ? ax ? a ? ?ax ? 2? ? ?ax ? a? ? a ? 2 ? 3

,……………8 分

a ? 2 ? 3或a ? 2 ? ?3 ? a ? 5或a ? ?1(舍)

? 2 ? ? cos ?

? a ? 5 …………………10 分



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