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2013年高考数学三角函数试题(高一)



2013 年高考数学三角函数试题
1.新课标 1 文(9)函数 f ( x) ? (1 ? cos x)sin x 在 [ ?? , ? ] 的图像大致为( )

f (? x) ? ? f ( x),f ( x)为奇函数,排除B。f ( ) ? 1, 排除Ax ? (0, )时,? f ( x) ? 1故答案为C 0 2 2
2.新课标1

文 (16) 设当 x ? ? 时, 函数 f ( x) ? sin x ? 2cos x 取得最大值, cos ? ? ______. 则

?

?

答案:

-2 5 5
2 ? 2 ,则 cos (? ? ) ? ( 3 4 1 1 (B) (C) 3 2
) (D)

3.新课标 2 文 6、已知 sin 2? ? (A)

1 6

2 3

【答案】A

1 ? cos 2(? ? ) 1 ? cos(2? ? ) 4 ? 2 ? 1 ? sin 2? , 所 以 【 解 析 】 因 为 cos2 (? ? ) ? 4 2 2 2 2 1? ? 1 ? sin 2? 3 ? 1 ,选 A. cos2 (? ? ) ? ? 4 2 2 6 ? 4.新课标 2(16)函数 y ? cos(2 x ? ? )(?? ? ? ? ? ) 的图象向右平移 个单位后,与函数 2 ? y ? sin(2 x ? ) 的图象重合,则 ? ? _________。 3 5? 【答案】 6 ? ? 2 ) 2 ) 【 解 析 】 函 数 y ? c o s (x ? ? , 向 右 平 移 个 单 位 , 得 到 y ? s i n (x ? ,即 3 2

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? 个单位, y ? sin[2( x ? ) ? ] ? sin(2 x ? ? ? ) ? ? sin(2 x ? ) ? cos( ? 2 x ? ) 得 2 3 3 3 2 3 2 5? 5? ? cos(2 x ? ) ,即 ? ? 。 6 6
?? ? ? ?? 5.天津文(6) 函数 f ( x) ? sin ? 2 x ? ? 在区间 ?0, ? 上的最小值是 4? ? ? 2?
(A) ?1 (C) 答案:B 6.四川文 6、 5 函数 f ( x) ? 2sin( ? x ? ?)( ? ? 0, ? 理 所示,则 ? , ? 的值分别是( (A) 2, ? ) (B) 2, ?
2 2

y ? sin(2 x ? ) 向左平移 个单位得到函数 y ? cos(2x ? ? ) , y ? sin(2 x ? ) 向左平移 3 3 2

?

?

?

(B) ? (D) 0

2 2

?

? ? ? ) 的部分图象如图 2 2

?

2
11π 12

?
3

?
6

O -2

5π 12

(C) 4, ? 答案:A

?
6

(D) 4,

?
3

7.四川文 14、理 13.设 sin 2? ? ? sin ? ,? ? ( 8.浙江文 6、函数 f(x)=sin xcos x+ A、π ,1 答案:A B、π ,2

?
2

, ? ) ,则 tan2 ? 的值是____________。 3

3 cos 2x 的最小正周期和振幅分别是 2 D、2π ,2

C、2π ,1

9.山东文(9)理 8、函数 y ? x cos x ? sin x 的图象大致为

解: f ( x)为奇函数,排除B,x ?

?
2

时y ? 1, 排除C,x ? ? 时y ? ?? 排除A,故答案为D

10.山东理(5)将函数 y=sin(2x + ? )的图像沿 x 轴向左平移 函数的图像,则 ? 的一个可能取值为 (A)

? 个单位后,得到一个偶 8

3? 4

(B)

? 4

(C)0

(D) ?

?
4

【答案】B 【 解 析 】 将 函 数 y=sin ( 2x + ? ) 的 图 像 沿 x 轴 向 左 平 移

?

y ? sin[2( x ? ) ? ? ] ? sin(2 x ? ? ? ) , 因 为 此 时 函 数 为 偶 函 数 , 所 以 8 4

?

?

? 个单位,得到函数 8

4

?? ?

?

2

? k? , k ? Z ,即 ? ?

?

4

? k? , k ? Z ,所以选 B.
5 , 则cosa ? 13 5 12 (C) (D) 13 13

11.全国大纲文(2)已知 a 是第二象限角, sin a ? (A) ?

12 13

(B) ?

5 13

答案:A 12.全国大纲文(9)若函数

y ? sin ??x ? ? ??? ? 0?的部分图像如图,则?=
(A) 5 答案:B (B) 4 (C) 3 (D) 2

13.江西文 3. 若 sin A. ? [答案]:C

?
2

?
1 3
2

3 ,则 cos ? ? 3
C.





2 3

B. ?

1 3

D.

2 3

[解析]: cos ? ? 1 ? 2sin

?

1 1 ? 1? 2? ? 2 3 3

14.湖北文 6 理 4. 将函数 y ? 3cos x ? sin x ( x ? R) 的图象向左平移 m (m ? 0) 个单位长度 后,所得到的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是 A.

π 12

B.

π 6

C.

π 3

D.

5π 6

15.广东文 4.已知 sin( A. ?

2 5

5? 1 ? ? ) ? ,那么 cos? ? 2 5 1 1 2 B. ? C. D. 5 5 5

【解析】 :考查三角函数诱导公式,

sin(

5? ? 1 ?? ? ? ? ) ? sin(2? + ? ? ) ? sin ? ? ? ? ? cos ? ? ,选 C. 2 2 5 ?2 ?

16.福建文 9.将函数 f ( x) ? sin( 2 x ? ? )(?

?
2

?? ?

?
2

) 的图象向右平移 ? (? ? 0) 个单位长

度后得到函数 g (x) 的图象,若 f ( x), g ( x) 的图象都经过点 P (0, ( A. )

3 ) ,则 ? 的值可以是 2

5? 3

B.

5? 6

C.

? 2

D.

? 6
3 ) 代 入 2
? 2? ) , 把

【答案】B 【 解 析 】 本 题 考 查 的 三 角 函 数 的 图 像 的 平 移 . 把 P (0,

f ( x) ? sin( 2 x ? ? )(?

?
2

?? ?

?
2

) ,解得? ?

?
3

, 所 以 g ( x) ? sin(2 x ?

?
3

P(0,

3 ? ) 代入得, ? ? k? 或 ? ? k? ? ,观察选项,故选 B 6 2
0 0

17.重庆理 9、 4cos50 ? tan 40 ?



) D、 2 2 ?1

A、 2 【答案】 :C

B、

2? 3 2

C、 3

18.浙江理 3 已知 ? ? R, sin ? ? 2 cos? ?

10 ,则 tan 2? ? 2

A.

4 3

B.

3 4

C. ?

3 4

D. ?

4 3

答案 C 20.新课标 2 理 (15) θ 为第二象限角, tan ? ? ? 设 若

? ?

??

1 ?? 4? 2

s o s , n ?? 则i c

? =_________.

答案: -

10 5
1 3

sin 21.全国大纲理(13)已知 a是第三象限角, a ? ? , 则 cot a ?

.

答案: 2 2
22.江西文 13 设 f(x)= 值范围是 。 [答案]: a ? 2 [解析]: f ( x) ? 3sin3x ? cos3x ? 2sin(3x ? ? ) 得 | f ( x) |? 2 故 a ? 2 23.江苏 1.函数 y ? 3 sin( 2 x ? 解析: T = sin3x+cos3x,若对任意实数 x 都有|f(x)|≤a,则实数 a 的取

?
4

) 的最小正周期为



.

2? =? 2

24.重庆理 11.函数 y ? sin 2 x ? 2 3sin 2 x 的最小正周期为 T 为



2 25.重庆文(15)设 0 ? ? ? ? ,不等式 8x ? (8sin ? ) x ? cos 2? ? 0 对 x ? R 恒成立,则 a

的取值范围为 【答案】 [0,



?
6

]?[

5? ,? ]. 6

26.天津理(15) (本小题满分 13 分) ?? ? 已知函数 f ( x) ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 6sin x cos x ? 2 cos 2 x ? 1, x ? R . 4? ? (Ⅰ) 求 f(x)的最小正周期; ? ?? (Ⅱ) 求 f(x)在区间 ?0, ? 上的最大值和最小值. ? 2?

27.重庆理 16.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中, A, C 所对的边分别为 a, c, 角 B, b, 已知 cosC+ (conA(1) 求角 B 的大小; (2) 若 a+c=1,求 b 的取值范围 sinA) cosB=0.

28.江苏 15.(本小题满分 14 分) 已知 a ? ? cos?,sin? ? , b ? ? cos?,sin? ? , 0 ? (1) 若 a ? b ?

?

?

? ?? ?? .

?

?

2 ,求证: a ? b ;

?

?

(2) 设 c ? ? 0,1? ,若 a ? b ? c ,求 ? , ? 的值. 解:(1) a ? ? cos ? ,sin ? ? , b ? ? cos ? ,sin ? ? ,0 ? ? ? ? ? ?

?

?

?

?

?

?

? ? ? a ?b ? 2

? ?2 ? a ?b ? 2

?2 ?2 ?? ? a ? b ? 2ab ? 2
? ? 1 ? 1? 2 ? b ? 2 a
? ? a ?b ? 0 ? ? ?a ? b

? ? ? ? ? c ? ? 0 , 1 a? b c ? , ? ? ? c o s ? c o? ? s , sin ??

(2)

?? n ?s i ?

?

0,1

? c o s ? c o s? ①0 ? ? ? s i n ? s i?n? ②1 ?
①2 +②2 得: 2+2cos ?? ? ? ? ? 1
cos ?? ? ? ? ? ? 1 2

?0 ? ? ? ? ? ? ?0 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 2? 3

cos ? ? cos ? ? 0
又?? ? ? ? ?

?? ?

5? ? ,? ? 6 6
1 cos 4 x 2

29.北京文(15) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? (2 cos x ? 1) sin 2 x ?
2

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期及最大值;

(Ⅱ)若 ? ? (

?
2

, ? ) ,且 f (? ) ?

2 ,求 ? 的值。 2

30.安徽文(16) (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? sin x ? sin( x ?

?
3

).

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小值,并求使 f ( x ) 取得最小值的 x 的集合; (Ⅱ)不画图,说明函数 y ? f ( x) 的图像可由 y ? sin x 的图象经过怎样的变化得到. 【解析】 (1) f ( x) ? sin x ? sin x cos

?
3

? cos x sin

?
3

1 3 3 3 ? sin x ? sin x ? cos x ? sin x ? cos x 2 2 2 2

3 3 ? ? ? ( ) 2 ? ( ) 2 sin( x ? ) ? 3 sin( x ? ) 2 2 6 6
3? 4? ? 2k? ,? x ? ? 2k? , (k ? Z ) 6 6 2 3 4? 所以, f (x) 的最小值为 ? 3 ,此时 x 的集合 {x | x ? ? 2k? , k ? Z } . 3
当 sin( x ?

?

) ? ?1 时, f ( x) min ? ? 3 ,此时 x ?

?

?

(2) y ? sin x 横坐标不变,纵坐标变为原来的 3 倍,得 y ? 3 sin x ; 然后 y ? 3 sin x 向左平移

?
6

个单位,得 f ( x) ? 3 sin( x ?

?
6

)

【考点定位】本题主要考查三角恒等变形、三角函数的图像及性质与三角函数图像的变换. 考查逻辑推理和运算求解能力,中等难度. 31.安徽理(16) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 4cos? x ? sin ?? x ? (Ⅰ)求? 的值; (Ⅱ)讨论 f ( x ) 在区间 ? 0, 2? 上的单调性。 【答案】 (Ⅰ) 1 (Ⅱ) y ? f ( x)在[0, 【解析】 (Ⅰ)

? ?

??

? (? ? 0) 的最小正周期为 ? 。 4?

?

]上单调递增;在 [ , ]上单调递减 . 8 8 2

? ?

? 2 2 cos ?x(sin ?x ? cos ?x) ? 2 (sin 2?x ? cos 2?x ? 1) ? 2 sin( 2?x ? ? 2? ? ? ? ? ? ? 1 .所以 f ( x) ? 2 sin( 2 x ? ) ? 2 , ? ? 1 2? 4

?
4

)? 2

(Ⅱ) 当x ? [0,

?

所以 y ? f ( x)在[0,

2 ?

]时, x ? (2

?

8

]上单调递增;在 [ , ]上单调递减 . 8 2

) ? [ , ? ? ],令 2 x ? ? 解得 x ? ; 4 4 4 4 2 8 ? ?

?

?

?

?

?

32.广东文 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

? ? ? 2 cos ? x ? ? , x ? R . ? 12 ?

(1) 求 f ?

?? ? ? 的值; ?3? 3 ? 3? ? ,? ? ? , 2? ? ,求 5 ? 2 ?

(2) 若 cos ? ?

?? ? f ?? ? ? . 6? ?

【解析】(1) f ?

?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 2 cos ? ? ? ? 2 cos ? ? ? 1 ?3? ? 3 12 ? ?4?
4 3 ? 3? ? , ? ? ? , 2? ? , sin ? ? ? 1 ? cos 2 ? ? ? , 5 5 ? 2 ?

(2)? cos ? ?

?? ?? ? ?? 1 ? ? ? ? f ? ? ? ? = 2 cos ? ? ? ? ? 2 ? cos ? cos ? sin ? sin ? ? ? . 6? 4? 4 4? 5 ? ? ?
? ? ? 33.广东理 16. 已知函数 f ( x) ? 2 cos ? x ? ? , x ? R . 12 ? ?
(Ⅰ) 求 f ? ?

? ?? ? 的值; ? 6?

(Ⅱ) 若 cos ? ?

3 ? 3? ? ,? ? ? , 2? ? ,求 5 ? 2 ?

?? ? f ? 2? ? ? . 3? ?

【解析】(Ⅰ) f ? ? (Ⅱ) f ? 2? ? 因为 cos ? ?

? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? 2 cos ? ? ? ? ? 2 cos ? ? ? ? 2 cos ? 1 ; 4 ? 6? ? 6 12 ? ? 4?

? ?

??

? ? ? ?? ? ? ? ? 2 cos ? 2? ? ? ? ? 2 cos ? 2? ? ? ? cos 2? ? sin 2? 3? 3 12 ? 4? ? ?

3 4 ? 3? ? ,? ? ? , 2? ? ,所以 sin ? ? ? , 5 5 ? 2 ? 24 7 2 2 , cos 2? ? cos ? ? sin ? ? ? 25 25

所以 sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ? 所以 f ? 2? ?

? ?

7 ? 24 ? 17 ?? . ? ? cos 2? ? sin 2? ? ? ? ? ? ? ? 25 ? 25 ? 25 3?

34.湖南文 16.(本小题满分 12 分) 已知函数

(1)求 f (

2? 1 ) 的值; (2)求使 f ( x ) ? 成立的 x 的取值集合 3 4

35.湖南理 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin( x ?

?

? x ) ? cos( x ? ).g ( x) ? 2sin 2 。 6 3 2
3 3 。求 g (? ) 的值; 5

(I)若 ? 是第一象限角,且 f (? ) ?

(II)求使 f ( x) ? g ( x) 成立的 x 的取值集合。

36.辽宁文理 17. (本小题满分 12 分) 设向量 a ?

?

? ?? 3 sin x,sin x , b ? ? cos x,sinx ? , x ? ?0, ? . ? 2?

?

(I)若 a ? b .求x的值; (II)设函数 f ? x ? ? a? , 求f ? x ?的最大值. b

(Ⅰ) (1)一般给出模的关系就可以考虑把模平方,进而可以把向量问题转化为三角函数问 题求出 4sin x ? 1 (2)因为 x ? [0,
2

?
2

] ,根据象限符号知 sin x ? 0 求出 sin x ?

x?

?
6

1 ,所以 2



(Ⅱ)通过降幂公式和二倍角公式可化简 f ( x) ? sin(2 x ? 37.山东文(18)(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ?

?
6

)?

1 3 ,最后解得最大值为 。 2 2

3 ? 3 sin 2 ? x ? sin ? x cos ? x (? ? 0) ,且 y ? f ( x) 的图象的一个 2

对称中心到最近的对称轴的距离为 (Ⅰ)求 ? 的值 (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 [? ,

? , 4

3? ] 上的最大值和最小值 2

38.陕西文、理 16. (本小题满分 12 分)

1 b 已知向量 a ? (cos x, ? ), b ? ( 3 sin x,cos 2 x), x ? R , 设函数 f ( x) ? a· . 2 (Ⅰ) 求 f (x)的最小正周期. ? ?? (Ⅱ) 求 f (x) 在 ?0, ? 上的最大值和最小值. ? 2?

【答案】(Ⅰ)

?.

(Ⅱ) 1, ?

1 . 2

b (Ⅰ) f ( x) ? a· = cos x ? 3 sin x ?

1 3 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) 。 2 2 2 6

最小正周期 T ?

2? ?? 。 2

所以 f ( x) ? sin( 2 x ? (Ⅱ)

?
6

), 最小正周期为 ? 。

? ? ? 5? ? 5? 当x ? [0, ]时, x ? ) ? [- , ],由标准函数 y ? sin x在[- , ]上的图像知, (2 . 2 6 6 6 6 6
f ( x) ? sin( 2 x ?

?

? ? 1 ) ? [ f (- ), f ( )] ? [? ,1] . 6 6 2 2

1 ? ?? 所以,f (x) 在 ?0, ? 上的最大值和最小值分别为 1, ? . 2 ? 2?



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