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用数学归纳法证明不等式



什么是数学归纳法 ? 一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有 正整数n都成立时,可以用以下两个步骤: (1)证明当n=n0时命题成立; (2)假设当n=k (k ? N ? , 且k ? n0 ) 时命题成立,证明n=k+1 时命题也成立. 在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0的 所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.

用数学归纳法证明时,要分两个步骤,两者缺一不可.

(1)证明了第一步,就获得了递推的基础,但仅靠这一步还 不能说明结论的正确性.(在这一步中,只需验证命题结论 成立的最小的正整数就可以了,没有必要验证命题对几个 正整数成立.)
(2)证明了第二步,就获得了推理的依据.仅有第二步 而没有第一步,则失去了递推的基础;而只有第一步 而没有第二步,就可能得出不正确的结论,因为单靠 第一步,我们无法递推下去,所以我们无法判断命题 对n0+1,n0+2,…,是否正确.

在第二步中,n=k命题成立,可以作为条件加以运用,而 n=k+1时的情况则有待利用命题的已知条件,公理,定理, 定义加以证明.

完成一,二步后,最后对命题做一个总的结论.

例1观察下面两个数列, 从第几项起an 始终小于bn ?

?a ?b

证明你的结论.
n n

n

? ? 2 ?: 2,4,8,16,32,64,128,256,512, ?.
? n 2 : 1,4,9,16,25,36,49,64,81, ?;

由数列的前几项猜想, 从第5项起, an ? bn , 即n 2 ? 2n (n ? N ? , n ? 5)

证明 : (1)当n ? 5时有52 ? 25 , 命题成立

(2)假设当n ? k (k ? 5)时命题成立, 即有k 2 ? 2 k . 当n ? k ? 1时, 有 2 k ?1 ? 2 k ? 2 k ? k 2 ? k 2 ? k 2 ? 2k ? 1 ? (k ? 1) 2

即当n ? k ? 1时命题成立. 由(1)( 2)可知, n ? 2 (n ? N ? , n ? 5)
2 n

例2.证明不等式 sin n? ? n sin ? (n ? N ? )
证明: (1)当n ? 1时, 上式左边 ? sin ? ? 右边, 不等式成立.
(2)假设当n ? k (k ? 1)时, 命题成立,即有 sin k? ? k sin ? . 当n ? k ? 1时, 有 sin( k ? 1)? ? sin k? cos ? ? cos k? sin ? ? sin k? cos ? ? cos k? sin ? ? sin k? ? sin ? ? k sin ? ? sin ? ? (k ? 1) sin ?

即当n ? k ? 1时不等式成立. 由(1)( 2)可知, 不等式对一切正整数n均成立.

例3.证明贝努利不等式 : 如果x是实数, 且x ? ?1, x ? 0, n为大于1的自然数, 那么有 (1 ? x) ? 1 ? nx
n

分析:贝努利不等式中涉及两个字母,X表示大于-1且 不等于0的任意实数,N上大于1的自然数,我们利用数 学归纳法只能对N进行归纳.

证明 : (1)当n ? 2时,由x ? 0得(1 ? x) ? 1 ? 2 x ? x ? 1 ? 2 x,
2 2

不等式成立.

(2)假设当n ? k (k ? 2)时不等式成立, 即有 (1 ? x) k ? 1 ? kx. (1 ? x)
k ?1 2

当n ? k ? 1时,
k

? (1 ? x)(1 ? x) ? (1 ? x)(1 ? kx)

? 1 ? x ? kx ? kx ? 1 ? (k ? 1) x

?当n ? k ? 1时不等式成立. 由(1)( 2)可知,贝努利不等式成立.

当x是实数, 且x ? ?1, x ? 0时,由贝努利不等式可得 x n nx (1 ? ) ? 1? , 对一切不小于2的正整数n成立 1? x 1? x

把贝努利不等式中的正整数n改为实数?时, 仍有 类似不等式成立. 当?是实数, 并且满足? ? 1或者? ? 0时, 有 (1 ? x)? ? 1 ? ?x( x ? ?1) 当?是实数, 并且满足0 ? ? ? 1时, 有 (1 ? x)? ? 1 ? ?x( x ? ?1)

例4.证明 : 如果n(n为正整数)个正数a1 , a2 ,?, an的 乘积a1a2 ? an ? 1, 那么它们的和a1 ? a2 ? ? ? an ? n.
证明: (1)当n ? 1时, 有a1 ? 1, 命题成立.
(2)假设当n ? k时, 命题成立.即若k个正数的乘积a1a2 ? ak ? 1, 则 a1 ? a2 ? ? ? ak ? k

当n ? k ? 1时,已知k ? 1个正数a1 , a2 ,?, ak , ak ?1满足条件 a1a2 ? ak ?1 ? 1.

若这k ? 1个正数a1 , a2 ,?, ak , ak ?1都相等, 则它们都是1, 其和为 k ? 1, 命题得证

若这k ? 1个正数a1 , a2 ,?, ak , ak ?1不全相等, 则其中必有大于1的数 也有小于1的数(否则与a1a2 ? ak ?1 ? 1矛盾).不妨设a1 ? 1, a2 ? 1.

为利用归纳假设, 我们把乘积a1a2看作一个数, 这样就得到k个正数 a1a2 , a3 ,?, ak , ak ?1的乘积是1,由归纳假设可以得到 a1a2 ? a3 ? ? ? ak ? ak ?1 ? k

? a3 ? a4 ? ? ? ak ? ak ?1 ? k ? a1a2
? a1 ? a2 ? ? ? ak ? ak ?1 ? (k ? 1) ? a1 ? a2 ? k ? a1a2 ? k ? 1 ? a1 ? a2 ? a1a2 ? 1 ? ?(a1 ? 1)( a2 ? 1)
? a1 ? 1, a2 ? 1,? ?(a1 ? 1)( a2 ? 1) ? 0 ? a1 ? a2 ? ? ? ak ? ak ?1 ? k ? 1 ? 0, 即 a1 ? a2 ? ? ? ak ? ak ?1 ? k ? 1?当n ? k ? 1时命题成立

由(1)( 2)可知, 对一切正整数n, 如果n个正数a1 , a2 ,?, an的 乘积a1a2 ? an ? 1, 那么它们的和a1 ? a2 ? ? ? an ? n成立.

1.进一步理解和运用数学归纳法解题 2.贝努利不等式:
如果x是实数, 且x ? ?1, x ? 0, n为大于1的自然数, 那么有 (1 ? x) ? 1 ? nx
n



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