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【金版学案】2015-2016高中数学 第四章 圆与方程章末知识整合 新人教A版必修2



【金版学案】2015-2016 高中数学 第四章 圆与方程章末知识整合 新人教 A 版必修 2

专题一 圆的方程 2 2 2 圆的方程有两种形式:圆的标准方程(x-a) +(y-b) =r ,明确了圆心和半径,圆的 2 2 2 2 一般方程 x +y +Dx+Ey+F=0(D +E -4F>0)体现了圆的二元二次方程的特点,在实际求 解中常常先求出圆的

标准方程, 再化简为一般方程, 求圆的方程常用的方法为几何法和待定 系数法. 已知△ABC 的三个顶点分别为 A(-1,5),B(-2,-2),C(5,5),求其外接圆的一 般方程. 2 2 2 2 解析:解法一 设所求圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0(D +E -4F>0), -D+5E+F+26=0, ? ? 由题意可得?-2D-2E+F+8=0, ? ?5D+5E+F+50=0,

D=-4, ? ? 解得?E=-2, ? ?F=-20.

1

故圆的方程为 x +y -4x-2y-20=0. 解法二 由题意可求得弦 AC 的中垂线方程为 x=2,BC 的中垂线方程为 x+y-3=0, 由?
?x=2, ? ?x=2, ? 解得? ∴圆心 P 的坐标为(2,1). ? ? ?x+y-3=0 ?y=1.

2

2

圆半径 r=|AP|= (2+1) +(1-5) =5. 2 2 ∴圆的方程为(x-2) +(y-1) =25, 2 2 即 x +y -4x-2y-20=0. ?跟踪训练 1.求经过两点 A(-1,4),B(3,2)且圆心在 y 轴上的圆的方程. 解析:解法一:∵圆心在 y 轴上, 2 2 2 设圆的标准方程是 x +(y-b) =r . ∵该圆经过 A、B 两点,
?(-1) +(4-b) =r , ? ∴? 2 2 2 ?3 +(2-b) =r , ? ? ?b=1, ?r =10. ?
2 2 2 2 2 2

2

2

∴?

所以圆的方程是 x +(y-1) =10. 解法二:线段 AB 的中点为(1,3),

kAB=

2-4 1 =- , 3-(-1) 2

∴弦 AB 的垂直平分线方程为 y-3=2(x-1), 即 y=2x+1. 由?
? ?y=2x+1, ?x=0, ?

得(0,1)为所求圆的圆心.

由两点间距离公式得圆半径 r 为 (0+1) +(1-4) = 10, 2 2 ∴所求圆的方程为 x +(y-1) =10. 2.已知△ABC 三边所在直线的方程为 AB:x+2y+2=0,BC:2x-y-6=0,CA:x-2y +6=0,求△ABC 的外接圆的方程. 解析:由题先求出△ABC 的三个顶点. 由?
?x+2y+2=0, ?
2 2

?2x-y-6=0, ?

得 B(2,-2),

? ?2x-y-6=0, 由? 得 C(6,6), ?x-2y+6=0, ? ? ?x+2y+2=0,

由?

? ?x-2y+6=0,

得 A(-4,1),

又 A、B、C 都在外接圆上,故设外接圆方程为

2

(x-a) +(y-b) =r . (2-a) +(-2-b) =r , ? ? 2 2 2 解方程组?(6-a) +(6-b) =r , ? ?(-4-a)2+(1-b)2=r2, 7 125 2 得 a=1,b= ,r = . 2 4 2 ? 7? 125 2 ∴所求外接圆方程为(x-1) +?y- ? = . 4 ? 2? 专题二 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系是高考中的热点内容之一,主要有: 1.直线与圆的三种位置关系. (1)直线与圆相交,有两个公共点; (2)直线与圆相切,只有一个公共点; (3)直线与圆相离,没有公共点. 2.直线与圆位置关系的两种判定方法. (1)代数法:通过直线方程与圆的方程所组成的方程组的解的个数来研究.若有两组不 同的实数解,即Δ >0,则相交;若有两组相同的实数解,即Δ =0,则相切,若无实数解, 即Δ <0,则相离. (2)几何法:由圆心到直线的距离 d 与半径 r 的大小来判断.当 d<r 时,直线与圆相交; 当 d=r 时,直线与圆相切;当 d>r 时,直线与圆相离. 3.求弦长. 直线与圆相交有两个交点,设弦长为 l,弦心距为 d,半径 r,则有( ) +d =r .即半弦 2 长、弦心距、半径构成直角三角形,利用此关系式可解. 代数法:|AB|= 1+k |x1-x2|(k 是 AB 的斜率,x1,x2 是两交点横坐标). 4.圆的切线. 2 2 2 2 (1)过圆 x +y =r 上一点 P(x0,y0)的圆的切线方程为:x0x+y0y=r . (2)圆的切线方程的求法. ①求过圆 C 外一点 P(x0,y0)和圆 C 相切的切线方程. 几何法: 设切线为 y-y0=k(x-x0), 由圆心 C 到切线距离等于圆的半径 r, 列方程求 k, 若有两解即得切线方程,若只有一解,则另一条为 x=x0. 代数法:设切线为 y-y0=k(x-x0),与圆方程联立,消元,由Δ =0 求出 k,讨论方法 同上. 2 2 2 ②过圆(x-a) +(y-b) =r 上一点 P(x0,y0)求圆的切线方程. 圆心 C(a,b),k=- 1
2 2 2 2

2

2

2

l

2

2

2

kPC

,则切线方程为 y-y0=k(x-x0),如果 kPC 不存在,则 k=0,

如果 kPC=0,则切线方程为 x=x0. 解决直线与圆位置关系问题的主导方法是几何法. 2 2 2 例 2 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C1:(x+3) +(y-1) =4 和圆 C2:(x-4) 2 +(y-5) =4.

3

(1)若直线 l 过点 A(4,0),且被圆 C1 截得的弦长为 2 3,求直线 l 的方程; (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2,它们分 别与圆 C1 和圆 C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,试求 所有满足条件的点 P 的坐标. 解析:(1)由于直线 x=4 与圆 C1 不相交,所以直线 l 的斜率存在.设直线 l 的方程为 y =k(x-4),圆 C1 的圆心到直线 l 的距离为 d,因为直线 l 被圆 C1 截得的弦长为 2 3,所以 |1-k(-3-4)| d= 22-( 3)2=1.由点到直线的距离公式得 d= ,从而 k(24k+7)= 2 1+k 0.

7 即 k=0 或 k=- , 24 所以直线 l 的方程为 y=0 或 7x+24y-28=0. (2)设点 P(a,b)满足条件,不妨设直线 l1 的方程为 y-b=k(x-a)(k≠0),则直线 l2 1 的方程为 y-b=- (x-a).因为圆 C1 和圆 C2 的半径相等,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与

k

直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,所以圆 C1 的圆心到直线 l1 的距离和圆 C2 的圆心到直线 l2 1 |5+ (4-a)-b| k |1-k(-3-a)-b| 的距离相等,即 = , 2 1 1+k 1+ 2

k

整理得|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|, 从而 1+3k+ak-b=5k+4-a-bk 或 1+3k+ak-b=-5k-4+a+bk,

4

即(a+b-2)k=b-a+3 或(a-b+8)k=a+b-5, 因为 k 的取值范围有无穷多个, 所以?
?a+b-2=0, ? ? ?b-a+3=0

或?

?a-b+8=0, ? ? ?a+b-5=0,

5 3 ? ?a=2, ? ?a=-2, 解得? 或? 1 13 ?b=-2 ? ?b= 2 . ? 1? ?5 ? 3 13? 这样点 P 只可能是点 P1? ,- ?或点 P2?- , ?. 2? ?2 ? 2 2? 经检验点 P1 和 P2 满足题目条件. ?跟踪训练 3.已知 AC,BD 为圆 O:x +y =4 的两条相互垂直的弦,垂足为 M(1, 2),则四边形 ABCD 的面积的最大值为________. 解析:如图,取 AC 的中点 F,BD 的中点 E,则 OE⊥BD,OF⊥AC.
2 2

又 AC⊥BD, ∴四边形 OEMF 为矩形, 2 2 2 ∴d1+d2=OM =3. 又|AC|=2 4-d1,|BD|=2 4-d2, 1 2 ∴ S 四 边 形 ABCD = |AC| · |BD| = 2 4-d1 · 2 2 2 ? 2 3? 25 -?d2- ? + . 2? 4 ? ∵0≤d2≤3. 3 2 ∴当 d2= 时,S 四边形 ABCD 有最大值为 5. 2 答案:5 4. 若圆 x +y =4 与圆 x +y +2ay-6=0(a>0)的公共弦的长为 2 3, 则 a=________.
5
2 2 2 2 2 2 2

4-d2 = 2

2

(1+d2)·(4-d2) =

2

2

解析:x +y +2ay=6,x +y =4, 1 两式相减得 y= .

2

2

2

2

a

1 ? ?y= , a 联立? ? ?x2+y2=4, 4a - 1 2 消去 y 得 x = 2 (a>0).
2

a

∴2

4a -1

2

a

=2 3,解得 a=1.

答案:1 专题三 数形结合思想的应用 数形结合是中学数学中四种重要的数学思想方法之一, 它将抽象思维与形象思维有机地 结合起来,恰当运用数形结合可提高解题速度,优化解题过程.在运用数形结合思想分析问 题和解决问题时,需做到以下几点: (1)要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征; (2)要恰当设参,合理用参,建立关系,做好转化; (3)要正确确定参数的取值范围,以防重复与遗漏. 数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧, 特别是在解答选择题、 填空 题时发挥着奇特功效, 这就要求我们在平时学习中要加强这方面的训练, 以提高解题能力和 速度. 2 2 2 设圆(x-3) +(y+5) =r 上有且仅有两点到直线 4x-3y=2 的距离等于 1,则圆的 半径 r 的取值范围是( ) A.(4,6) B.[4,6) C.(4,6] D.[4,6] |12+15-2| 解析:解法一 圆心(3,-5)到直线 4x-3y=2 的距离为 2 =5,而到直线 2 4 +(-3) 4x-3y=2 的距离为 1 的轨迹为 4x-3y=7 或 4x-3y=-3. 如图,当圆与直线 4x-3y=7 相交、与 4x-3y=-3 相离时,圆上只有两点与 4x-3y =2 的距离为 1.

所以 4<r<6. 2 2 2 解法二 根据四个选项知,只需判断当 r=4 或 6 时圆(x-3) +(y+5) =r 与直线 4x

6

-3y=2 的距离为 1 的点的个数,作出草图. 当 r=4 时,圆与直线 4x-3y=7 相切,只有一个点符合要求; 当 r=6 时,圆与直线 4x-3y=-3 相切,与 4x-3y=7 相交,圆上有三个点符合要求. 故 4<r<6. 答案:A ?跟踪训练 5.已知实数 x,y 满足 x +y =1,求 解析:如图所示
2 2

y+2 的取值范围. x+1

设 P(x,y)是圆 x +y =1 上的点,则

2

2

y+2 表示过 P(x,y)和 Q(-1,-2)两点的直线 PQ x+1

的斜率,过点 Q 作圆的两条切线 QA、QB,由图可知 QB⊥x 轴,kQB 不存在,且 kQP≥kQA. |k-2| 设切线 QA 的斜率为 k, 则它的方程为 y+2=k(x+1), 由圆心到 QA 的距离为 1, 得 2 k +1 3 =1,解得 k= . 4 ∴

y+2 ?3 ? 的取值范围是? ,+∞?. x+1 ?4 ?
2 2 2 2

6.已知圆 C1:x +y =4 和圆 C2:x +(y-8) =4,直线 y= 求实数 b 的取值范围. 解析:如图

5 x+b 在两圆之间穿过, 2

7

两圆相外离,直线是斜率为

5 的一簇平行线,在 y 轴上的截距是 b,由直线与圆相切求 2

出 b 的两个边界值,进一步可求出 b 的取值范围. 直线方程为 5x-2y+2b=0. |2b| 当直线与圆 C1 相切时, =2, 5+4 解得 b=±3. |-16+2b| 当直线与圆 C2 相切时, =2,解得 b=5 或 b=11. 5+4 由图知 3<b<5. ∴b 的取值范围是(3,5).

8



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