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江苏省南通市2014届高三第一次调研测试数学试卷



南通市 2014 届高三第一次调研测试 数学 Ⅰ 参考答案与评分标准
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应位 ...... 置上 . .. 1. 已知集合 U ? {1,2,3,4,5},A ? {1,2,4},则 ?U A ? 【答案】{3,5}. 2. 已知复数 z1 ? 1 ? 3i , 在复平面内, z2

? 3 ? i ( i 为虚数单位). z1 ? z2 对应的点在第 ▲ 象 限. 【答案】二. 3. 命题: “ ?x ? R , x ≤0 ”的否定是 ▲ . 【答案】 ?x ? R , | x |? 0 . 4. 在平面直角坐标系 xOy 中, 抛物线 y 2 ? 8 x 上横坐标为 1 的点到其焦点的距离为 ▲ . 【答案】3.
? x≥0, ? y≥0, 5. 设实数 x , y 满足 ? 则 z ? 3x ? 2 y 的最大值是 ▲ ? ? x ? y≤3, ? ?2 x ? y≤4,
开始

▲ .



输入 x

【答案】7. 6. 如图是一个算法的流程图.若输入 x 的值为 2,则输出 y 的 值是 ▲ . 【答案 】 ? 3 . 2 7. 抽样统计甲, 乙两个城市连续 5 天的空气质量指数(AQI), 数据如下: 城市 空气质量指数(AQI) 第 1天 1 09 1 10 11 第 2天 1 11 1 15 第 3天 1 32 1 32 第 4天 1 18 1 12 第 5天 1 10 1

y ? 1 x ?1 2
| y ? x |? 1

x? y

N

Y
输出 y

结束
(第 6 题)

[来源:Zxxk.Com][来源:学科网][来

源:Z+xx+k.Com][来源:Z.xx.k.Com]

甲 乙

则空气质量指数(AQI)较为稳定(方差较小)的城市为 ▲ (填甲或乙) . 【 答案】乙. 8. 已知正三棱锥的侧棱长为 1,底面正三角形的边长为 2 .现从该正三棱锥的六条棱中

随机选取两条棱,则这两条棱互相垂直的概率是 ▲ . 【答案】 2 . 5 9. 将函数 f ( x) ? sin ? 2x ? ? ? ? 0 ? ? ? ?? 的图象上所有点向右平移 ? 个单位后 得到的图象关 ? 于原点对称,则 ? 等于 ▲ . 【答案】 ? . ? 1 1 4 10.等比数列{an}的首项为 2,公比为 3,前 n 项和为 Sn.若 log3[2an(S4m+1)]=9,则n+m的 最小值 是 ▲ . 【答案】 5 . 2

? ? ? )的值是 11 .若向量 a ? ? cos?,sin ? ? , b ? ? cos ?, sin ? ? ,且 a ? b ≤2a ? b ,则 cos(
▲ . 【答案】1. 12.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y ? x ? b 是曲线 y ? a ln x 的切线,则当 a >0 时,实数
b 的最小值是

▲ .

【答案】 ?1 . 13.已知集合 M= {( x, y) | x ? 3 ≤y≤ x ? 1} ,N= {P | PA ≥ 2PB, A(?1, 0), B(1, 0)} ,则表示 M ∩N 的图形面积等于 ▲ . 【答案 】 4 ? ? 2 3 . 3
t ? 1] 上总存在两实数 14.若函数 f ( x) ? ax2 ? 20x ? 14 (a ? 0) 对任意实数 t ,在闭区间 [t ? 1,
x1 、 x 2 ,使得 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) | ≥8 成立,则实数 a 的最小值为

▲ .

【答案】8. 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域 内作答. 解答时应写出文字 ....... 说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB // CD , AB1 ? BC ,且 AA1 ? AB . (1)求证: AB ∥平面 D1 DCC1 ; (2)求证: AB1 ⊥平面 A1 BC . (1)证明:在四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB // CD ,
AB ? 平面 D1 DCC1 ,

D1 A1 B1

C1

D A B
(第 15 题)

C

CD ? 平面 D1 DCC1 ,





AB //





D1 DCC1 . ??????????????????????????6 分

(2)证明:在四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,四边形 A1 ABB1 为平行四边形,又 AA1 ? AB , 故四边形 A1 ABB1 为菱形. 从 而 AB1 ? A1 B . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???????????? 9 分 又 AB1 ? BC ,而 A1 B 所
A1
BC ? B , A1 B,BC ? 平面 A1 BC ,

? ? ? ? ? ? ? ?



AB1

?





. ????????????????????????? 14 分 B C

16.(本小题满分 14 分) 在△ ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边长,且 c=-3bcosA,tanC= 3 . 4 (1)求 tanB 的值; (2)若 c ? 2 ,求△ ABC 的面积. ( 1 ) 解 : 由 正 弦 定 sin C ? ?3sin B cos A ,??????????????????2 分 即 sin( A ? B) ? ?3sin B cos A . 所以 sin A cos B ? cos A sin B ? ?3sin B cos A . 从而 sin A cos B ? ?4sin B cos A . c A B ?o 因 为







s,

c 所

o以

s

tan A ? ?4 .????????????????????4 分 tan B

B ?3, 又 tan C ? ? tan( A ? B) ? tan A ? tan B ,由(1)知, 3tan tan A tan B ? 1 4 tan 2 B ? 1 4





t

B? a1 2

n .

?

?

?

?

?

?

?

???????????????????????6 分 (2)解:由(1) ,得 sin A ? 2 ,sin B ? 1 ,sin C ? 3 . ???????????? 5 5 5 10 分 由
a ? c sin A ? sin C













2? 2 5 ? 4 5 .?????????????????12 分 3 3 5





△ ABC









1 ac sin B ? 1 ? 4 5 ? 2 ? 1 ? 4 . ????????????14 分 2 2 3 5 3

17.(本小题满分 14 分) 已知 a 为实常数,y=f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且当 x<0 时,f(x)=2x a3 - x2 +1. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)≥a-1 对一切 x>0 成立,求 a 的取值范围. (1)解:由奇函数的对称性可知,我们只要讨论 f(x)在区间(-∞,0)的单调性即可. f ′ (x) = 2 + 2a3 x3 , 令 f ′ (x) = 0 , 得 x = -

a. ???????????????????2 分 ①当 a≤0 时, f′ (x)>0, 故 f(x)在区间(-∞, 0)是单调递增. ????????? 4分 ②当 a>0 时,x ∈(-∞,-a ),f ′ (x)>0,所以 f(x)在区间(-∞,-a )是单调递 增. x ∈(-a, 0), f′ (x)<0, 所以 f(x)在区间(-a, 0)是单调减. ????????? 6分 综上所述:当 a≤0 时,f(x)单调增区间为(-∞,0),(0,+∞);当 a>0 时,f(x) 单 调 增 区 间 为 ( - ∞ , - a ) , (a , +∞) , 单 调 减 区 间 为 ( - a , 0) , (0 , a).???????? 7 分 (2)解:因为 f(x)为奇函数, a3 所 以 当 x > 0 时 , f(x) = - f( - x) = - ( - 2 x - x2 + 1) = 2x + 1. ???????? 9 分 a3 ①当 a<0 时,要使 f(x)≥a-1 对一切 x>0 成立,即 2x+ x2 ≥a 对一切 x>0 成 立. a 而当 x=-2>0 时,有-a+4a≥a,所以 a≥0,则与 a<0 矛盾. 所 以 a < 0 不 成 立.???????????????????????????11 分 ②当 a=0 时, f(x)=2x-1>-1=a-1 对一切 x>0 成立, 故 a=0 满足题设要求. ? 12 分 ③当 a>0 时,由(1)可知 f(x)在(0,a)是减函数,在(a ,+∞)是增函数. 所以 fmin(x)= f(a)=3a-1>a-1, 所以 a>0 时也满足题设要求.??????? 13 分 综 上 所 述 , a 的 取 值 范 围 是 [0, ? ?) .???????????????????? 14 分 18.(本小题满分 16 分) 如图,一块弓形薄铁片 EMF,点 M 为 EF 的中点,其所在圆 O 的半径为 4 dm(圆心 O a3 x2 -

在弓形 EMF 内) ,∠EOF= 2? .将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片 ABCD(不计损 3 耗), AD∥EF,且点 A、D 在 EF 上,设∠AOD= 2? . (1)求矩形铁片ABCD的面积S关于 ? 的函数关系式; (2)当矩形铁片ABCD的 面积最大时,求cos ? 的值. M ·

A

M ·

D

M ·

A
O O

D

O
O

B
F

E
(第 18 题)

E B


C F

E



F

C

(1)解:设矩形铁片的面积为 S , ?AOM ? ? . 当 0 ? ? ? ? 时(如图①) , AB ? 4 cos ? ? 2 , AD ? 2 ? 4sin ? , 3
S ? AB ? AD ? ? 4cos? ? 2?? 2 ? 4sin ? ? ? 16sin ? ? 2cos? ? 1? .?????????

?? 3 分 当 ? ≤ ? ? ? 时(如图②) , AB ? 2 ? 4 cos ? , AD ? 2 ? 4sin ? , 3 2 故 S ? AB ? AD ? 64sin ? cos ? ? 32sin 2? . 综上得,矩形铁片的面积 S 关于 ? 的函数关系式为
?16sin ? ? 2cos ? ? 1?, 0 ? ? ? ?, ? 3 ??????????????????? S ?? ?32sin 2?,? ≤ ? ? ? . 3 2 ?

?? 7 分 (2)解:当 0 ? ? ? ? 时,求导,得 3
2 S ? ? 16 ? ?cos? ? 2cos? ? 1? ? sin? ? ?2sin? ?? ? ? 16 ? 4cos ? ? cos? ? 2? .



S? ? 0





3 1 10 分 c ? ? 3 ? .??????????????????????? o s 8
记区间 (0,? ) 内余弦值等于 33 ? 1 的角为 ? 0 (唯一存在) .列表: 3 8
?

?0 ? ? 0,

?0

(?0,? ) 3

S? S

?


0 极

?



函数

大值

函数

又当 ? ≤ ? ? ? 时, S ? 32sin 2? 在 [ ?,? ) 上的单调减函数, 3 2 3 2 所 以 当

? ? ?0



cos? ? 33 ? 1 8

















大.????????????? 16 分 19.(本小题满分 16 分)
2 y2 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 x 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 (1, 3 ) , 离心率为 3 , 2 2 a b

又椭圆内接四边形 ABCD (点 A、B、C、D 在椭圆上)的对角线 AC,BD 相交于点 P (1,1 ) , 4 且 AP ? 2PC , BP ? 2PD . A (1)求椭圆的方程; (2)求直线 AB 的斜率.
?c 3 ?a ? 2 , 2 ? ? ? ? a = 4, (1)解:依题意, ? 12 ? 3 2 ? 1,解得 ? 2 4b ? ?a ?b =1. ?c 2 ? a 2 ? b 2 . ? ?

y D O P · C x B
(第 19 题)


2















x ? y 2 ? 1 . ?????????????????????? 6 分 4

(2)解:设 A ? x1, y1 ? ,则 由

x12 ? y12 ? 1 . 4
AP ? 2PC





C

? 3 ?2x ,3 ?84 y ? .???????????????????? 8 分 3? x ? 3 ? 4y 2 ? x 代入椭圆方程 ? y ? 1 ,得 ?? ?1. 4 4 8 ?
1 1
2 1
2

2

2

1









x12 ? y12 4

3(


9 0 10 分 ,??????????????????? ? x1 ) 1 ? y1 2 1
③ ????????????????? 12 分

?

6

x1 ? y1 ? ? 1 . 8

y2 ? , 设 B ? x2, 同理可得 x2 ? y2 ? ? 1 . ④ ????????????????? 8

14 分 ③ ? ④, 得

y2 ? y1 y ? y1 即直线 AB 的斜率为 k ? 2 ? ?1 , ? ?1 . ???????? x2 ? x1 x2 ? x1

16 分 20.(本小题满分 16 分) 已知等差数列{an}、等比数列{bn}满足 a1+a2=a3,b1b2=b3,且 a3,a2+ b1,a1+ b2 成等差 数列,a1,a2,b2 成等比数列. (1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式; (2)按如下方法从数列{an}和数列{bn}中取项: 第 1 次从数列{an}中取 a1, 第 2 次从数列{bn}中取 b1,b2, 第 3 次从数列{an}中取 a2,a3,a4, 第 4 次从数列{bn}中取 b3,b4,b5,b6, ?? 第 2n-1 次从数列{an}中继续依次取 2n-1 个项, 第 2n 次从数列{bn}中继续依次取 2n 个项, ?? 由此构造数列{cn}:a1,b1,b2,a2,a3,a4,b3,b4,b5,b6,a5,a6,a7,a8,a9, b7,b8,b9,b 10,b11,b12,?,记数列{cn}的前 n 和为 Sn.求满足 Sn<22014 的最 大正整数 n. (1)解:设等差数列{an}的公差为 d ,等比数列{bn}的公比为 q ,
?a1 ? (a1 ? d ) ? a1 ? 2d, ? 2 依题意,得 ?b1 (b1q) ? b1q , ? ?(a1 ? 2d ) ? (a1 ? b1q) ? 2[(a1 ? d ) ? b1 ], ?(a ? d )2 ? a (b q). ? 1 1 1
n

解得 a1=d=1,b1=q=2.

故 an=n , bn=2 .????????????????????????????? 6 分 (2)解:将 a1,b1,b2 记为第 1 组,a2,a3,a4,b3,b4,b5,b6 记为第 2 组,a5,a6, a7,a8,a9,b7,b8,b9,b10,b11,b12 记为第 3 组,??以此类推,则第 n 组中, 有 2n-1 项选取于数列{an},有 2 n 项选取于数列{bn},前 n 组共有 n2 项选取于数 列 {an} , 有 n2 + n 项 选 取 于 数 列 {bn} , 记 它 们 的 总 和 为 Pn , 并 且 有
Pn ? n 2 ? n 2 ? 1? 2 ? 2n
2

? n ?1

? 2 . ???? 11 分

P45 ? 22014 ? P44 ? 22014 ?
当 Sn ?

452 (452 ? 1) ? 22071 ? 22014 ? 2 ? 0 , 2 442 (442 ? 1) 1981 33 ? 2 (2 ? 1) ? 2 ? 0 . 2

452 (452 ? 1) +(2+22+?+22012)时, 2 452 (452 ? 1) ? 0 .????????????????? 2

Sn ? 22014 ? ?22013 ? 2 ?
?? 13 分 当 Sn ?

452 (452 ? 1) +(2+22+?+22013)时, 2 452 (452 ? 1) ?0. 2

Sn ? 22014 ? ?2 ?











Sn ? 22014









n=45

2



2012=4037.?????????????? 16 分

数学Ⅱ (附加题)参考答案与评分标准
21. 【选做题】 A. 选修 4—1:几何证明选讲 (本小题满分 10 分) 在△ABC 中, 已知 CM 是∠ACB 的平分线,△AMC 的外接圆交 BC 于点 N, 且 BN ? 2AM. 求证:AB ? 2 AC. 证明:如图,在△ABC 中,因为 CM 是∠ACM 的平 分线, A M O 所 以
A B ? , C C

B

N
(第 21—A 题)

C

① ??????????? 3 分 又因为 BA 与 BC 是圆 O 过同一点 B 的割线, 所以 BM ? BA ? BN ? BC , 即
BA ? BN ,?????????????? 6 分 BC BM

又 BN=2AM, 所以 BA ? 2 AM , ②??????????? 8 分 BC BM 由①②, 得 AB ? 2 AC. ????????? 10 分 B. 选修 4—2:矩阵与变换 (本小题满分 10 分)
?1 2? ?1 0 ? ?1 ?1 设二阶矩阵 A , B 满足 A?1 ? ? , ? BA? ? ? ? ? ,求 B . 3 4 0 1 ? ? ? ? ?a b ? ?1 解: 设 B ?1 ? ? , 因为 ? BA? ? A?1B?1 , ??????????????????? ? ?c d ?

2分 所 以
?1 ?0 ? ? ? ??? ? ? a b? ? ?0 ? ?1 ? ? ?c d ? 1 , 3 2 即 4

? a ? 2c ? 1, ?b ? 2d ? 0, ? ????????????????? 6 分 ? ?3a ? 4c ? 0, ? ?3b ? 4d ? 1,





?a ? ?2, ?b ? 1, ? ? ?c ? 3 , 2 ? ? d ? ? 1, ? ? 2





? ?2 1 ? ? .???????????????????? 10 分 B ?1 ? ? 3 ? 1? ? ?2 2?

C.选修 4—4:坐标系与参数方程 (本小题满分 10 分) 在极坐标系中,已知曲线 C : ? ? 2sin ? ,过极点 O 的直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两 点,
AB ? 3 ,求直线 l 的方程.

解: 设直线 l 的方程为 ? ? ? 0 (ρ∈R),A ? 0, 0? , B ? ?1, ?0 ? , ????????????? 2分 则
AB ?| ?1 ? 0 |? | 2sin ?0 | .????????????????????????? 5 分



AB ? 3





7分 s ?0 ? ? 3 . ??????????????????????? i n 2 解得 ?0 ? ? +2kπ 或 ?0 ? ? ? +2kπ,k∈Z. 3 3 所 以 直 线
l









???
3



? ? ??
3





R). ???????????????? 10 分 D.选修 4—5:不等式选讲 (本小题满分 10 分)

y 已知 x,y,z 均为正数,求证: x ? ? z ≥ 1 ? 1 ? 1 . yz zx xy x y z y y 证明: 因为 x, y, z 均为正数, 所以 x ? ≥ 1 ? x ≥ 2 . ???????????? yz zx z x y z
4分

?

?









z ? y ≥2 xy zx x



x ? z ≥ 2 . ??????????????????? 7 分 yz xy y
当且仅当 x ? y ? z 均时,以上三式等号都成立. 将上述三个不等式两边左,右两边分别相加,并除以 2, 得

x ? y ? z ≥ 1 ? 1 ? 1 .??????????????????????? 10 分 yz zx xy x y z
【必做题】 22. (本小题满分 10 分) 如图,设 P1 , P2 ,?, P6 为单位圆上逆时针均匀分布的六个点.现任选其中三个不同 点构成一 个三角形,记该三角形的面积为随机变量 S . (1)求 S ? 3 的概率; 2 (2)求 S 的分布列及数学期望 E ( S ) . P1 角 形
P2
O

解: (1)从六个点任选三个不同点构成一个三
P6



3 的为有一 有 C3 6 种不同选法,其中 S ? 2

P5
30 的 直 角 三 角 形 ( 如 △ P ,共 1P 4P 5 )
6 ? 2 ? 12 种,

个 角

P3

P4
(第 22 题)


P S ? 3 ? 12 ? 3 . ??????? 3 分 2 5 C3 6



?

?

(2)S 的所有可能取值为 3 , 3 , 3 3 .S ? 3 的为顶角是 120 的等腰三角形(如 4 2 4 4 △
P 1P 2P 3







6









P S ? 3 ? 63 ? 3 . ???????????????????? 5 分 4 C6 10

?

?

(如△ P , 共 2 种, 所以 P S ? 3 3 ? 23 ? 1 . ?? S ? 3 3 的为等边三角形 1P 3P 5) 4 4 C6 10

?

?

7分
? 3 ,故 S 的分布列为 又由(1)知 P S ? 3 ? 12 2 5 C3 6

?

?

S

3 4

3 2

3 3 4





P

3 10

3 5

1 10

3 3 3 3 1 .??????????????? 10 分 9 E (S ) ? 3 ? 3 ? ? ? ? ? 4 10 2 5 4 10 20
23. (本小题满分 10 分)
a2 , a n 的个数为 f (n)(n≥2, 已知 1, 2, ?, ?, 且 n∈N*) . n 满足下列性质 T 的排列 a1 ,

3

性质 T:排列 a1 , a 2 ,?, a n 中有且只有一个 ai ? ai ?1 ( i ? {1,2,?, n ? 1 }) . (1)求 f (3) ; (2)求 f (n) . 解: (1)当 n ? 3 时,1,2,3 的所有排列有 (1 ,2, 3) , (1 ,3, 2) , (2 ,1, 3) , (2 , 3, 1) ,
(3 ,1, 2) , (3 ,2, 1) ,其 中满足仅存在一个 i ? {1,2,3},使得 ai ? ai ?1 的

排列有
(1 ,3, 2) , (2 ,1, 3) , (2 ,3, 1) , (3 ,1, 2) ,

所 f ( ? .???????????????????????????? 3 3分 (2)在 1,2,?, n 的所有排列 (a1 , a 2 ,?, an ) 中,



若 ai ? n(1≤i≤n ? 1) ,从 n ? 1 个数 1,2,3,?, n ? 1 中选 i ? 1 个数按从小到 大的顺序 排列为 a1 , a 2 ,?, ai ?1 ,其余按从小到大的顺序排列在余下位置,于是满足 题 意 的 排 列 个 数 为

Cin??11 .??????????????????????????? 6 分



an ? n

























f (n ? 1) .??????????????? 8 分

综上, f (n) ? f (n ? 1) ?

?C
i ?1

n ?1

i ?1 n ?1

? f (n ? 1) ? 2n?1 ? 1 .


f ( n) ? 2 ?1 ? 2
3 n ?3



1? 2

? ? (n ? 3) ? f (3) ? 2

n

? n ? 1 . ???????????? 10 分



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