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二项式定理课件-完美版



一、知识梳理
1.二项式定理

?a ? b?

一般地,对于任意正整数n
n

? C a ? C a b ? ?? C a b ? ?? C b , n ? N
0 n n n n n

1 n ?1 1 n

r n?r r n

/>?

这个公式所表示的定理叫做二项式定理,

右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式,
其中

C (r ? 0,1,2,?, n)
r n

叫做二项式系数

特点:

(1)共n+1有项; (2)二项式系数是从n个不同元素中取出0,1,2, 0 1 n 3,…,n个元素的组合数,即 Cn , Cn ,?, Cn . (3)a按降幂排列,b按升幂排列,每一项中a与b的 指数和为n。

2.通项公式
式中的 表示。即

Ca b

r n

n ? r r 叫做二项展开式的通项,用

Tr ?1

Tr ?1 ? C a b 第 r ? 1 项
r n?r r n

注意:
(1)表示第r+1项;
(2)通项公式中的a与b的位置不能换.

(3)要得到 C r a n?r b r即在(a+b)n中,有r个因式取b, n 余下n-r个因式取a。

3.二项式系数与某项系数的区别:
r 二项式系数是 C n ,某项的系数包括二项式系数和 二项式中a,b系数及常数展出部分。

4.二项式系数的性质
(1)对称性:到首末距离相等的两项的二项式系数 r n ?r 相等,即 Cn ? Cn
(2)增减性即最大值 r n f (r) ? Cn 在[0, n ] 上是增函数 ; 在 [ 2 2 , n]上是减函数。

当n为偶数时, f (r ) max ? f ( n 2 ) ? Cn

n 2

?1 ?1 当n为奇数时, f (r ) max ? f ( n2 ) ? f ( n2 ) ? Cn ? Cn (3)二项式系数和为

n ?1 2

n ?1 2

C ? C ? C ? ?? C ? 2
0 n 1 n 2 n n n

n

奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和等于
2n-1,即
0 2 4 1 3 5 Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? Cn ? ? ? 2n?1

1 . 若 (x - 1)4= a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4, 则a0+a2+a4的值为( B ) A. 9 B.8 C. 7 D. 6

2.计算并求值

(1) 1 ? 2C ? 4C ? ? ? 2 C
1 n 2 n n
5 4

(2) ( x ? 1) ? 5( x ? 1) ? 10( x ? 1) ? 10( x ? 1)
3

n n

2

? 5( x ? 1)
0 n n

( 1)

原式 ? C 1 ? C 1 ?2 ? C 1 ?2 ? ? ? C 2
2

? (1 ? 2) ? 3
n

1 n ?1 n

2 n?2 n

n n n

n

(2)原式

? C ( x ? 1) ?C ( x ? 1) ?C ( x ? 1) 4 5 5 3 2 ?C5 ( x ? 1) ?C5 ( x ? 1)?C5 ?C5
0 5 5
1 5 4 2 5

3

? [( x ? 1) ? 1] ? 1
5

? x ?1
5

3 . 若(

)n的展开式中各项系数之和为64,

则 展开式的常数项为( A ) A.-540 B.-162 C.162

D.540

4.(2010·上海春)在 项是________.

的二项展开式中,常数

答案:60

二、题型与方法
考点一 通项公式的应用
通项公式中含有a,b,n,r,Tr+15个元素,只要知 道了其中的4个元素,就可以求出第5个元素,在求展开式 中的指定项问题时,一般是利用通项公式,把问题转化为 解方程(或方程组).这里必须注意隐含条件n,r均为非负 整数且r≤n.

项。

例1 已知在 ( x ?
3

1 23 x

) n的展开式中,第6项为常数

(1)求n; (2)求含x2的项的系数; (3)求展开式中所有的有理项.

变式



?

x ? 3 x 展开式中的有理项

?

9

【规律小结】 (1)对求指定项、常数项问题,常用 待定系数法,即设第r+1项是指定项(常数项),利用通 项公式写出该项,对同一字母的指数进行合并,根据所给 出的条件(特定项),列出关于r的方程(求解时要注意二项 式系数中n和r的隐含条件,即n,r均为非负整数,且n≥r); 第二步是根据所求的指数,再求所求解的项;

(2)求二项展开式中的有理项,一般是根据通项公式 所得到的项,其所有的未知数的指数恰好都是整数的 项.解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指 数,根据具体要求,令其属于整数,再根据数的整除性来 求解.若求二项展开式中的整式项,则其通项公式中同一 字母的指数应是非负整数,求解方式与求有理项的方式一 致.

n 2 2 n 的展开式的二项式系数和比 3 已知 ( 3 x ? 1 ) ( x?x ) 例2 1 2n (2 x ? ) 的展开 的展开式的二项式系数和大992,求 x 式中: (1)二项式系数最大的项; (2)系数的绝对值最大的项.

变式:已知( )n(n∈N*)的展开式中第五项的系数与第 三项的系数的比是10∶1, (1)证明:展开式中没有常数项; (2)求展开式中含 的项; (3)求展开式中所有的有理项; (4)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.

【规律小结】

1.根据二项式系数的性质,n为奇数时中间两项的二 项式系数最大,n为偶数时中间一项的二项式系数最大. 2.求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项不 同,求展开式中系数最大项的步骤是:先假定第r+1项系 数最大,则它比相邻两项的系数都不小,列出不等式组并 求解此不等式组求得.

课堂互动讲练

课堂互动讲练 考点二 二项式定理展开式的应用
利用二项展开式可以解决如整除、近似计算、不 等式证明、含有组合数的恒等式证明,以及二项式系 数性质的证明等问题.

例3

已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7. 求:(1)a1+a2+…+a7; (2)a1+a3+a5+a7; (3)a0+a2+a4+a6; (4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|.

变式: 若(2x+ )4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4, 则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值是( A ) A.1 B.-1 C.0 D.2

【规律小结】 对二项式展开式中系数、系数和问题,常用赋值法, 一般地,要使展开式中项的关系变为系数的关系,令 x=0 得常数项,令x=1可得所有项系数和,令x=-1可得奇数 次项系数之和与偶数次项系数之和的差,而当二项展开式 中含负值项时,令x=-1则可得各项系数绝对值之和.

考点三 二项式定理的灵活应用

例4

求 1? x ?

?

1 10 的展开式的常数项。 2 x

?

变式:(1)求(x2+x+1)13展开式中x5的系数;
(2)求(2x-1)6(3+x)5展开式中x3的系数.

考点四 整除或余数问题

例5

求91 除以 100 的余数

92

变式题

7777-7 被 19 除所得的余数是________.

51 求证: 51

?1

能被7整除。

6 的近似值,使误差小于 求 0.001 例6 0.998

规律方法小结

(1)整除性问题,余数问题,主要根据二项式定理的 特点,进行添项或减项,凑成能整除的结构,展开后 观察前几项或后几项,再分析整除性或余数。这是解此 类问题的最常用技巧。余数要为正整数

(2)由 (1 ? x) ? 1 ? C n x ? C x ? ...? C x ,当 x 的绝对值与1相比
n 1 2 2 n n n n

很小且 n 很大时, x 2 , x3 ,....x n 等项的绝对值都很小,因此 在精确度允许的范围内可以忽略不计,因此可以用近 (1 ? x)n ? 1 ? nx,在使用这个公式时,要注意按 似计算公式: 问题对精确度的要求,来确定对展开式中各项的取 舍,若精确度要求较高,则可以使用更精确的公式:
n(n ? 1) 2 (1 ? x) ? 1 ? nx ? x 2
n

一、知识梳理
1.二项式定理

?a ? b?

一般地,对于任意正整数n
n

? C a ? C a b ? ?? C a b ? ?? C b , n ? N
0 n n n n n

1 n ?1 1 n

r n?r r n

?

这个公式所表示的定理叫做二项式定理,

右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式,
其中

C (r ? 0,1,2,?, n)
r n

叫做二项式系数

特点:

(1)共n+1有项; (2)二项式系数是从n个不同元素中取出0,1,2, 0 1 n 3,…,n个元素的组合数,即 Cn , Cn ,?, Cn . (3)a按降幂排列,b按升幂排列,每一项中a与b的 指数和为n。

一、知识梳理
1.二项式定理

?a ? b?

一般地,对于任意正整数n
n

? C a ? C a b ? ?? C a b ? ?? C b , n ? N
0 n n n n n

1 n ?1 1 n

r n?r r n

?

这个公式所表示的定理叫做二项式定理,

右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式,
其中

C (r ? 0,1,2,?, n)
r n

叫做二项式系数

特点:

(1)共n+1有项; (2)二项式系数是从n个不同元素中取出0,1,2, 0 1 n 3,…,n个元素的组合数,即 Cn , Cn ,?, Cn . (3)a按降幂排列,b按升幂排列,每一项中a与b的 指数和为n。

一、知识梳理
1.二项式定理

?a ? b?

一般地,对于任意正整数n
n

? C a ? C a b ? ?? C a b ? ?? C b , n ? N
0 n n n n n

1 n ?1 1 n

r n?r r n

?

这个公式所表示的定理叫做二项式定理,

右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式,
其中

C (r ? 0,1,2,?, n)
r n

叫做二项式系数

特点:

(1)共n+1有项; (2)二项式系数是从n个不同元素中取出0,1,2, 0 1 n 3,…,n个元素的组合数,即 Cn , Cn ,?, Cn . (3)a按降幂排列,b按升幂排列,每一项中a与b的 指数和为n。



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