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中等专业学校正弦函数图像与性质(1)



函 函数 数 5.6正弦函数的图象和性质

函数 函数

学习目标
1、会用正弦线画正弦函数的图象; 2、会用五点法画正弦函数及相关函 数在长度为 2? 的闭区间[0, 2? ]的图 象.

3、了解周期函数与最小正周期的意 义。

单位圆与正弦线
在单位圆中,如何作出一个角的

正弦线?
y
1 P

o

M

1

x

正弦线 MP 余弦线OM

三角问题

几何问题

一、正弦函数的图象
利用正弦线作出 y ? sin x,x ? 0, π 的图象. 2
y

?

?

作法: (1) 等分; (2) 作正弦线;
/ p1

1P 1
?
6

(3) 平移; (4) 连线.
π 3
π 2

-

-

-

o1

M1 -1

A

o
-1 -

π 6

2π 3

5π 6

π

7π 6

4π 3

3π 2

5π 3

11π 6

π 2?

x

正 弦 曲 线
由终边相同的角三角函数值相同,所以 y=sin x 的图象在 ? ,[-4 ? ,-2 ?] , [-2 ? ,0] , [0,2 ?] , [2? ,4 ?] , ? 与 y=sin x,x?[0,2 ?] 的图象相同 , 于是平移得正弦曲线 .
? 6π
-

y
1-

? 4π
-

? 2?
-

o-1



4?
-

-

6?
-

-

x

观察 y = sin x ,x?[ 0,2 ?] 图象的最高点、最低

点和图象与 x 轴的交点?坐标分别是什么?
y
1-

-

o
-1 -

π 6

π 3

π 2

2π 3

5π 6

π

7? 6

4π 3

3π 2

5π 3

11π 6

π 2?

x

π 1 图象的最高点: ( , ); 2

0 0 ( 0 与 x 轴的交点: (0, ), π, ),(2 π , ); 3π 图象的最低点: ( ,? 1) . 2

五点 作图法

五 点 作 图 法
列表:列出对图象形状起关键作用的五点坐标.

描点:定出五个关键点.
连线:用光滑的曲线顺次连结五个点.

正弦曲线
y 1 y = sin x, x∈R

x
-2? -?

o -1

?

2?

3?

4?

例1 画出函数 y=sin x + 1, x?[0,2 ?] 的简图. 解 列表

x
sin x sin x ? 1
y
2-

0 0

π 2

π
0

3π 2



1 2

?1

0

1

1

0

1

描点作图

y ? 1 ? sin x,x ?[0, π] 2

1-

?1 -

o

π 2

π

3π 2



x

把y=sinx的图 象向上平移1 个单位!

y ? sin x,x ?[0, π] 2

练习巩固
1、 画出函数 y=-sin x , x?[0,2 ?] 的简图.
解:列表
x -sinx
y

0

x

y=-sinx与 y=sinx的图象 有什么关系?

练习巩固
2、用五点法画出下列函数在区间[0,2 ?]上 的简图: (1)y=sinx-1;

(2) y=3sinx.

二、正弦函数的性质
观察正弦曲线,得出正弦函数的性质:
y
1 -4? -3? -2? -?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

定义域

x?R

(1) 值域 [ -1, 1 ]
π x ? ? 2kπ(k ? Z ) 2
时,取最大值1;

π x ? ? ? 2kπ(k ? Z ) 时,取最小值-1; 2

周期的概念
一般地,对于函数 f (x),如果存在一个非零常 数 T ,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f ( x +T )= f (x),那么函数 f (x) 就叫做周期函数,非零 常数 T 叫做这个函数的周期. 对于一个周期函数,如果在它的所有周期中存在 一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做它的最小 正周期.

(2) 正弦函数的周期性
由公式 sin (x+k · ?)=sin x (k?Z) 可知: 2
正弦函数是一个周期函数,2? ,4? ,? ,

-2? ,-4? ,? , 2k ?(k?Z 且 k≠0)都是正
弦函数的周期. 2 ? 是其最小正周期 .

探究活动
下列函数是不是周期函数?若是,求出其周期。

f(x)=-2sinx
解:f(x+2k ?)=-2sin(x+2k ?) =-2sinx =f(x) 在2k ? (k∈Z)中,2 ?为最小正周期。

练习
f(x)=2+3sinx

例题1、
求下列函数的周期:

1:y=3sinx (x ∈R)
解:因为正弦函数的周期是2π,所 以自变量x只要并且至少需要增长到 x+2π,正弦函数的值才会重复取 得,函数y=3sinx的值才能重复取 得,所以T=2π。

2、y=sin2x

( x ∈R)

解、令z=2x,那么x∈R必须并且只需 z∈R,且函数y=sinz,z∈R的T=2π,即 变量z只要并且至少要增加到z+2π,函数 y=sinz,z∈R的值才能重复取得,而 z+2π=2x+2π=2(x+π)

故变量x只要并且至少要增加到x+π, 函数值就能重复取得,所以y=sin2x, x∈R的T=π

3、

1 y ? 2sin( x) 2

x∈R

1 x ,那么x∈R必须并且只要 解:令 z ? 2
于 z ? 2? 只

z∈R,且函数y=2sinz,z∈R的T=2π,由

1 1 ? x ? 2? ? ( x ? 4? ) 。所以自变量z 2 2

要并且至少要增加到z+4π,函数值才能重复 取得,即T=4π

总结:
一般地,函数y=Asin(ωx),x∈R或 y=Acos(ωx),x∈R(A、ω、为常数, 且A≠0, ω>0)的周期是:

T ?

2?

?

(3) 正弦函数的奇偶性
由公式 sin(-x)=-sin x

正弦函数是奇函数.
图象关于原点成中心对称 .
y
1

x
-3?
? 5π 2

-2?

?

3π 2

-?

?

π 2

o
-1

π 2

?

3π 2

2?

5π 2

3?

7π 2

4?

(4) 正弦函数的单调性
观察正弦函数图象
x sinx
? π 2



0 0



π 2



? 0



3π 2

-1

1

-1

π π ? ?? π , ? π ? ?? 2 2kπ, ? 2kπ ?, k ? Z 上, 是增函数; ? 2? ?2 在闭区间 ? ? 2 ? ? 3 ? π? π , π3π ? ? ? ? 2kπ, ? ? 2kπ ?, k ? Z 上,是减函数. 在闭区间 ? ? 2 2 ? 2 y ? ?2
1

-3?

?

5π 2

-2?

?

3π 2

-?

?

π 2

o
-1

π 2

x
?
3π 2

2?

5π 2

3?

7π 2

4?

评注:
正弦函数f(x)=sinx的主要性质:

R 1)、 定义域是________; [-1,1] 2)、值域是_________;

2π 3)、最小正周期是_________;
原点对称 奇函数 4)、在(-∞,+∞)上是__________,图象关于____________;
5)、在
[?

?

减函数 上是__________。(k ? z )
6)、在
x?

2

? 2k? ,

?

2

? 2k? ] 上是_________,在 [

增函数

?

3 ? 2k? , ? ? 2k? ] 2 2

?
2

? 2 k?

最大值1 处达到__________,在 x ? ?

?
2

? 2 k?

处达到

______________(k∈z) 最小值-1

性质小应用
已知sinx=a-3,求a的取值范围。
解:因为-1≤sinx≤1,所以-1≤a-3≤1. 解得2≤a≤4,即a的取值范围是[2,4]。
考虑正弦函 数的值域!

例 2 、求使函数 y=2+sin x 取最大值、最小值 的 x 的集合,并求出这个函数的最大值, 最小值和周期 T .

解:

y
2-

y ? 2 ? sin x,x ? [0,2 π]

1-

? 1-

o

y ? sin x,x ?[0, π] 2

π 2

π

3π 2



x

π x ? ?x x ? ? 2kπ, k ? Z ?时,y max ? 2 ? (sin x) max ? 2 ? 1 ? 3, 2 ?x x ? ? π ? 2kπ,k ? Z?时,ymin ? 2 ? (sin x) min ? 2 ?1 ? 1. x? 2

T ? 2π.

例 3 不通过求值,比较下列各对函数值的大小: π π 3π 2π ? ) 和sin(? . (1) sin( ); (2) sin 和 sin 4 18 3 10 解
π π π π <? <? < , (1) 因为 2 10 18 2 π π [ ? , ] 上是增函数. 且 y =sin x 在 2 2 ?

所以 sin( ? (2) 因为

π 2π 3π < < <π , 2 3 4

π π )<sin( ? ) . 10 18

且 y =sin x 在 [ 所以 sin
2π 3

π , π ]上是减函数, 2
3π 4

> sin



1 . 正弦函数的图象. 2 .“五点法”作图. 3 . 正弦函数的性质.

正弦、余弦曲线 y 1 y = sin x, x∈R

x
-2? -?

o -1

?

2?

3?

4?

y = cos x, x∈R

三、作余弦函数 y=cosx (x∈R) 的图象
思考:如何将余弦函数用诱导公式写成正弦函数?

π y ? cosx ? cos(?x) ? sin[ ?( ?x)] 2
π ? sin( ? x) 2

注:余弦曲线的图象可以通过将正弦曲线向左 π 平移 个单位长度而得到。余弦函数的图象叫做 2 余弦曲线。



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