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等差数列前n项和第二课时



复习1: 数列

?an前 ? n项和:

一般地,我们

用 S 表示,即 S ? a ? a ? ? ? a n n 1 2 n
性质:若数列 ?an ? 前n项和为s n ,则
S S ? ( n ? 2) n? n ? 1 a ? n? S ( n ? 1) 1 ?
若m+n=p+

q,则am+an=ap+aq

a ? a ? ? ? a 为数列的 n 项和 1 2 n

复习2:公式
n 1

? 1. a ? a ? ( n ? 1 ) d ? a ? () n ? m d

当d≠0时,这是关于n的 一个一次函数。

? 2. ? 3.

a ? a ? a n 1 a n m d ? ? n ? 1 nm ?

m

n ( a ? a ) n ( n ? 1 ) 1 n S ? ?? n a d n 1 2 2
n n

在a 中,知三可以求二. , d ,, n a , S
1

等差数列前 n 项和公式与函数的关系 n?n-1? d 2 d 由于 Sn=na1+ 2 d=2n +(a1-2)n, d d 设 a=2,b=a1-2,则有 Sn=an2+bn. d d 当 n=1 时,S1=a+b=2+(a1-2)=a1, 又当 n≥2 时, 有 an=Sn-Sn-1=an2+bn-a(n-1)2-b(n -1)=2an+b-a=a1+(n-1)d,故数列{an}为等差数列.

①等差数列的前 n 项和公式与函数的关系给出了一种判断 数列是否为等差数列的方法: 若数列前 n 项和 Sn=an2+bn+c,那么当 c=0 时,数 列是一个首项为 a+b,公差为 2a 的等差数列;当 c≠0 时, 数列不是一个等差数列.

例3 (1) 若数列{an}的前n项和sn=-2n2+n, {an}是否为等差数列?若是,它的首项和 公差是多少?若不是,说明理由。

(2) 数列{an}的前n项和Sn=-2n2+n+1, 数列{an}是否为等差数列?若是,给予证 明;若不是,说明理由。

解: (1)由于 Sn=-2n2+n,Sn-1=-2(n-1)2+(n-1) 当 n≥2 时,有 an=Sn-Sn-1 =(-2n2+n)-(-2(n-1)2+(n-1) ) =-4n+3 (1)

又当 n=1 时,a1=S1=-2×12+1=,也满足(1)式。 故数列{an}的通项公式为 an=-4n+3 数列{an}为首项是-1,公差为-4 的等差数列. (2) 不是,略 ,

②当 a≠0(即 d≠0)时, Sn 是关于 n 的二次式, 亦即点(n, Sn)在二次函数 y=ax2+bx 的图象上.从而,当 d≠0 时,由 {an}的前 n 项和 Sn 组成的新数列 S1,S2,S3,…,Sn,…的 图象是二次函数 y=ax2+bx 的图象上一系列孤立的点.当 d≠0 时,Sn 是关于 n 的二次式且常数项为 0,因而,我们可 以借助二次函数的图象和性质(单调性、最值)来研究等差数 列前 n 项和的有关问题.

思考感悟
等差数列前 n 项和 Sn 最值的求法 (1)通项法 ①当 a1>0,d<0 时,{an}只有前面的有限项为非负数;从
? ?am≥0, 某项开始其余所有项均为负数,所以由? ? ?am+1≤0

可得 Sn 的最

大值为 Sm. ②当 a1<0,d>0 时,{an}只有前面的有限项为非正数,从
? ?am≤0, 某项开始其余所有项均为正数,所以由? ? ?am+1≥0

可得 Sn 的最

小值为 Sm.

(2)二次函数法 d 2 d 由于 Sn=2n +(a1-2)n(d≠0)是关于 n 的二次函数式, 因此 可利用配方法求出二次函数的最值来确定 Sn 的最值,但应注意 n∈N*.

例4.己知等差数列
5,
2 4 7 4 , 3 ,… 7
答案: (7或8).

的前n项和为Sn, 求使得Sn最大的序号n的值.
2 4 解:由题意知,等差数列5, 4 , 3 , …的公差 7 7
5 n ? 为 7 ,所以sn= 2
5 [2×5+(n-1)( ? 7

)]
15 n- 2 1125 2 ) + 56

=

75 n?5 n2 14

=

?

5 ( 14

设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a1=-11, a4+a6=-6, 则当 Sn 取最小值时,n 等于( A.6 C.8 [ 答案]
A

) B.7 D.9

[ 解析]

设等差数列的公差为 d,

∵a4+a6=-6,得 2a5=-6,∴a5=-3. 又∵a1=-11,∴-3=-11+4d,∴d=2. n?n-1? ∴Sn=-11n+ 2 ×2=n2-12n=(n-6)2-36, 故当 n=6 时,Sn 取得最小值,故选 A.

在等差数列{an}中,a1=25,S17=S9,试求其前 n 项和 Sn 的最大值. 17 [ 解析] 解法一:由 S17=S9,得 25×17+ 2 ×(17-1)d=
9 25×9+2×(9-1)d,解得 d=-2. 1 ∴Sn=25n+2n(n-1)· (-2)=-(n-13)2+169, ∴当 n=13 时,Sn 有最大值 169.

解法二:先求出 d=-2(同解法一).
? ?an=25-2?n-1?≥0 ∵a1=25>0,由? ? ?an+1=25-2n≤0



1 1 得 122≤n≤132,∴当 n=13 时,Sn 有最大值.

小结: 1.若数列前n项和Sn=an2+bn+c,那么当c=0时,数列是 一个首项为a+b,公差为2a的等差数列;当c≠0时,数列 不是一个等差数列.

2. ( 1 )、 等差数列的前 n 项和

n(n ? 1)d d2 d S ? na ? ? + (- )n (d ≠ 0) 的 图 n 1 1 2 2 2 象是相 应是相 孤立的点,它的 应抛物 最 值由二次 线

na

物 线线的 。 开口)决定
(2)不等式法:

?am ? 0 ①当 a1>0,d<0 时,由 ? ? Sm 为最大值; ?am ?1 ? 0 ?am ? 0 ②当 a1<0,d>0 时,由 ? ? Sm 为最小值. ?am ?1 ? 0



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