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高中数学(人教A版)选修2-3之-1.2.2排列(二)



复习巩固
1、排列的定义: 从n个不同元素中,任取m( m ? n )个元素(m 个元素不可重复取)按照一定的顺序排成一列, 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 2.排列数的定义: 从n个不同元素中,任取m( m ? n)个元素的 所有排列的个数叫做从n个元素中取出m个元 素的排列数

A

m n

3.全排列的定义: n个不同元素全部取出的一个排列,叫做 n个不 同元素的一个全排列.

4.有关公式:

?1?.阶乘:n! ?
(2)排列数公式:
m n

1? 2 ? 3 ? ? ? ? ?(n ? 1)? n

n! A ? n ?(n ? 1)? ? ?(n ? m ? 1) ? (n ? m)! (m、n? N*, m ? n)

(3)全排列数公式:

A ? n!
n n

课堂练习
3 2 1.计算:(1) 5 A5 ? 4 A4 ? 348
3 2 5 A5 ? 4 A4 ? 5 ? 5 ? 4 ? 3 ? 4 ? 4 ? 3 ? 348
1 2 3 4 A4 ? A4 ? A4 ? A4 ? 4 ? 4 ? 3 ? 4 ? 3 ? 2 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 ? 64

1 2 3 4 (2) A4 ? A4 ? A4 ? A4 ? 64

2.从4种蔬菜品种中选出3种,分别种植在不同土质的3块土地 上进行试验,有 24 种不同的种植方法?
3 A4 ? 4 ? 3 ? 2 ? 24

3.从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名进行某场比赛, 并排定他们的出场顺序,有 60 种不同的方法?
3 A5 ? 5 ? 4 ? 3 ? 60

4.信号兵用3种不同颜色的旗子各一面,每次打出3面,最多能 打出不同的信号有( C ) A.  1种 B.3 种 C.6种 D.27种
3 A3 ? 3 ? 2 ?1 ? 6

例1、某年全国足球甲级A组联赛共有14个队参加, 每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次,共 进行多少场比赛?
解:14个队中任意两队进行1次主场比赛与1次客场比赛, 对应于从14个元素中任取2个元素的一个排列,因此,

①有5本不同的书,从中选出3本给3名同学,每人一本, 共有多少种不同的选法?

2 比赛的总场次是 A14 ? 14 ?13 ? 182

A ? 5 ? 4 ? 3 ? 60 ②有5种不同的书,从中买3本给3名同学,每人一本,共 有多少种不同的选法? 分步乘法
3 5

排列数

5 ? 5 ? 5 ? 125

计数原理

练习 某段铁路上有12个车站,共需要准备多少 种普通客票? 解 每张票对应着2个车站的一个排列

N ? A ? 12?11 ? 132
2 12

某信号兵用红,绿,蓝3面旗从上到下挂在 竖直的旗杆上表示信号,每次可挂一面,二面, 三面,并且不同的顺序表示不同的信号,一共可 表示多少种不同的信号?
例3

解 信号分三类, 第一类为3面旗组成的信号,共A33种, 第二类为2面旗组成的信号,共A32种, 第三类为1面旗组成的信号,共A31种, 由加法原理得 N=6+6+3=16

例4:用0到9这10个数字,可以组成多少个没有重复 数字的三位数?

解法一:对排列方法分步思考。
从位置出发

百位

十位

个位

A ?A ?A
9 9

1

1

1 8

? 9 ? 9 ? 8 ? 648

A ?A
9

1

2

9

? 9 ? 9 ? 8 ? 648

解法二:对排列方法分类思考。符合条件的三位数 可分为两类: 从元素出发分析
百位 十位 个位 百位 十位 个位 百位 十位 个位

0
A
3 9

0
A
2 9

A

2 9

根据加法原理

A ? 2A
9

3

2

9

? 648

解法三:间接法.

逆向思维法

从0到9这十个数字中任取三个数字的排列数为
2

A ,
10

3

其中以0为排头的排列数为 A9 . ∴ 所求的三位数的个数是

A ? A ? 10?9?8 ? 9?8 ? 648.
3
2

10

9

有约束条件的排列问题
例5:由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位 数,其中小于50000的偶数共有多少个? 万位
1 A3

千位

百位

十位

个位

A A 解法一:(正向思考法 )个位上的数字排列数
3 3

1 2

1 有A2 种(从2、 4中选);万位上的数字 排列数有 1 A3 种(5不能选),十位、百位 、千位上的排列数

有A 种,故符合题意的偶数 有A A A 个。

3 3

1 2

1 3

3 3

有约束条件的排列问题
例5:由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位 数,其中小于50000的偶数共有多少个? 万位 千位 百位 十位 个位

解法二:(逆向思维法 )由 1、 2、 3、 4、 5组成无重复
5 1 4 数字的5位数有A5 个,减去其中奇数的个 数A3 A4 个,再 1 3 减去偶数中大于 50000 的数A2 A3 个,符合题意的偶数 5 1 4 1 3 共有:A5 ? A3 A4 ? A2 A3 ? 36个

有约束条件的排列问题
例6:6个人站成前后两排照相,要求前排2人,后排4人,那 么不同的排法共有( C ) A.30种 B. 360种 C. 720种 D. 1440种 例7:有4个男生和3个女生排成一排,按下列要求各有多少种 不同排法: (1)男甲排在正中间;

A66 A77 -2 A66 + A55
对于相邻问题,常用“捆绑法”

(2)男甲不在排头,女乙不在排尾; (3)三个女生排在一起;A 5*A 3
5 3 5 4

(4)三个女生两两都不相邻; A 3*A 4 对于不相邻问题,常用 “插空法”
(5)全体站成一排,甲、乙、丙三人自左向右顺序不变; A77/A33 (6)若甲必须在乙的右边(可以相邻,也可以不相邻), 7 A7 /2 有多少种站法?

例7:一天要排语、数、英、体、班会六节课,要求上午的四 节课中,第一节不排体育课,数学排在上午;下午两节中有 一节排班会课,问共有多少种不同的排法?

A41 A21 A44 – A31 A21 A33 =156
例8:有4个男生和3个女生排成一排,按下列要求各有多少种 不同排法: (1)7位同学站成一排,甲、乙只能站在两端? 2 A55
(2)7位同学站成一排,甲、乙不能站在两端? A77 -2 A55 (3)甲、乙两同学必须相邻,而且丙不能站在排头和排尾? 2A66 -2 A22 A55 (4)若甲、乙两名女生相邻,且不与第三名女生相邻? 2A44 A52 (5)甲、乙、丙3名同学必须相邻,而且要求乙、丙分别站 2A55 在甲的两边?

引申练习
1、4名男生和4名女生站成一排,若要求男女相间,则不同的 排法数有( B ) 2A44 A44

A.2880

B.1152

C.48

D.144

2、今有10幅画将要被展出,其中1幅水彩画,4幅油画,5幅国 画,现将它们排成一排,要求同一品种的画必须连在一起,并 且水彩画不放在两端。则不同的排列方式有 5760 种。 2A44 A54 3、一排长椅上共有10个座位,现有4人就座,恰有五个连续 480 空位的坐法种数为 。(用数字作答)

4、某城市新建的一条道路上有12只路灯,为了节约 用电而又不影响正常的照明,可以熄灭其中3只灯, 但两端的灯不能熄灭,也不能熄灭相邻的两只灯。 则熄灯的方法有多少种?

例9:用0-5这六个数字可以组成没有重复的 (1)四位偶数有多少个?奇数? (2)能被5整除的四位数有多少? (3)能被3整除的四位数有多少? (4)能被25整除的四位数有多少? (5)十位数比个位数大的三位数? (6)能组成多少个比240135大的数?若把 所组成的全部六位数从小到大排列起来, 那么240135是第几个数?

引申练习
1、八个人分两排坐,每排四人,限定甲必须坐在前 排,乙、丙必须坐在同一排,共有多少种安排办法? 2、八人排成一排,其中甲、乙、丙三人中,有两人 相邻但这三人不同时相邻的排法有多少种? 3、在7名运动员中选4名运动员组成接力队,参加 4x100接力赛,那么甲、乙两人都不跑中间两棒的安 排方法共有多少种? 4、从1~9这九个数字中取出5个不同的数进行排列, 求取出的奇数必须排在奇数位置上的五位数的个数。

例10、从数字0,1,3,5,7中取出不同的三位数作系 2 数,可以组成多少个不同的一元二次方程ax+bx+c=0? 其中有实根的方程有多少个?

变式:若直线Ax+By+C=0的系数A、B可以从0,1,2,
3,6,7这六个数字中取不同的数值,则这些方程所表 A 示的直线条数是( ) A.18 B.20 C.12 D.22

高考回眸
1、(05年福建)从6人中选人分别到巴黎、伦敦、悉 尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市有一人游览, 每人只游览一个城市,且这6人中甲乙不去巴黎游览, 则不同的选择方案共有( )种B A.300 B.240 C.144 D.96

2、(05年江苏)四棱锥的8条棱分别代表8种不同的 化工产品,有公共点的两条棱所代表的化工产品放在 同一仓库是危险的,没有公共点的两条棱所代表的化 工产品放在同一仓库是安全的。现打算用编号为 (1)、(2)、(3)、(4)的四个仓库存放这8种 化工产品,那么安全存放的不同方法种数为( B ) A.96 B.48 C.24 D.0

小结: 1.对有约束条件的排列问题,应注意如下类型: ⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置; ⑵某些元素要求连排(即必须相邻); ⑶某些元素要求分离(即不能相邻);
2.基本的解题方法: (1)有特殊元素或特殊位置的排列问题,通 常是先排特殊元素或特殊位置,称为优先处理 特殊元素(位置)法(优先法); 特殊元素,特殊位置优先安排策略

(2)某些元素要求必须相邻时,可以先将这些 元素看作一个元素,与其他元素排列后,再考虑 相邻元素的内部排列,这种方法称为“捆绑法”; 相邻问题捆绑处理的策略 (3)某些元素不相邻排列时,可以先排其他 元素,再将这些不相邻元素插入空挡,这种方 法称为“插空法”; 不相邻问题插空处理的策略



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