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【名师A计划】2017高考数学一轮复习 第四章 平面向量 第二节 平面向量的基本定理与坐标表示习题 理



第二节
[基础达标]

平面向量的基本定理与坐标表示

一、选择题(每小题 5 分,共 35 分) 1. (2016·安徽合肥八中月考) 若向量 A.(1,1) C.(3,7) 1.B 【解析】 B.(-1,-1) D.(-3,-7)

=(2,4),

=(1,3),则

/>=

(

)

=-

=(-2,-4)+(1,3)=(-1,-1).

2. (2016·河南南阳二中开学摸底) 已知向量 a=(2,-1),b=(λ ,-3),若 a∥b,则实数 λ 的值 为 A.B. C.6 D.-6 ( )

2.C 【解析】由 a∥b 得 2×(-3)+λ =0,即 λ =6. 3. (2015·商丘二模) 如图,在△ABC 中,已知

=3

,则

=

(

)

A.

B.

C.

D.

1

3.C 【解析】因为

,又由已知

=3

,得

=3(

),即

.
( )

4. (2016·河南林州一中质检) 已知 a=(1,-2),a+b=(0,2),则|b|= A. B.4 C. D.

4.A 【解析】由 a=(1,-2),a+b=(0,2)得 b=(0,2)-(1,-2)=(-1,4),所以

|b|=

.

5.在△ABC 中,点 G 是△ABC 的重心,若存在实数 λ ,μ ,使





,则

(

)

A.λ = ,μ =

B.λ = ,μ =

C.λ = ,μ =

D.λ = ,μ =

5.A 【解析】∵点 G 是△ABC 的重心,∴点 G 是在△ABC 的中线上,∴ )= ).∵





,∴λ =μ = .

6.设 x,y 满足约束条件

向量 a=(y-2x,m),b=(1,1),且 a∥b,则 m 的最小值为

( A.6 B.-6 C. D.

)

6.B 【解析】 因为 a∥b,可得 m=y-2x.由不等式组可得可行域为由点 A(4,2),B 构成的三角形内部及其边界,当 x=4,y=2 时,m 有最小值-6.

,C(1,8)

2

7.已知两点 A(1,0),B(1,

),O 为坐标原点,点 C 在第二象限,且∠AOC=120°,设

=-2
A.-1



(λ ∈R),则 λ = B.2 C.1 D.-2 )=(λ -2, λ ),即 C(λ -2,

(

)

7.C 【解析】

=-2



=-2(1,0)+λ (1,

λ ),

又∠AOC=120°,所以 tan 120°= 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)

,解得 λ =1.

8.已知向量 a=(λ ,1),b=(λ +2,1),若|a+b|=|a-b|,则实数 λ =

.
2 2 2

8.-1 【解析】依题意,a+b=(2λ +2,2),a-b=(-2,0).由|a+b|=|a-b|得(2λ +2) +2 =(-2) , 解得 λ =-1. 9.已知 A(-3,0),B(0, 则实数 λ 的值为 9.1 【解析】由题意知 ),O 为坐标原点,C 在第二象限,且∠AOC=30°,



,

. =(-3,0), =(0,
),则

=(-3λ ,

).由∠AOC=30°知

以 x 轴的非负半轴为始边,OC 为终边的一个角为 150°,所以 tan 150°= 解得 λ =1. 10.设 e1,e2 是平面内两个不共线的向量,

,即 -

=-

,

=(a-1)e1+e2,

=be1-2e2,a>0,b>0.若 A,B,C

三点共线,则

的最小值是

.

10.4 【解析】 ∵a>0,b>0,A,B,C 三点共线,∴设

=x

,即(a-1)e1+e2=x(be1-2e2),∵e1,e2

是平面内两个不共线的向量,∴

解得 x=- ,a-1=- b,即 a+ b=1,则

3

=
小值为 4.

=1+1+

≥4,当且仅当 a= ,b=1 时,取等号,故

的最

[高考冲关] 1.(5 分) (2015·广东模拟) 已知向量 a=(5,2),b=(-4,-3),c=(x,y),若 3a-2b+c=0,则 c=( A.(-23,-12) C.(7,0) B.(23,12) D.(-7,0) )

1.A 【解析】∵向量 a=(5,2),b=(-4,-3),c=(x,y),且 3a-2b+c=0,∴ c=2b-3a=2(-4,-3)-3(5,2)=(-8-15,-6-6)=(-23,-12). 2.(5 分) (2015·山东实验中学四模) 设

=(1,-2),

=(a,-1),

=(-b,0),a>0,b>0,O 为坐标原点,若 A,B,C 三点共线,则
A.2 B.4 C.6 D.8

的最小值是

(

)

2.D 【解析】由题意可得

=(a-1,1),

=(-b-1,2).又∵

A,B,C 三点共线,∴

,从而(a-1)×2-1×(-b-1)=0,∴2a+b=1.又∵a>0,b>0,∴

·(2a+b)=4+

≥4+4=8,故

的最小值是 8.

3.(5 分) (2015·湖南师大附中月考) 在△ABC 中,点 D 在线段 BC 的延长线上,且

,

点 O 在线段 CD 上(点 O 与点 C,D 不重合),若

=x

+y

,则 x 的取值范围是

(

)

A.(0,1)

B.

C.(-1,0)

D.

4

3.C 【解析】如图所示:由于

,点 O 在线段 CD 上(点 O 与点 C,D 不重合),故存在

实数 λ ∈(0,1),使得



,所以





+λ (

)=-λ

+(1+λ )

,



=x

+y

,所以 x=-λ ,因为 0<λ <1,所以-1<-λ <0,即-1<x<0.

4.(10 分) (2015·莱芜一模) 已知向量 a=(-3,2),b=(2,1),c=(3,-1),t∈R. (1)求|a+tb|的最小值及相应的 t 值; (2)若 a-tb 与 c 共线,求实数 t 的值. 4.【解析】(1)∵a=(-3,2),b=(2,1),c=(3,-1),

∴a+tb=(-3,2)+t(2,1)=(-3+2t,2+t). ∴|a+tb|=

=

=



.

当且仅当 t= 时取等号,即|a+tb|有最小值为 (2)∵a-tb=(-3,2)-t(2,1)=(-3-2t,2-t), 又 a-tb 与 c 共线,c=(3,-1),

.

∴(-3-2t)×(-1)-(2-t)×3=0,解得 t= .

5



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