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高二数学必修五 2.2.1等差数列 (1)


2.2.1 等差数列 (1)

请观察:
0,5,10,15,20,……
48,53,58,63.




18,15.5,13,10.5,8,5.5.
10072,10144,10216, 10288,10360.




请问:它们有什么共同的特点?
观察相邻两项间的关系,不难归纳和概括出 以上四个数列具有以下共性特点: 从第2项起,每 一项与前一项的差都等于同一个常数.

定义:如果一个数列从第2项起,每一项 与它的前一项 的差都等于同一个常数,那 么这个数列就叫做等差数列. 这个常数叫 做等差数列的公差,公差通常用 d 表示.



an ? an ?1 ? d ( n ? 2)

说 明:由定义 a n ? 1 ? a n ? d 知
当 d = 0 时,数列是常数列;

当 d > 0 时,数列是递增数列; 当 d < 0 时,数列是递减数列.

0,5,10,15,20,…… 48,53,58,63. 18,15.5,13,10.5,8,5.5. 10072,10144,10216, 10288,10360.

① ② ③ ④

由定义知:数列①,② ,③, ④都是等差数列, 以上四组等差数列对应的公差依次是: 5,5,-2.5,72.

想一想:如果已知一个等差数列的首项是 a1 ,
公差是 d ,那么这个数列的通项an 能求出吗? 分析1:根据等差数列的定义: a2 ? a1 ? d , a3 ? a2 ? d , a4 ? a3 ? d ,? a2 ? a1 ? d , 所以 a3 ? a2 ? d ? (a1 ? d ) ? d ? a1 ? 2d ,

a4 ? a3 ? d ? (a1 ? 2d ) ? d ? a1 ? 3d ,

a n ? a 1 ? ( n ? 1)d ( n ? 2 )
由此得到: n

??

a ? a1 ? (n ?1)d.(通项公式)

分析2:根据等差数列的定义:

a2 ? a1 ? d

( 1 ) (2) (3) ( n ? 1)

a3 ? a2 ? d
a4 ? a3 ? d an ? an ?1 ? d

??

将上面 n ? 1 个等式相加得:

an ? a1 ? (n ? 1)d ( n ? 2)
由此得到: n

a ? a1 ? (n ?1)d.(通项公式)

an ? a1 ? (n ?1)d.
在等差数列通项公式中,有四个量,

a1 , d, n, an ,
知道其中的任意三个量,就可以求 出另一个量,即知三求一 .

例1. ⑴ 求等差数列 8,5,2,…的第20项。 ⑵ -401是不是等差数列 -5,-9,-13…的项? 如果是,是第几项? d ? 5 ? 8 ? ? 3 , n ? 20 , 解:⑴ ∵ a1 ? 8 , ? a20 ? 8 ? (20 ? 1) ? (?3) ? ? 49 . ⑵∵ a1 ? ?5, d ? ?9 ? (?5) ? ?4, ? an ? ?5 ? 4(n ? 1).

由? 401 ? ?5 ? 4( n ? 1) 解 得 :n ? 100 .
即 -401是数列的第100项。

例2、在等差数列 ?an ? 中,已知 a5 ? 10 , a12 ? 31 ,求首项a1与公差d 及 a19 .
解:由等差数列通项公式 得:

a1 ? 4d ?10 {a1 ?11d ?31 an=a1+(n-1)d a1 ? ?2 , d ? 3, 解得:

? a19 ? ? 2 ? (19 ? 1) ? 3 ? 52 .
说明:由此可以看到:已知等差数列的两项就 可以确定这个数列.

学案P28
类型 1 等差数列的通项公式及其应用 [典例 1] (1)2 016 是等差数列 4,6,8,…的( A.第 1 006 项 B.第 1 007 项 C.第 1 008 项 D.第 1 009 项 (2)在等差数列{an}中,已知 a5=10,a12=31,则首项 a1=________,公差 d=________. )

等差中项: 如果在a与b中间插入一个数A,使 a,A,b成等差数列, 那么A叫做a与b的等差中项,则

A=

a?b 2



P28
类型 2 等差中项的应用 [典例 2] 在-1 与 7 之间顺次插入三个数 a,b,c 使这五个数成等差数列,求此数列.

P29

类型 3 等差数列的判定 2an [典例 3] 已知数列{an},满足 a1=2,an+1= . an+2
?1? (1)数列?a ?是否为等差数列?说明理由. ? n?

(2)求 an. 1 分析:先将递推公式变形,推导 -a 为常数. an+1 n 1


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