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2.1 比较法(人教A版选修4-5)



根据前面学过的知识,我们如何用实数运算 来比较两个实数a与b 的大小?

1.设m=a+2b,n=a+b2+1,则( D ) A.m>n C.m<n B.m≥n D.m≤n

一、比较法

?

比较法是证明不等式的一种最基本、最

重要的一种方法,用比较法证明不等式的 步骤是:

? 作差—变形—判断符号—下结论。 ? 作商—变形—与1比较大小---下结论。 ? 要灵活掌握配方法和通分法对差式进行恒 等变形。

(1)作差比较法:作差——变形——与0比较大小

a ? b ? a ?b ? 0 a ? b ? a ?b ? 0 a ? b ? a ?b ? 0
(2)作商比较法:作商——变形——与1比较大小

a、b ? R : a a ? b ? ?1 b

?

a a ? b ? ?1 b

a a ? b ? ?1 b

1.作差比较法的主要适用类型是什么?实质是什么?
提示:作差比较法尤其适用于具有多项式结构特征的不等 式的证明.实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为 一个数(或式子)与0的大小关系. 2.作商比较法主要适用类型是什么?实质是什么?

提示:作商比较法主要适用于积、商、幂、对数、根式形
式的不等式证明. 实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式 子)与1的大小关系.

1. 已知a、b都是正数, 求证:

a3+b3 ≥ a2b+ab2;

2. 已知a、b都是正数, 求证:aabb≥abba, 当 且仅当a=b时, 等号成立.

【 例 1】 已 知 a>0 , b>0 , 求 证 : a3+b3≥a2b+ab2.

证明一:比较法(作差) (a3+b3)-(a2b+ab2)=(a3- a2b)+(b3-ab2) =a2(a-b)+b2(b-a) =(a-b)( a2-b2) =( a-b)2(a+b). ∵a>0,b>0, ∴a+b>0,而( a-b)2≥0. ∴( a-b)2(a+b)≥0. 故(a3+b3)-(a2b+ab2)≥0, 即a3+b3≥a2b+ab2.

证明二:比较法(作商) ∵a2+b2≥2ab,
2 2 3 3 ( a ? b )( a ? b ? ab) a ? b ∴ ? 2 2 ab(a ? b) a b ? ab 2 2 a ? b ? ab 2ab ? ab ? ?1 ? ab ab

又a>0,b>0,所以ab>0,
故a3+b3≥a2b+ab2.

2 已知a, b是正数, 求证a b ? a b ,
a b b a

(2)作商比较法

当且仅当a ? b时, 等号成立.
?a? 证明 : b a ? a b ?? ? ?b? a b 根 据 要 证 的 不 等 式 的点 特(交 换a , b的 位 置 ,不等式不变 ) a b
a ?b b?a a b a?b

a ?a? 不妨设 a ? b ? 0, 则 ? 1, a ? b ? 0,? ? ? b ?b? 当且仅当 a ? b时, 等 号 成 立 .

a ?b

?1

? a a bb ? a bba ,当且仅当 a ? b时, 等号成立 .

【名师点评】 当欲证的不等式两端是乘积形 式或幂指数不等式时,常采用商值比较法.

课堂练兵

2.设 a>0,b>0,求证:aabb≥(ab)
证明:∵aabb>0,(ab) ∴
a a bb ? ab ?
a+b 2

a+b 2

.

a+b 2

>0,

=a

a- b 2

· b

b- a 2

?a? a- b =?b? 2 . ? ?

当 a=b

?a? a- b 时,显然有?b? 2 =1. ? ?

a- b a 当 a>b>0 时,b>1, >0. 2

a-b a 当 b>a>0 时,0<b<1, <0. 2
?a? a- b ?a? 由指数函数的单调性,有?b? 2 >?b?0. ? ? ? ? ?a? a- b 即?b? 2 >1. ? ?

综上可知,对任意实数 a、b,都有 aabb≥(ab)

a+b 2

.

例4.甲、乙两人同时同地沿同一线路走到同一地点。甲有一半 时间以速度m行走,另一半时间以速度n行走;乙有一半路程以 速度m行走,另一半路程以速度n行走。如果m≠n,问甲、乙 两人谁先到达指定地点。
解:设从出发地点至指定地点的路程是S,甲、乙两人走完 这段路程所用的时间分别为t1,t2,依题意有
S ( m ? n) t2 ? , 2mn S ( m ? n) 2 2S S (m ? n) S 4m n ? (m ? n) 2 t1 ? t 2 ? ? ?? ? m?n 2mn 2m n(m ? n) 2(m ? n)m n
t1 t m ? 1 n ? S, 2 2 2S ? t1 ? m?n

S S ? ? t2 2m 2n

?

?

其中S,m,n都是正数,且m≠n, 于是t1-t2<0 即 t1

? t2

从而可知甲比乙首先到达指定地点。

小结:
? 作差比较法是证明不等式的一种最基本、 最重要的一种方法,用比较法证明不等式 的步骤是:作差—变形—判断符号—下结 论。 ? 要灵活掌握配方法和通分法对差式进行恒 等变形。

比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种 作差比较法 作商比较法 a 要证明 a>b,只要证明 要证明 a>b>0,只要证明 b>1 定 a-b>0 b 义 要证明 a<b,只要证明 >1 要证明 b>a>0,只要证明 a a-b<0
步 骤 作差→因式分解 ( 或配 方 )→判断符号→得出 结论 作商→恒等变形→判断与 1 的大 小→得出结论



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