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两直线所成的角2



两 条 直 线 所 成 的 角

制 作 : 杨 同 官

X

两条直线l1与l2相交构成几个角? l2

l1

为了区别这些角,我们把直线l1依 逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角, 叫做l1到l2的角

已知l1:y=k1x+b1, l2:y=k2

x+b2; 如何求l1到l2的角θ?
y l2

?
?1

l1

l1

y

l2

?2

O

x

?2
O

?

?1

x

? ? ? 2 ? ?1

要求θ,可先求什么? 求tg θ,先要想到什么? θ是90°,会出现什么情况?

? ? ? 2 ? (? ? ?1 )

? ? ? 2 ? ?1或1.斜率存在时使用;? ? (? 2 ? ?1 ) ? ? ? 2 ? (? ? ?1 ) ?
如果l1⊥l2,那么k1k2=-1,θ=90°; 2.两直线不垂直时使用;
如果l1不垂直于l2,那么 3.角的有向性,数的有序性 tg? ? tg(? 2 ? ?1 )或tg? ? tg[? ? (? 2 ? ?1 )] ? tg(? 2 ? ?1 )

tg? 2 ? tg? 1 k 2 ? k1 ? tg? ? ? 1 ? tg? 2 tg? 1 1 ? k1k 2

类比

l1 到l2 的角 k2-k1 A到B的线段 xB-xA

从一条直线到另一条直线所成的角,可能大于 直角,也可能不大于直角,其范围是(0,π)

y

l2

?

l1

y

l2

?
?1
l1
x

O

?1 ? 2

x

?2
O

? ? ? 2 ? (? ? ?1 )

? ? ? 2 ? ?1

特殊情况特殊对待

从一条直线到另一条直线所成的角,可 能大于直角,也可能不大于直角,但我们常 常只需要考虑不大于直角的角(就是两条直 线所成的角,简称夹角)

k 2 ? k1 ? tg? ? 1 ? k1 k 2

范围 ? ? ?0?, ?? 90

解题时首先要分清求的是夹角还是一 条直线到另一条直线所成的角

例1 已知直线l1:mx-2y +3=0与 l2:3x-my -5=0的 夹角是45°,求实数m的值. 解:如果m=0, l1⊥ l2,不满足题意,
3 5 l1 : y ? , l2 : x ? 2 3

m 3 ? k1 ? , k 2 ? ∴m≠0 2 m m 3 ? 先考虑直线 ? tg 45? ? 2 m ? 1 的斜率是否存在; m 3 1? ? 再看两直线是否 2 m 垂直;最后用夹 ? m 2 ? 5m ? 6 ? 0 . 解得 m ? ?1 , ? 6 角公式

例2 三角形三边所在直线方程为 AB:x-y+3=0, BC:y=1,CA:x+( 2 - 3 )y -3=0,求三角形 ABC的三个内角.

1.过原点且与直线

3 x-y+1=0成30°角的
)
3x ? 2 y ? 0

直线方程是……………………………(
A. x ? 3 y ? 0 B.

C. x ? 3 y ? 0或x ? 0 D. 3x ? 2 y ? 0或y ? 0

2.两条直线 ? 3 y ? 1 ? 0与 3x ? 3 y ? 5 ? 0 x
的夹角是 ………………………………(
A. 30? B. 60? C. 90?

)

D. 120?

3.求直线 ? 2 ? 0与3x ? 3 y ? 5的夹角。 x
4.求直线 ? 2 y ? 6 ? 0到直线 ? 3 y ? 8 ? 0的角。 x x

5.求直线 ? 5 y ? 1与直线 x ? y ? 4 ? 0的夹角。 x 5

1.斜率存在时使用; 两条直线所成的角
2.两直线不垂直时使用; 1.为了区别这些角,我们把直线l1依逆时针方 3.角的有向性,数的有序性 向旋转到与l2重合时所转的角,叫做l1到l2的角

k 2 ? k1 公式 tg? ? 范围 1 ? k1k 2

? ? ?0?, ?? 180

2.从一条直线到另一条直线所成的角,可能大 于直角,也可能不大于直角,但我们常常只需 要考虑不大于直角的角(就是两条直线所成的 角,简称夹角) 解题时首先要分清求 k 2 ? k1 的是夹角还是一条直线到 公式 tg? ? 范围 ? ? ?0 90 另一条直线所成的角 ?, ? 1 ? k1k 2

?

作业

《教学与测试(苏大)》P112/练习题B



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