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(必修1)第三章


第三章
一、基本内容
? ? b 2 ? 4ac
ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)

函数的应用
??0
x1, 2 ? ?b 2a

??0
? b ? b 2 ? 4ac ? 2a

??0

x1, 2

方程无实数根

y ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0)

x1

x2

x1 = x 2

与 x 轴的交点 零点个数 1.函数与方程

( x1 ,0)( x 2 ,0) ( x1 ,0) ,

无交点

(1)方程的根与函数的零点:如果函数 y ? f (x) 在区间 [a , b] 上的图象是连续不断的一 条曲线,并且有 f (a) ? f (b) ? 0 ,那么,函数 y ? f (x) 在区间 (a , b) 内有零点,即存在 c ? (a, b) , 使得 f (c) ? 0 ,这个 c 也就是方程 f ( x) ? 0 的根。 (2)二分法:二分法主要应用在求函数的变号零点当中,牢记二分法的基本计算步骤,即基 本思路为:任取两点 x1 和 x2,判断(x1,x2)区间内有无一个实根,如果 f(x1)和 f(x2)符号 相反,说明(x1,x2)之间有一个实根,取(x1,x2)的中点 x,检查 f(x)与 f(x1)是否同符号, 如果不同号,说明实根在(x,x1)区间,这样就已经将寻找根的范围减少了一半了.然后用同样 的办法再进一步缩小范围,直到区间相当小为止. 2.函数的模型及其应用 (1)几类不同增长的函数模型 利用计算工具,比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异;结合实例体会直线上升、指 数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。 (2) 函数模型及其应用 建立函数模型解决实际问题的一般步骤:①收集数据;②画散点图,选择函数模型;③待定系 数法求函数模型;④检验是否符合实际,如果不符合实际,则改用其它函数模型,重复②至④步; 如果符合实际,则可用这个函数模型来解释或解决实际问题.

二、考点阐述

1

考点 1

函数的零点与方程根的联系 )

1、已知 f (x) 唯一的零点在区间 (1,3) 、 (1, 4) 、 (1,5) 内,那么下面命题错误的( A.函数 f (x) 在 (1, 2) 或 ? 2, 3 ? 内有零点 C.函数 f (x) 在 (2,5) 内有零点 B.函数 f (x) 在 (3,5) 内无零点

D.函数 f (x) 在 (2, 4) 内不一定有零点 )

2、 .如果二次函数 y ? x 2 ? mx ? (m ? 3) 有两个不同的零点,则 m 的取值范围是( A. ?? 2,6? B. ?? 2,6? C. ?? 2,6? D. ? ??, ?2 ? ? ? 6, ?? ? )

3、 求 f ( x) ? 2 x 3 ? 3x ? 1 零点的个数为 ( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

4、函数 f ( x) ? ln x ? x ? 2 的零点个数为



考点 2

用二分法求方程的近似解

5.用“二分法”求方程 x 3 ? 2 x ? 5 ? 0 在区间 [2, 3] 内的实根,取区间中点为 x0 ? 2.5 ,那么下一个有 根的区间是 。

6 . 设 f ?x ? ? 3 x ? 3x ? 8 , 用 二 分 法 求 方 程 3 x ? 3x ? 8 ? 0在x ? ?1,2? 内 近 似 解 的 过 程 中 得
f ?1? ? 0, f ?1.5? ? 0, f ?1.25? ? 0, 则方程的根落在区间(



A. (1,1.25)

B. (1.25,1.5)

C. (1.5, 2)

D.不能确定

考点 3 函数的模型及其应用 7、某地区 1995 年底沙漠面积为 95 万公顷,为了解该地区沙漠面积的变化情况,进行了连续 5 年的观测,并将每年年底的观测结果记录如下表。根据此表所给的信息进行预测: (1)如果不采 取任何措施,那么到 2010 年底,该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷; (2)如果从 2000 年 底后采取植树造林等措施,每年改造 0.6 万公顷沙漠,那么到哪一年年底该地区沙漠面积减少到 90 万公顷? 观测时间 该地区沙漠比原有面 积增加数(万公顷) 1996 年底 0.2000 1997 年底 0.4000 1998 年底 0.6001 1999 年底 0.7999 2000 年底 1.0001

2

高一数学必修Ⅰ第三章《函数的应用》练习题
一、选择题 1.下列函数有 2 个零点的是 A、 y ? 4 x ? 5 x ? 10
2

( B、 y ? 3x ? 10 C、 y ? ? x ? 3x ? 5
2
2



D、 y ? 4 x ? 4 x ? 1

2.用二分法计算 3x 2 ? 3x ? 8 ? 0 在 x ? (1, 2) 内的根的过程中得: f (1) ? 0 , f (1.5) ? 0 , f (1.25) ? 0 ,则方程 的根落在区间 A、 (1,1.5)
x

( B、 (1.5, 2)

) C、 (1,1.25) D、 (1.25,1.5) ( D、 ? )

3.若方程 a ? x ? a ? 0 有两个解,则实数 a 的取值范围是 A、 (1, ??) B、 (0,1) C、 (0, ??)

2 4.函数f(x)=lnx- 的零点所在的大致区间是 x
A.(1,2)
3

(

)

B.? 2,e ?

C. ? e,3?

D. ? e, ?? ?
( )

5.已知方程 x ? x ? 1 ? 0 仅有一个正零点,则此零点所在的区间是 A. (3, 4) B. (2,3) C. (1, 2) D. (0,1)

6.函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点落在区间 A. (2,2.25) B. (2.25,2.5) C. (2.5,2.75) D. (2.75,3)

( )

7.下列说法不正确的是 A.方程f(x)=0有实根 ? 函数y=f(x)有零点 B.-x2 +3x+5=0有两个不同实根 C.y=f(x)在 ?a,b? 上满足f(a)? f(b)<0,则y=f(x)在 ? a,b ?内有零点 D.单调函数若有零点,则至多有一个
8.方程 2 x?1 ? x ? 5 的解所在的区间是 A(0,1) B(1,2)
3

( )

( C(2,3) C、 (?1,0) D(3,4)

) ( )

9.方程 4 x ? 5x ? 6 ? 0 的根所在的区间为 A、 (?3, ?2)
2

B、 (?2, ?1)
x

D、 (0,1) ( )

10.已知 f ( x) ? 2 x ? 2 ,则在下列区间中, f ( x) ? 0 有实数解的是

(A)(-3,-2) (B)(-1,0) (C) (2,3) (D) (4,5) x 11.根据表格中的数据,可以判定方程 e -x-2=0 的一个根所在的区间为 ( x e A. (-1,0)
x



-1 0.37 1 B. (0,1)
x

0 1 2

1 2.72 3 C. (1,2) )A、0

2 7.39 4

3 20.09 5

x+2

D. (2,3) B、1 C、2 D、3

12、方程 x ? 1 ? 2 根的个数为(

3

二、填空题
2 1 2 3 4 13. 下 列 函 数 : ○ y= lg x ; ○ y ? 2 x ; ○ y = x ; ○ y= |x| - 1; 其 中 有 2 个 零 点 的 函 数 的 序 号



。 .

14.若方程 3 x ? x 2 ? 2 的实根在区间 ?m, n ? 内,且 m, n ? Z , n ? m ? 1 ,则 m ? n ? 15、函数 f ( x) ? ( x ? 1)( x ? 2) ( x ? 2 x ? 3) 的零点是
2 2 2

(必须写全所有的零点) 。

16、若镭经过 100 年,质量便比原来减少 4.24%,设质量为 1 的镭经过 x 年后剩留量为 y ,则 y 与 x 的函数关 系式为 y = 。 17、描述方程在某个区间上根的情况,需要说明以下问题:方程是否有根,如果有根则 需指出有几个根.比如:方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 在区间 [0, 4] 上有实根,且仅有一个实根.
2

不解方程,请你描述方程 x3 ? 2 x ? 2 ? 0 在区间 [0,1] 上根的情况: 18、已知函数 f ( x) 的图象是连续不断的,有如下 x, f ( x) 对应值表:

x
f ( x)

-2 -10

-1 3

0 2

1 -7

2 -18

5 -3

6 38 有零点。

则函数 f ( x) 在区间

三、解答题 19、有一块长为 20cm,宽为 12cm 的矩形铁皮,将其四个角各截去一个边长为 x 的小正方形,然后折成一个无 盖的盒子,写出这个盒子的体积 V 与边长 x 的函数关系式,并讨论这个函数的定义域。

20、某厂生产一种新型的电子产品,为此更新专用设备和请专家设计共花去了 200000 元,生产每件电子产品的 直接成本为 300 元,每件电子产品的售价为 500 元,产量 x 对总成本 C、单位成本 P、销售收入 R 以及 利润 L 之间存在什么样的函数关系?表示了什么实际含义?

4

21、纳税是每个公民应尽的义务,从事经营活动的有关部门必须向政府税务部门交纳一定的营业税。某地区 税务部门对餐饮业的征收标准如下表 每月的营业额 1000 元以下 (包括 1000 元) 超过 1000 元 征税情况 300 元 1000 元以下 (包括 1000 元) 部分征收 300 元, 超过部分的税率为 4%

(1)写出每月征收的税金 y(元)与营业额 x(元)之间的函数关系式; (2)某饭店 5 月份的营业额是 35000 元,这个月该饭店应缴纳税金多少?

22、WAP 手机上网每月使用量在 500 分钟以下(包括 500 分钟)按 30 元记费,超过 500 分钟按 0.15 元/分钟 记费。假如上网时间过短,在 1 分钟以下不记费,1 分钟以上(包括 1 分钟)按 0.5 元/分钟记费。WAP 手机上网不收通话费和漫游费。 (1)小周 12 月份用 WAP 手机上网 20 小时,要付多少上网费? (2)小周 10 月份付了 90 元上网费,那么他这个月用手机上网多少小时? (3)你会选择 WAP 手机上网吗?你是用那一种方式上网的?

5

高一数学第三章检测题答案
一、选择 1 A 7 C 二、 填空 4 13. ○
3

2 D 8 C

3 9

A B

4 10

B B

5

C

6 C 12 C

11 C

14.-3

15 . -2 -1,1,3

16. ?1 ? 4.24% ?100

x

(x?0)

17. 方程 x ? 2 x ? 2 ? 0 在区间 [0,1] 上有实根,且仅有一个实根. 18 .( -2, -1) (0,1) (5,6)

三、解答 19 . V= x(20-2x)(12-2x)

定义域(0,6)

20.C=300x+200000 P=300+200000/x R=500x L=500x-300x-200000 300 21.(1) y = 0.04x+260 (x>1000) (0?x?1000)

(2) 1660 元

22.(1)135 元

(2)15 小时

6


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