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初高中数学教材衔接练习题



一元二次不等式及(含参数)二次函数
1.(1)不等式 ? x ? 3x ? 10 ? 0 的解集是___________
2

(2)不等式 ?5 ? ? x ? 3x ? 1 ? 1 的解集是_________.
2

(3)不等式

2x ? 1 的解集是________________

____ x ?1

2. 已知不等式 x2 ? (a ? 1) x ? a ? 0 , (1)若不等式的解集为 (1,3) ,则实数 a 的值是_______________; (2)若不等式在 (1,3) 上有解,则实数 a 的取值范围是___________; (3)若不等式在 (1,3) 上恒成立,则实数 a 的取值范围是_________.

3. 解不等式-1<x2+2x-1≤2。

4. 已知函数 f ( x) ?

6 ? 1 ,求 f(x)的定义域。 x ?1

5.解关于 x 的不等式: mx ? 3(m ? 1) x ? 9 ? 0(m ? R)
2

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1 0, ?成立,求 a 的取值范围。 6. 若不等式 x2+ax+1≥0 对于一切 x∈? ? 2?

7. 若函数 f(x)= kx2 ? 6kx ? k ? 8 的定义域为 R,求实数 k 的取值范围。

x 2 ? 8x ? 20 8. 不等式 ? 0 的解集为 R ,求实数 m 的取值范围。 m x2 ? 2(m ? 1) x ? 9m ? 4

第 2 页 共 7页

9.函数 y ? ? x 2 ? 4x ? 2 在区间[0,3]上的最大值是_________,最小值是_______。

10. 已知 2 x ? 3x ,求函数 f ( x) ? x 2 ? x ? 1 的最值。
2

2 11. 已知 x ? 1 ,且 a ? 2 ? 0 ,求函数 f ( x) ? x ? ax ? 3 的最值。
2

第 3 页 共 7页

12. 已知二次函数 f ( x) ? ax 2 ? 4ax ? a 2 ? 1 在区间 ?4 ,1 上的最大值为 5,求实数 a 的值。

?

?

2 13. 如果函数 f ( x) ? ( x ? 1) ? 1 定义在区间 t, t ? 1 上,求 f ( x ) 的最小值。

?

?

第 4 页 共 7页

参考答案及详解
1.(1)____ x ? 5 或 x ? ?2 _______(2)____ (?1,1) ? (2, 4) _____.(3)_ (?1,1) ____ 2.已知不等式 x2 ? (a ? 1) x ? a ? 0 , (1)__ 3 ____; (2)__ (1, ??) _______; (3)__ [3, ??) ___。 3. 解原不等式可化为 ?

? x 2 ? 2 x ? 1 ? ?1, ? ? x 2 ? 2 x ? 0, ? x ? ?2或x ? 0, ? x( x ? 2) ? 0, ? 即 ? ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ?3 ? x ? 1. ?( x ? 3)( x ? 1) ? 0, ? x ? 2 x ? 1 ? 2, ? x ? 2 x ? 3 ? 0,

6 x?5 ? 1 ? 0 ,即 ? 0 ,得 ?1 ? x ? 5 , x ?1 x ?1 5.解:(1) 当 m ? 0 时 ? 3x ? 9 ? 0 ∴x?3 3 m( x ? )( x ? 3) ? 0 (2) 当 m ? 0 时 m 3 ? x?3 若m? 0, 则 m 3 若 m ? 0 ,则 ①当 0 ? m ? 1 时, x ? 或x ? 3 m
4. 由 ②当 m ? 1 时, x ? 3 ③当 m ? 1 时, x ? 3 或 x ?

3 综上所述: (略) m

1? a a 1 6. 设 f(x)=x2+ax+1,则对称轴为 x=- ,若- ≥ ,即 a≤-1 时,则 f(x)在? ?0,2?上是减函数, 2 2 2 1? 5 应有 f? ?2?≥0?-2≤a≤-1 1 a 0, ?上是增函数,应有 f(0)=1>0 恒成立,故 a≥0 若- ≤0,即 a≥0 时,则 f(x)在? ? 2? 2 a a2 a 2 a 1 a2 5 - ?= - +1=1- ≥0 恒成立,故-1≤a≤0.综上,有- ≤a. 若 0≤- ≤ ,即-1≤a≤0,则应有 f? ? 2? 4 2 2 2 4 2 7. ∵函数 f(x)的定义域为 R,∴ kx ? 6kx ? k ? 8 ≥0 的解集为 R。
2

∴ g(x)= kx ? 6kx ? k ? 8 函数的图像全在轴上方或与轴相切且开口向上。
2

当 k=0 时,g(x)=8,显然满足;当 k≠0 时,函数 g(x)的图像是抛物线,要使抛物线全在 x 轴上方或与 x 轴相切且开口向 上,必须且只需:

?k ? 0, 解得 0<k≤1。综上,k 的取值范围是[0,1]。 ? 2 ? ? 36 k ? 4 k ( k ? 8) ? 0, ?
8. .解:? x ? 8x ? 20 ? 0恒成立, ?mx ? 2(m ? 1) x ? 9m ? 4 ? 0须恒成立
2 2

当 m ? 0 时, 2 x ? 4 ? 0 并不恒成立;

?m ? 0 ?m ? 0 ? 当 m ? 0 时,则 ? 得? 1 1 2 m ? , 或m ? ? ?? ? 4(m ? 1) ? 4m(9m ? 4) ? 0 ? ? 4 2
第 5 页 共 7页

1 ?m ? ? 2

9. 解:函数 y ? ? x2 ? 4 x ? 2 ? ?( x ? 2)2 ? 2 是定义在区间[0,3]上的二次函数, 其对称轴方程是 x ? 2 ,顶点坐标为(2,2) ,且其图象开口向下,显然其顶点横坐 标在[0,3]上,如图 1 所示。函数的最大值为 f ( 2) ? 2 ,最小值为 f ( 0) ? ?2 。

2 10. 解:由已知 2 x ? 3x ,可得 0 ? x ?

3 3? ? ,即函数 f ( x ) 是定义在区间 ?0, ? 上的二次函数。 2 2? ?

1 1? 3 ? 1 3? ? 将二次函数配方得 f ( x ) ? ? x ? ? ? ,其对称轴方程 x ? ? ,顶点坐标 ? ? , ? , ? 2 4? ? 2 2? 4
且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间 ?0, ? 内,如图 2 所示。函数 f ( x ) 的最小值为 f ( 0) ? 1 ,最大值为 2

2

? ?

3? ?

? 3? 19 。 f? ? ? ? 2? 4
11. 解:由已知有 ?1 ? x ? 1,a ? 2 ,于是函数 f ( x ) 是定义在区间 ?1,1 上的二次函数,将 f ( x ) 配方得:

?

?

? a a a? a2 a2 ? ? ;二次函数 f ( x ) 的对称轴方程是 x ? ? ;顶点坐标为 ? ? ,3 ? ? ,图象开口向上 f ( x) ? ? x ? ? ? 3 ? ? 2 2? 4 4? ? 2
由 a ? 2 可得 x ? ?

2

a ? ?1,显然其顶点横坐标在区间 ?1,1 的左侧或左端点上。 2

?

?

函数的最小值是 f ( ?1) ? 4 ? a ,最大值是 f (1) ? 4 ? a 。 12. 解: 将二次函数配方得 f ( x) ? a( x ? 2) ? a ? 4a ? 1, 其对称轴方程为 x ? ?2 , 顶点坐标为 (?2,a ? 4a ? 1) ,
2 2 2

图象开口方向由 a 决定。很明显,其顶点横坐标在区间 ?4 ,1 上。 若 a ? 0 ,函数图象开口向下,如图 4 所示,当 x ? ?2 时,函数取得最大值 5
2 即 f (?2) ? a ? 4a ? 1 ? 5 ;解得 a ? 2 ? 10

?

?

故 a ? 2 ? 10 (a ? 2 ? 10舍去) 若 a ? 0 时,函数图象开口向上,如图 5 所示,当 x ? 1时,函数取得最大值 5
2 即 f (1) ? 5a ? a ? 1 ? 5 ;解得 a ? 1或a ? ?6

第 6 页 共 7页

故 a ? 1(a ? ?6舍去) 综上讨论,函数 f ( x ) 在区间 ?4 ,1 上取得最大值 5 时, a ? 2 ? 10或a ? 1 解后反思:例 3 中,二次函数的对称轴是随参数 a 变化的,但图象开口方向是固定的;例 4 中,二次函数的对称轴是 固定的,但图象开口方向是随参数 a 变化的。 13. 解:函数 f ( x) ? ( x ? 1) 2 ? 1 ,其对称轴方程为 x ? 1,顶点坐标为(1,1) ,图象开口向上。 如图 6 所示,若顶点横坐标在区间 t, t ? 1 左侧时,有 1 ? t 。当 x ? t 时,函数取得最小值

?

?

?

?

f ( x) min ? f (t ) ? (t ? 1) 2 ? 1 。
如图 7 所示,若顶点横坐标在区间 t, t ? 1 上时,有 t ? 1 ? t ? 1 , 即 0 ? t ? 1。当 x ? 1时,函数取得最小值 f ( x ) min ? f (1) ? 1 。 如图 8 所示,若顶点横坐标在区间 t, t ? 1 右侧时,有 t ? 1 ? 1,即 t ? 0 。 当 x ? t ? 1时,函数取得最小值 f ( x) min ? f (t ? 1) ? t 2 ? 1

?

?

?

?

综上讨论, f ( x ) min

?( t ? 1) 2 ? 1, t ? 1 ? ? ?1, 0? t ?1 ?t 2 ? 1 t?0 ?

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