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上海市行知中学2015-2016学年高二上学期第一次月考数学试卷



上海市行知中学 2015-2016 学年高二上学期第一次月考数学 试卷
考试时间:100 分钟
一、填空题(每题 3 分) 1.设 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,且 Sn ? n2 ? 2n ?1 ,则 an =________. 2.在等比数列 ?an ? 中, a5 ? 1 , ak ?
1 1 ,公比 q ? ? , k ? 16

2

满分:100 分

.

3.平行四边形 ABCD 中,已知顶点 A? 21 , 2? , C ? ?13 , ? , B ? ?3, ? ,则顶点 D 的坐标是 _________. 4.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 3, a2 ? 6, an?2 ? an?1 ? an ,则 a2015 =_________. 5.一个无穷等比数列,各项为正,已知 a2 ? a3 ? a4 ? ? ? 围是______________. 6.若 a ? (1, ?2) , b ? (?3,1) , c 0 是与 a ? b 平行的单位向量,则 c 0 = 7 .已知 {an } 是首项为 32 的等比数列, S n 是其前 n 项和,且
? ?

a1 ,则公比 q 的取值范 2

.

S 6 65 ? , 则数列 S 3 64

{| log2 an |} 前 10 项和为_______________.
8.设数列 {an },{bn } 均为等差数列, lim
an b ? b ? ? ? bn =________. ? 4 ,则 lim 1 2 n ?? n ?? b na3n n

5n 9.若 lim n 存在,则实数 a 的取值范围为 n ?? 3 ? a n

10.等差数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n ? 8 ,下列四个命题,①数列 {an } 是递增
?a ? 数列;②数列 {nan } 是递增数列;③数列 ? n ? 是递增数列;④数列 ?an 2 ? 是 ?n?

递增数列.其中真命题的序号是___________. 11.公差为 d ,各项均为正整数的等差数列中,若 a1 ? 1 , an ? 51,则 n ? d 的 最小值等于 . 12.已知线段 AB 上有 9 个确定的点(包括端点 A 与 B ).现对这些点进行往返标 数(从 A → B → A → B →?进行标数,遇到同方向点不够数时就“调头”往

回数).如图:在点 A 上标 1 称为点 1, 然后从点 1 开始数到第二个数, 标上 2, 称为点 2,再从点 2 开始数到第三个数,标上 3,称为点 3(标上数 n 的点称 为点 n ) ,?,这样一直继续下去,直到 1,2,3,?,2013 都被标记到点 上.则点 2013 上的所有标记的数中,最小的是____________. 二、选择题(每题 3 分) 13.若 O,E,F 是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? A. EF ? OF ? OE B. EF ? OF ? OE



??? ? ??? ? ??? ? C. EF ? ?OF ? OE

??? ? ??? ? ??? ? D. EF ? ?OF ? OE

14.执行如 图所示的程序框图,如果输入的 t ?[?2,2] ,则 输出的 S 属于( A. [?6,?2] C. [?4,5] ) B. [?5,?1] D. [?3,6]

1 1 1 ? n ? n ? 1? , 15.用数学归纳法说明: 1 ? ? ? ? ? n 2 3 2 ?1 在第二步证明从 n ? k 到 n ? k ? 1 成立时,左边增加的项数是( A. 2 k B. 2 k ? 1 C. 2 k ?1 D. 2 k ? 1



16.设等差数列 ?an ? 满足

sin 2 a3 cos2 a6 ? sin 2 a6 cos2 a3 ? 1 ,公差 d ? (?1,0) ,当且 sin(a4 ? a5 )

仅当 n ? 9 时,数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 取得最大值,求该数列首项 a1 的取值范 围( A. ( )
7? 4? , ) 6 3

? 7? 4? ? B. ? , ? ? 6 3 ?

C. (

4? 3? , ) 3 2

? 4? 3? ? D. ? , ? ? 3 2 ?

三、解答题 17. (本大题满分8分) 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? an ? c ( c 是常数, n ? N ? ) ,且 a1 , a2 , a4 成 等比数列.求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn

18. (本大题满分 8 分,每小题 4 分) 已知数列 ?bn ? 满足: b2 ? 8 , (1)求数列 ?bn ? 的通项公式;

bn?1 bn ?0 n ? 1 n ?1

? a ? (2)令 bn ? an ? n ? n ? N * ? ,是否存在非零常数 p, q ,使得 ? n ? 成为等差数 ? np ? q ?
列?说明理由.

19. (本大题满分 10 分,每小题 5 分) 某产品具有一定的时效性,在这个时效期内,由市场调查可知,在不做广告 宣传且每件获利 a 元的前提下,可卖出 b 件;若做广告宣传,广告费为 n 千元比 b 广告费为 ? n ?1? 千元时多卖出 n ? n ? N * ? 件。 2 (1)试写出销售量 Sn 与 n 的函数关系式; (2)当 a ? 10, b ?4000 时,厂家应该生产多少件产品,做几千元的广告,才能获 利最大?

20. (本大题满分 12 分,第一小题 3 分,第二小题 5 分,第三小题 4 分) 由函数 y ? f ( x) 确定数列 {an } , an ? f (n) .若函数 y ? f ?1 ( x) 能确定数列

?bn ?, bn ?

f ?1 (n) ,则称数列 ?bn ? 是数列 ?an ? 的“反数列”.

(1)若函数 f ( x) ? 2 x 确定数列 ?an ? 的反数列为 ?bn ? ,求 bn . ; (2)对(1)中的 ?bn ? ,不等式
成立,求实数 a 的取值范围;

1 1 1 ? ??? ? 2a ? 1 对任意的正整数 n 恒 bn?1 bn? 2 b2 n

(3)设 cn ?

1 ? (?1) k n 1 ? (?1) k ?3 ? ? (2n ? 1) ( k 为正整数) ,若数列 ?cn ? 的反数 2 2

列为 ?d n ?, ?cn ? 与 ?d n ?的公共项组成的数列为 ?t n ?,求数列 ?t n ?的前 n 项和 S n .

21. (本大题满分 12 分,第一小题 3 分,第二小题 4 分,第三小题 5 分) 在 数 列

?an ?

中 , a1 ? 1 , a2 ? m ? m ? ?1? , 前 n 项 和 Sn 满 足

1 1 1 ? ? (n Sn an ?a 1n

? 2. )

(1)求 a3 (用 m 表示) ; (2)求证:数列 ?Sn ? 是等比数列; (3)若 m ? 1 ,现按如下方法构造项数为 2k 的有穷数列 ?bn ? :当 n ? 1,2, ?, k 时,

bn ? a2k ?n?1 ;当 n ? k ? 1, k ? 2,? , 2k 时, bn ? an an?1 ,记数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ,
试问:
T2 k 是否能取整数?若能,请求出 k 的取值集合;若不能,请说明理由. Tk

上海市行知中学 2015-2016 学年高二年级上学期第一次月考 数学试卷
考试时间:100 分钟
一、填空题(每题 3 分) 1、设 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,且 Sn ? n2 ? 2n ?1 ,则 an =________. ? 2、在等比数列 ?an ? 中, a5 ? 1 , ak ?

满分:100 分
? ?2, n ? 1 ?2n ? 3, n ? 2
.

1 1 ,公比 q ? ? , k ? 16 2

9

3 、 平 行 四 边 形 A B C D中 , 已 知 顶 点 A? 2 , 1? , B? ? 3 , 2 1? 3, 则 顶 点 D 的 坐 标 是 ? ,C? ? , _________. ? 4, 2 ? 4、已知数列 ?an ? 中, a1 ? 3, a2 ? 6, an?2 ? an?1 ? an ,则 a2015 =_________.-3 5 、一个无穷等比数列,各项为正,已知 a2 ? a3 ? a4 ? ? ? ______________. ? 0, ? 3

a1 ,则公比 q 的取值范围是 2

? 1? ? ?
?
.

6 、 若 a ? (1, ?2) , b ? (?3,1) , c 0 是 与 a ? b 平 行 的 单 位 向 量 , 则 c 0 =

?

4 3 4 3 ( ,? ), (? , ) 5 5 5 5
7、已知 {an } 是首项为 32 的等比数列, S n 是其前 n 项和,且 前 10 项和为_______________.58

S 6 65 ? ,则数列 {| log2 an |} S 3 64

8、设数列 {an },{bn } 均为等差数列, lim

2 an b ? b ? ? ? bn =________. ? 4 ,则 lim 1 2 n ?? n ?? b 3 na3n n

9、若 lim

5n 存在,则实数 a 的取值范围为 n ?? 3n ? a n

? ??, ?5? ? ?5, ???

10、等差数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n ? 8 ,下列四个命题,①数列 {an } 是递增数列;② 数列 {nan } 是递增数列;③数列 ? 题的序号是___________.①③ 11、公差为 d ,各项均为正整数的等差数列中,若 a1 ? 1 , an ? 51,则 n ? d 的最小值等 于 .16

? an ? 2 ? 是递增数列;④数列 ?an ? 是递增数列.其中真命 ?n?

12、已知线段 AB 上有 9 个确定的点(包括端点 A 与 B ).现对这些点进行往返标数(从
A → B → A → B →?进行标数,遇到同方向点不够数时就“调头”往回数).如图:在点 A 上标 1 称为点 1,然后从点 1 开始数到第二个数,标上 2,称为点 2,再从点 2 开始

数到第三个数, 标上 3, 称为点 3 (标上数 n 的 点称为点 n ) ,?,这样一直继续下去,直到

A

5 1 2 3 4

B

1 , 2 , 3 ,?, 2013 都被标记到点上 . 则点 2013 上的所有标记的数中,最小的是 ____________.2 二、选择题(每题 3 分) 13、若 O,E,F 是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( B ) A. EF ? OF ? OE

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

B. EF ? OF ? OE

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

C. EF ? ?OF ? OE

??? ?

D. EF ? ?OF ? OE

??? ?

14、 执行如 图所示的程序框图,如果输入的 t ?[?2,2] ,则输出 的 S 属于( D ) A. [?6,?2] C. [?4,5] 15.用数学归纳法说明:1 ? B. [ ?5,?1] D. [?3,6]

1 1 1 ? ??? n ? n ? n ? 1? ,在第 2 3 2 ?1 二步证明从 n ? k 到 n ? k ? 1 成立时,左边增加的项数是( A ) k k A. 2 B. 2 ? 1 k ?1 k C. 2 D. 2 ? 1

16.设等差数列 ?an ? 满足

sin 2 a3 cos2 a6 ? sin 2 a6 cos2 a3 ? 1 ,公差 d ? (?1,0) ,当且仅当 sin(a4 ? a5 )

n ? 9 时,数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 取得最大值,求该数列首项 a1 的取值范围( C )
A. (

7? 4? , ) 6 3

B. ?

? 7? 4? ? , ? ? 6 3 ?

C. (

4? 3? , ) 3 2

D. ?

? 4? 3? ? , ? ? 3 2 ?

三、解答题 17、 (本大题满分8分) 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? an ? c ( c 是常数, n ? N ? ) ,且 a1 , a2 , a4 成等 比 数列.求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 解:由已知 ?an ? 为等差数列,公差为 c ,因为 a1 , a2 , a4 成等比数列,
2 2 所以 a2 ? a1a4 ? ? 2 ? c ? ? 2 ? 2 ? 3c ? ? c ? 2c ? 0 ----- 2分 2

所以, c ? 2 , c ? 0 ----------------- 2分 当 c ? 2 时, Sn ? 2n ? n ? n ?1? ? n ? n
2

当 c ? 0 时, Sn ? 2n

-------------- 4分(丢掉 c ? 0 的情况共扣2分)

18. (本大题满分 8 分,每小题 4 分) 已知数列 ?bn ? 满足: b2 ? 8 , (1)求数列 ?bn ? 的通项公式;
* (2)令 bn ? an ? n n ? N ,是否存在非零常数 p, q ,使得 ?

bn?1 bn ?0 n ? 1 n ?1

?

?

? an ? ? 成为等差数列?说 ? np ? q ?

明理由. (1) (n ?1)bn?1 ? (n ? 1)bn ? 0 且 b2 ? 8 ? b1 ? 0 又可得

bn?1 n ? 1 ? ? n ? 2? , bn n ?1 b3 b4 b 3 4 5 n ?1 n n(n ? 1) ? ? ? ? n ? ? ? ? ?? ? ? ? bn ? 4n(n ?1) ? n ? 3? b2 b3 bn?1 1 2 3 n ?3 n ?2 2

当 n ? 3 时,

* 又 b2 ? 8, b1 ? 0 ,所以, bn ? 4n(n ? 1) n ? N -----------------4’

?

?

(2) an ? 4n2 ? 5n 如果 ?

? an ? an ? an ? b ,即 ? 成为等差数列,则 np ? q ? np ? q ?

4n2 ? 5n ? (an ? b)( pn ? q) 对于任意正整数 n 都成立,于是
? ap ? 4 p 4 ? ? aq ? bp ? ?5 ,由 p, q 都是非零常数得 b ? 0, ? ? q 5 ? bq ? 0 ?
所以当 p, q 满足

? a ? p 4 ? ? 时,数列 ? n ? 成为等差数列------------------4’ q 5 ? np ? q ?

19. (本大题满分 10 分,每小题 5 分) 某产品具有一定的时效性,在这个时效期内,由市场调查可知,在不做广告宣传且每件 获利 a 元的前提下,可卖出 b 件;若做广告宣传,广告费为 n 千元比广告费为 ? n ?1? 千元时 多卖出

b ? n ? N * ? 件。 2n

(1)试写出销售量 Sn 与 n 的函数关系式; (2)当 a ? 10, b ?4000 时,厂家应该生产多少件产品,做几千元的广告,才能获利最大? (1)设 表示广告费为 0 元时的销售量,由题意知 ,

即为所求。-----------5’

(2)设当 由题意知,

时,获利为

元, ,------------------2’

欲使

最大,则

,易知

,此时

.

故,该厂家生产 7875 件产品,作 5 千元广告,能获利最大。-----------------3’

20. (本大题满分 12 分,第一小题 3 分,第二小题 5 分,第三小题 4 分) 由函数 y ? f ( x) 确定数列 {an } , an ? f (n) .若函数 y ? f
?1

( x) 能确定数列 ?bn ? ,

bn ? f ?1 (n) ,则称数列 ?bn ? 是数列 ?an ? 的“反数列”.
(1)若函数 f ( x) ? 2 x 确定数列 ?an ? 的反数列为 ?bn ? ,求 bn . ; (2)对(1)中的 ?bn ? ,不等式 成立,求实数 a 的取值范围; ( 3 )设 c n ?

1 1 1 ? ??? ? 2a ? 1 对任意的正整数 n 恒 bn?1 bn? 2 b2 n

1 ? (?1) k n 1 ? (?1) k ?3 ? ? (2n ? 1) ( k 为正整数) ,若数列 ?cn ? 的反数列为 2 2

?d n ?, ?cn ?与 ?d n ?的公共项组成的数列为 ?t n ?,求数列 ?t n ?的前 n 项和 S n .
解: (1) f
?1

( x) ?

x2 n2 (n ? N ? ) ;????3’ ( x ? 0) ,则 bn ? 4 4

2 2 2 ? ??? ? 2a ? 1 , n ?1 n ? 2 2n 2 2 2 2 2 ? ?? ? ? ? 0, 设 Tn ? ,因为 Tn ?1 ? Tn ? n ?1 n ? 2 2n 2n ? 1 2n ? 2
(2)不等式化为: 所以 ? Tn ?单调递增,---------------------------------2’ 则 (Tn ) min ? T1 ? 1 ,因此 2a ? 1 ? 1 ,所以 a ? 1 -------------------2’ (3)当 ? 为奇数时, cn ? 2n ? 1, d n ? 由 2 p ?1 ?

1 (n ? 1) . 2

1 (q ? 1) ,则 q ? 4 p ? 3 ,即 ?cn ? ? ?d n ?,因此 t n ? 2n ? 1 , 2
------------------------2’

所以 S n ? n 2 .

当 ? 为偶数时, cn ? 3n , d n ? log3 n . 由 3 ? log3 q 得 q ? 33 ,即 ?cn ? ? ?d n ?,因此 t n ? 3 ,
p
p

n

所以 S n ?

3 n (3 ? 1). 2

---------------------2’

21. (本大题满分 12 分,第一小题 3 分,第二小题 4 分,第三小题 5 分) 在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a2 ? m ? m ? ?1? ,前 n 项和 Sn 满足 (1)求 a3 (用 m 表示) ; (2)求证:数列 ?Sn ? 是等比数列; ( 3 )若 m ? 1 ,现按如 下方法构造项 数为 2 k 的有穷数 列 ?bn ? :当 n ? 1, 2, ? ,k 时 ,

1 1 1 ? ? (n ? 2) . Sn an an?1

bn ? a2k ?n?1 ;当 n ? k ? 1, k ? 2, ?,2 k 时, bn ? an an?1 ,记数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ,试问:
T2 k 是否能取整数?若能,请求出 k 的取值集合;若不能,请说明理由. Tk
解析: (1)令 n ? 2 ,则

1 1 1 1 1 1 ? ? ,将 a1 ? 1 , a2 ? m 代入,有 ? ? , S2 a2 a3 1 ? m m a3

解得: a3 ? m2 ? m -------------3’ (2)由

1 1 1 1 1 1 ,化简得 Sn 2 ? Sn?1Sn?1 , ? ? (n ? 2) ,得 ? ? Sn an an ?1 Sn Sn ? Sn?1 Sn?1 ? Sn

又 Sn ? 0 ,? 数列 ?Sn ? 是等比数列--------------4’ (3)由 m ? 1 ,? S1 ? 1 , S2 ? 2 ,又数列 ?Sn ? 是等比数列,? Sn ? 2n?1 ,

? an ? Sn ? Sn?1 ? 2n?1 ? 2n?2 ? 2n?2 (n ? 2) ,-------------------------1’
当 n ? 1, 2,?, k 时, bn 依次为 a2k , a2k ?1 ,?, ak ?1 ,?

Tk ? S2k ? Sk ? 22k ?1 ? 2k ?1 ? 2k ?1 (2k ?1) -----------1’
当 n ? k ? 1, k ? 2,?, 2k , bn ? an an?1 ? 22n?3 ,

? T2 k ? Tk ? 22( k ?1)?3 ? ?

1 ? 4k 22 k ?1 (4k ? 1) ? ------------1’ 1? 4 3

2k ? 1 2k ? 1 T2k T2k ? Tk T 2k (2k ? 1) 为整数,令 ck ? , ? ?1 ? ? 1 ,要使 2 k 取整数,需 3 3 Tk Tk Tk 3
2k ? 2 ? 1 2k ? 1 ? ? 2k ,? ck ? 2 , ck 要么都为整数,要么都不是整数, 3 3

? ck ? 2 ? ck ?

又 c1 ? 1, c2 ?

5 , ? 当 且 仅 当 k 为 奇 数 时 , ck 为 整 数 , 即 k 的 取 值 集 合 为 3
*
2k k

?k k ? 2n ?1, n ? Z ? 时 T T

取整数.-------------------------------2’

(注:本题用数学归纳法也可以证明)



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