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高考数学总复习:选修4-4《坐标系与参数方程》1



?

第一节

坐标系

? ?

[主干知识梳理]

一、极坐标系与极坐标

?

如图,在平面内取一个定点 O ,叫做极点;自极点 O 引 一条射线Ox,叫做 极轴 ;再选定一个长度单位、一 个角度单位 ( 通常取弧度 ) 及其正方向 ( 通常取逆时针方 向),这样就建立了一个极坐标系.

?

设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M 的 ,记为 ρ ;以极轴Ox为始边,射线 极径 θ . 极角 OM为终边的角xOM叫做点M的 ,记为 有序数对 (ρ,θ) 叫做点M的极坐标,记作 M(ρ,θ) .

二、点的极坐标和直角坐标的互化 设 M 是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ, θ), 可以得出它们之间的关系: x= ρcosθ , y= Ρsin θ . y 2+y2 2 x 又可得到关系式:ρ = ,tan θ= (x≠0).这就是极 x 坐标与直角坐标的互化公式.

?

三、常见曲线的极坐标方程
曲线 圆心在极点, 半径为 r 的圆 图形 极坐标方程 ρ=r (0≤θ<2π)

圆心为(r,0), 半 径为 r 的圆

ρ= 2rcos θ
? π π? ? ? - ≤ θ < ? 2 2? ? ?

? π? ? 圆心为?r,2? ?, ? ?

ρ=2rsin θ (0≤θ<π) (1) θ=α(ρ∈R)或

半径为 r 的圆

过极点,倾斜 角为 α 的直线

(2) θ=π+α(ρ∈ R) (2)θ=α 和 θ =π+α

过点(a,0),与 极轴垂直的直 线
? π? ? 过点?a,2? 与 ?, ? ?

ρcos

θ=a

? π π? ? ? - < θ < ? 2 2? ? ?

ρsin θ=a (0<θ<π)

极轴平行的直 线

[基础自测自评] 1.(2013· 安徽高考)在极坐标系中,圆 ρ=2cos θ 的垂直于极轴的 两条切线方程分别为 ( A.θ=0(ρ∈R)和 ρcos θ=2 π B.θ= (ρ∈R)和 ρcos θ=2 2 π C.θ= (ρ∈R)和 ρcos θ=1 2 D.θ=0(ρ∈R)和 ρcos θ=1 )

B [由 ρ=2cos θ,可得圆的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,所以 垂直于 x 轴的两条切线方程分别为 x=0 和 x=2, 即所求垂直于极 π 轴的两条切线方程分别为 θ= (ρ∈R)和 ρcos θ=2,故选 B.] 2

?

2.(教材习题改编)若曲线的极坐标方程为ρ=2sin θ+ 4cos θ,以极点为原点,极轴为x轴正半轴建立直角坐标 系,则该曲线的直角坐标方程为______________. 解析 ∵ρ=2sin θ+4cos θ,∴ρ2=2ρsin θ+ 4ρcos θ,
∴由互化公式知x2+y2=2y+4x, 即x2+y2-2y-4x=0. 答案 x2+y2-4x-2y=0

?

? ? ?

?a π? a ? ? 3 . 在 极 坐 标 系 中 , 以 ?2,2? 为 圆 心 , 为 半 径 的 圆 的 方 程 为 2 ? ?

________________. 解析 利用直角三角形的边、角关系可得圆的方程为 ρ=asin θ. 答案 ρ=asin θ

4.在极坐标系中,曲线 ρ=2sin θ 与 ρcos θ=-1(0≤θ<2π)的交点 的极坐标为________. 解析 由 ρ=2sin θ,得 ρ2=2ρsin θ, 其普通方程为 x2+y2=2y, ρcos θ=-1 的普通方程为 x=-1,
2 2 ? x + y =2y, ? 联立? ? ?x=-1,

? ?x=-1, 解得? ? ?y=1,

? 故交点(-1,1)的极坐标为? ? ?

3π? 2, ? . 4? ?

答案

? ? ? ?

3π? 2, ? 4? ?

5.在极坐标系中,圆 ρ=4cos θ 的圆心 C 到直线 的距离为________.

? π? ? ρsin?θ+4? ?=2 ? ?

2

解析 注意到圆 ρ=4cos θ 的直角坐标方程是 x2+y2=4x,圆 心 C 的坐标是(2,0). 直线
? π? ? ρsin?θ+4? ?=2 ? ?

2的直角坐标方程是 x

|2+0-4| +y-4=0,因此圆心(2,0)到该直线的距离等于 = 2. 2 答案 2

[关键要点点拨] 1 . 平 面 直 角 坐 标 系 中 任 意 一 点 P(x , y) 在 伸 缩 变 换
? x,?λ>0? ?x′=λ· ? ? y,?u>0? ?y′=u·

的作用下对应到点 P′(x′,y′).

2.极坐标系中,极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)表示同一个点, 特别地,极点 O 的坐标为(0,θ)(θ∈R). 3.极坐标(ρ,θ)化为直角坐标时,x=ρcos θ,y=ρsin θ;直角坐 b 标(x,y)化为极坐标时,ρ =x +y ,tan θ= (x≠0). x
2 2 2

平面直角坐标系中的伸缩变换 [典题导入]
求曲线 程. 1 ? ? ?x′=2x, ?x= x′, [听课记录] 由? 得? 2 ① 1 y′= y ? ? 2 ? ?y=2y′. 将①代入
? π? ? y=sin?2x+4? ?,得 ? ? ? 1 π? ? x′+ ? 2y′=sin?2· ?, 2 4 ? ? ? ? π? ? ? y=sin?2x+4?经伸缩变换? 1 ? ? ?y′= y

?x′=2x, 后的曲线方 ? 2

π? 1 ? ? 即 y′= sin?x′+4? ?. 2 ? ? π? 1 ? ? 故变换后的曲线方程为 y= sin?x+4? ?. 2 ? ?

[互动探究] 本例若变为“若曲线
? π? ? y = sin ?2x+4? ? 经过伸缩变换后变为 ? ?

y=

? π? ? 2sin?4x+4? ?”试求此伸缩变换. ? ?

解析 代入 得

? ?x′=λx,λ>0, 设伸缩变换为? ? ?y′=μy,μ>0, ? π? ? y′=2sin?4x′+4? ?, ? ?

? π? ? μy=2sin?4λx+4? ?. ? ?

π? 2 ? ? ∴y= sin?4λx+4? ?. μ ? ? ?2



? ? =1. π? ? ? y=sin?2x+4?对比知,?μ ? ? ?

?4λ=2,

1 ∴μ=2,λ= . 2 1 ? ?x′= x, 2 所以所求伸缩变换为? ? ?y′=2y.

[规律方法] 平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示.在伸缩变换
? x,λ>0, ?x′=λ· ? ? y,μ>0 ?y′=μ·

下,直线仍然变成直线,抛物线仍然变成抛物

线,双曲线仍然变成双曲线,圆可以变成椭圆,椭圆也可以变成 圆.

[跟踪训练] 1 .通过平面直角坐标系中的平移变换与伸缩变换,可以把椭圆 ?x+1?2 ?y-1?2 + =1 变为中心在原点的单位圆,求上述平移变 9 4 换与伸缩变换,以及这两种变换合成的变换.

解析

? ?x′=x+1, 先通过平移变换? ? ?y′=y-1,

?x+1?2 ?y-1?2 x′2 y′2 把椭圆 + =1 变为椭圆 + =1. 9 4 9 4 ? ?x″=x′, 3 ? 再通过伸缩变换? y′ ? y″= , ? 2 ?

x′2 y′2 把椭圆 + =1 变为单位圆 x″2+y″2=1. 9 4 1 ? ?x″=3?x+1?, 由上述两种变换合成的变换为? ?y″=1?y-1?. 2 ?

极坐标与直角坐标的互化
[典题导入] (2012· 辽宁高考)在直角坐标系 xOy 中,圆 C1:x2+y2=4, 圆 C2:(x-2)2+y2=4. (1)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1,C2 的极坐标方程,并求出圆 C1,C2 的交点坐标(用极坐标表 示); (2)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程.

[听课记录]

(1)圆 C1 的极坐标方程为 ρ=2,

圆 C2 的极坐标方程 ρ=4cos θ.
? ?ρ=2, 解? ? ?ρ=4cos

π 得 ρ=2,θ=± , 3 θ
? ? π? π? ? ? ? C2 交点的坐标为?2,3?,?2,-3? ?. ? ? ? ?

故圆 C1 与圆

注:极坐标系下点的表示不唯一.

? ?x=ρcos θ, (2)解法一:由? ? ?y=ρsin θ

得圆 C1 与 C2 交点的直角坐标分别为

(1, 3),(1,- 3). 故圆 C1 与
? ?x=1, C2 的公共弦的参数方程为? ? ?y=t,

? ? ? ?x=1, - 3≤y≤ 3? - 3≤t≤ 3.?或参数方程写成? ? ?y=y, ? ?

解法二:将 x=1 1 从而 ρ= . cos θ 于是圆 C1 与 π π - ≤ θ≤ . 3 3

? ?x=ρcos θ, 代入? ? ?y=ρsin θ

得 ρcos θ=1,

? ?x=1, C2 的公共弦的参数方程为? ? ?y=tan θ,

[规律方法] 极坐标(ρ,θ)化为直角坐标时,x=ρcos θ,y=ρsin θ;直角坐标(x, y y)化为极坐标时,ρ= x +y 唯一确定,但由 tan θ= (x≠0)确定 x
2 2

角 θ 时不唯一,一般根据点(x,y)所在的象限取最小正角.

[跟踪训练] 2 . (2013· 新 课 标 全 国 Ⅰ 高 考 ) 已 知 曲 线 C1 的 参 数 方 程 为
? ?x=4+5cos t, ? ? ?y=5+5sin t,

(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半

轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sin θ. (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).

解析

? ?x=4+5cos (1)将? ? ?y=5+5sin

t, t

消去参数 t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25, 即 C1:x2+y2-8x-10y+16=0.
? ?x=ρcos θ, 将? ? ?y=ρsin θ

代入 x2+y2-8x-10y+16=0 得 ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. 所以 C1 的极坐标方程为 ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.

(2)C2 的普通方程为 x2+y2-2y=0.
2 2 ? ?x +y -8x-10y+16=0, 由? 2 2 ? ?x +y -2y=0

? ?x=1, 解得? ? ?y=1

? ?x=0, 或? ? ?y=2. ? π? π? ? ? 2, ?,?2, ? . 4? ? 2? ?

所以 C1 与

? C2 交点的极坐标分别为? ? ?

简单曲线的极坐标方程及应用 [典题导入]

(2012· 新 课 标 全 国 卷 ) 已 知 曲 线 C1 的 参 数 方 程 是
? ?x=2cos φ, ? ? ?y=3 sin φ

(φ 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极

轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ρ=2,正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上,且 A,B,C,D 依逆时针次序排列,点 A 的极
? π? ? 坐标为?2,3? ?. ? ?

(1)求点 A,B,C,D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点, 求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2 的取值范围. [听课记录] (1)由已知可得
? π π? ? A?2cos3,2sin3? ?, ? ?

? ?π π? ?π π?? ? ? ? ?? + B?2cos?3+2?,2sin? ?3 2??, ? ? ? ?? ? ? ?π ? ?π ?? ? ? ? ? ? C?2cos?3+π?,2sin?3+π? ??, ? ? ? ?? ? ? ?π 3π? ?π 3π?? ? ? ? ?? + D?2cos?3+ 2 ?,2sin? ?3 ??, 2 ? ? ? ?? ?

即 A(1, 3),B(- 3,1),C(-1,- 3),D( 3,-1).

(2)设 P(2cos φ,3sin φ), 令 S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2 则 S=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ. 因为 0≤sin2φ≤1, 所以 S 的取值范围是[32,52].

? ?

[规律方法]

1. 求曲线的极坐标方程其实质是在极坐标系中建立动点 M(ρ,θ)的极坐标ρ与θ的关系,注意检验特殊点. 2.极坐标方程应用时,一般化为直角坐标方程,转化时 注意方程的等价性.

?

[跟踪训练] 3.(2014· 海口市调研)已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为 ρ=2,ρ -2
2

? π? ? 2ρcos?θ-4? ?=2. ? ?

(1)把圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.

解析

(1)ρ=2?ρ2=4,

所以 x2+y2=4. 因为 ρ -2 所以 ρ -2
2 2

? π? ? 2ρcos?θ-4? ?=2, ? ? ? π π? ? 2ρ?cosθcos4+sinθsin4? ?=2. ? ?

所以 x2+y2-2x-2y-2=0.

(2)将两圆的直角坐标方程相减, 得经过两圆交点的直线方程为 x+y=1. 化为极坐标方程为 ρcos θ+ρsin θ=1, 即
? π? ? ρsin?θ+4? ?= ? ?

2 . 2

【思想方法】 转化与化归思想在坐标系中的应用 (2012· 安徽高考)在极坐标系中, 圆 ρ=4 sin θ 的圆心 到直线 π θ= (ρ∈R)的距离是________. 6 将极坐标方程转化为平面直角坐标系中的一

【思路导析】 般方程求解.

【解析】 极坐标系中的圆 ρ=4sin θ 转化为平面直角坐标系中一 般方程为:x2+y2=4y, π 即 x +(y-2) =4,其圆心为(0,2),直线 θ= 转化为平面直角坐标 6
2 2

3 系中的方程为 y= x,即 3x-3y=0. 3 |0-3×2| ∴圆心(0,2)到直线 3x-3y=0 的距离为 = 3. 3+9 【答案】 3

?

【高手支招】 本题考查了极坐标方程和平面直角坐标 系中一般方程的转化,考查了转化与化归思想,题目难度 不大,做本题时有可能因对极坐标和平面直角坐标的关系 不熟而受挫.在进行坐标互化时要注意以下几点:
(1)互化的三个前提条件 ①极点与原点重合;

? ?

?
?

②极轴与x轴正方向重合;
③取相同的单位长度.

?

(2) 若把直角坐标化为极坐标,求极角θ 时,应注意判断 点P 所在的象限 (即角θ的终边的位置 ),以便正确地求出 角θ .利用两种坐标的互化,可以把不熟悉的问题转化为 熟悉的问题.

[体验高考]
? π? ? 1.(2013· 北京高考)在极坐标系中,点?2,6? ?到直线 ? ?

ρsin θ=2 的距

离等于________. 解析
? π? ? 由题意知,点?2,6? ?的直角坐标是( ? ?

3,1),

直线 ρsin θ=2 的直角坐标方程是 y=2,所以所求的点到直线 的距离为 1. 答案 1

2.(2013· 天津高考)已知圆的极坐标方程为 ρ=4cos θ,圆心为 C, 点P
? π? ? 的极坐标为?4,3? ?,则|CP|=________. ? ?

解析 圆 ρ=4cos θ 的直角坐标方程为 x2+y2=4x, 圆心 C(2,0). 点 P 的直角坐标为(2,2 3), 所以|CP|=2 3. 答案 2 3

3.(2013· 福建高考)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点 A 的极坐标为
? ? ? ? ? π? π? ? ? 2, ?,直线 l 的极坐标方程为 ρcos?θ- ? ?=a,且点 A 在直 4? 4 ? ?

线 l 上. (1)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程; (2)圆 C
? ?x=1+cos 的参数方程为? ? ?y=sin α

α,

(α 为参数),试判断直线

l 与圆 C 的位置关系.

解析

(1)由点

? A? ? ?

? π? π? ? ? 2, ?在直线 ρcos?θ- ? ?=a 上, 4? 4 ? ?

可得 a= 2. 所以直线 l 的方程可化为 ρcos θ+ρsin θ=2, 从而直线 l 的直角坐标方程为 x+y-2=0.

(2)由已知得圆 C 的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1, 所以圆 C 的圆心为(1,0), 半径 r=1, 1 2 因为圆心 C 到直线 l 的距离 d= = <1, 2 2 所以直线 l 与圆 C 相交.



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