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洪泽外国语中学2013届高三数学测试(一)



洪泽外国语中学 2013 届高三数学测试(一)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.把答案填写在答题纸相应位置上. ........ 1.设集合 U ? {1,2,3,4,5,6} , M ? {1,2,4} ,则 CU M ?
2





2.记 (1 ? 2i ) ? a ? bi(a, b ? R) ,则点 P(a, b) 位于第 ▲ 象限. 3.有一个容量为 66 的样本,数据的分组及各组的频数如下: 分组 [1.5,3.5) [3.5,5.5) [5.5,7.5) [7.5,9.5) [9.5,11.5) 频数 6 14 16 20 10 根据样本的频率分布估计,数据落在[5.5,9.5)的概率约是 ▲ . 4.已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ) ,向量 b ? ( 3,1) ,则 2a ? b 的最大值为

?

?

? ?





5.设 m , n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则下列正确命题的序号


▲ .

②.若 m // n ,m // ? , 则n // ? ; ①.若m // n ,m ? ? , 则n ? ? ; 则 则 ③. 若m // ? ,m // ? , ? // ? ; ④.若n ? ? ,n ? ? , ? ? ? . x2 y 2 6.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线的斜率为 2 ,且右焦点与抛物线 a b 2 y ? 4 3 x 的焦点重合,则该双曲线的方程为 ▲ . 开始 7.设等比数列 {an } 的各项均为正数,其前 n 项和为 S n . 若 a1 ? 1 , a3 ? 4 , S k ? 63 ,则 k ? ___▲___. x←1, y←1
? x ? y ? ?1 ? ? 8.若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则目标函 ? ?3 x ? y ? 3 ? 数 z ? 2 x ? 3 y 的最小值是___▲___.
z←x + y

z ? 20




9.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,输出的 结果为 ▲ . 10.已知 sin ? ? 则

输出

y x

x←y y←z

cos 2? sin(? ?

1 ? ? cos? ,且 ? ? (0, ) , 2 2

结束

?
4

的值为____▲____.

)

(第 9 题图)

?? x 2 ? ax, x ? 1, 11.已知函数 f ( x) ? ? 若 ?x1 , x2 ? R, x1 ? x2 ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则实 x ? 1, ?ax ? 1, 数 a 的取值范围是 ▲ . 12.四棱锥 P ? ABCD 的五个顶点都在一个球面上,且底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,

PA ? ABCD , PA ? 2 ,则该球的体积为 ▲ . 13.在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 9 ,sin B ? cos A ? sin C , S ?ABC ? 6 , P 为线段 AB 上
的点,且 CP ? x ? ,则 xy 的最大值为 ▲ . | CA | | CB | b ?a ? 0, b ? 0? 的函数称为“莫言函数” 14.我们把形如 y ? ,并把其与 y 轴的交点关 x ?a
1

CA

? y?

CB

于原点的对称点称为“莫言点” “莫言点”为圆心凡是与“莫言函数”图象有公共点的 ,以 圆, 皆称之为 莫言圆”当 a ? 1 , ? 1 时, “ . 在所有的 莫言圆” 面积的最小值 “ 中, ▲ . b 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说 ....... 明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分)

? 3 sin ?x ? 3(? ? 0) 在一个周期内的图象如图所示, A 为 2 图象的最高点, B 、 C 为图象与 x 轴的交点,且 ?ABC 为正三角形. (Ⅰ)求 ? 的值及函数 f ( x) 的值域;
函数 f ( x) ? 6 cos2 (Ⅱ)若 f ( x0 ) ?

?x

8 3 10 2 ,且 x0 ? (? , ) ,求 f ( x0 ? 1) 的值. 5 3 3

16. (本小题满分 14 分) 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,AB ? BB1 ?

1 BC ? a ,?ABC ? 90? ,N 、F 分别为 A1C1 、 2

B1C1 的中点. (Ⅰ)求证: CF ? 平面 NFB ; (Ⅱ)求四面体 F ? BCN 的体积.

17. (本小题满分14分) 提高大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.一般情况下,大桥上的车流 速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当车流密度不超过50辆/千米 时,车流速度为30千米/小时.研究表明:当50<x≤200时,车流速度v与车流密度x满足

v( x) ? 40 ?

k .当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0 250 ? x

千米/小时. (Ⅰ)当0<x≤200时,求函数v(x)的表达式; (Ⅱ)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上观测点的车辆数,单位: 辆/小时)f(x)=x· v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到个位,参考数据 5 ? 2.236 )
2

18. (本小题满分 16 分)

x2 y2 1 已知椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 (2, 3 ) ,且它的离心率 e ? .直线 2 a b l : y ? kx ? t 与椭圆 C1 交于 M 、 N 两点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;

3 时,求证: M 、 N 两点的横坐标的平方和为定值; 2 2 2 (Ⅲ)若直线 l 与圆 C 2 : ( x ? 1) ? y ? 1 相切,椭圆上一点 P 满足 OM ? ON ? ? OP ,求
(Ⅱ)当 k ? 实数 ? 的取值范围. y N

O M

x

19. (本小题满分 16 分)
* 设各项均为正实数的数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且满足 4S n ? (a n ? 1) ( n ? N ) .
2

(Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)设数列 {bn } 的通项公式为 bn ?

an * (t ? N*) ,若 b1 , b2 , bm ( m ? 3, m ? N ) an ? t

成等差数列,求 t 和 m 的值; (Ⅲ)证明:存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形,其三边长为数列 {a n } 中 的三项 a n1 , a n2 , a n3 .

3

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? e ? ?e ,其中 a, ? 是常数,且 0 ? ? ? 1 . (I)求函数 f ( x) 的极值;
?x ? (1?? ) a
x

ex ?1 ? 1 ? a 成立?若存在,求 (II)对任意给定的正实数 a ,是否存在正数 x ,使不等式 x 出 x ,若不存在,说明理由; ( III ) 设 ?1 , ?2 ? (0,??) , 且 ?1 ? ?2 ? 1 , 证 明 : 对 任 意 正 数 a1 , a 2 都 有 :
? a1?1 a2 2 ? ?1a1 ? ? 2 a2 .

4



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