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山东省临沂市某重点中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题



高一数学试题
第 I 卷(共 60 分)

2015.11

说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 6 页。满分 150 分, 考试时间 120 分钟。

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 ) 1.

设全集U ? ? 1,2,3,4,5?, A ? ? 1,3,5?, B ? ?2,5? ,则 A ? ( A. ?2?
x 2.设集合 A={x| e ?

?

U

B)为
D. ? 1,3,4,5?

B. ? 1,3?

C. ?3?

1 },B={x|log2x<0},则 A∩B 等于 e
B.{x|-1<x<1} C.{x|0<x<1} D.{x|x>1}

A.{x |x<-1 或 x>1}

2 3.化简 (2a ? 3) (a ? 1) 的结果为

A. a ? 4.设 f A. 1

3 2

B. 0

C. 2a ? 3

D. ?2a ? 3

?x ? ? ?

?(x ? 1) 2 , x ? 0 ,则 f ? ? f ? ?3 ? ? ?= ? log 2 x , x ? 0
B. 2 C. 4 D. 8

5.下列四个图象中,能表示 y 是 x 的函数图象的个数是

A.4

B.3

C.2

D.1

6.下列函数中,是奇函数且在区间 (??, 0) 上为增函数的是 A. y ? x 3 +3 B. y ? x
3

C. y ? x

?1

D. y ? e

x

7.函数 f ( x) ? 1 ? x ? lg( x ? 2) 的定义域为 A. (?2,1]
0.2

B. (?2,1)

C. [?2,1)

D. [?2, ?1]

8. 设 a ? 2 ,b ? ln 2,c ? log0.3 2 则 a, b, c 的大小关系是

A. a ? b ? c

B. c ? b ? a

C. b ? a ? c

D. c ? a ? b

9. 函数 f(x)是定义在(-2,2)上的减函数,则不等式 f ( x) ? f (2 ? x) 的解集为

A.(0 ,1)
10. 函数 f(x)=e A.(0, )
1 2
x

B.(0 , 2)
1 的零点所在的区间是 x

C.(2 ,+∞)

D.(-∞,2)

B. ( ,1)

1 2

C. (1, )

3 2

D. ( ,2)

3 2

11. 某学生离家步行去学校,匀速走了一段路后,由于怕迟到,所以就匀速跑完余下的路程. 在 下图中纵轴表示离学校的距离 d,横轴表示出发后的时间 t,则下图中的四个图形中较符合该学 生走法的是

A. D.

B.

C.

2 ? ? x ? 4 x, x ? 0 12. 已知函数 f ( x) ? ? 2 ,若 f (2a ? 1) ? f (3) ,则实数 a 的取值范围是 ? ? x ? 4 x, x ? 0

A. (??, ?2) ? (1, ??)

1 B. (??, ?1) ? (? , ??) 3

C. (1, ??)

D. (??,1)

第Ⅱ卷
答在试卷上.

非选择题 (共 90 分)

注意事项:第Ⅱ卷共 4 页。考生答卷前将密封线内的内容填写清楚,须用黑色签字笔直接

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.若对数函数 f(x)的图像过点(9,2) ,则 f(3)=_______. 14.奇函数 f(x) ,若 x > 0 时,f(x)=2x-3,则 x < 0 时,f(x)=________________.

15. 已知 f(x) 是定义在 ? ?2, 0 ? ∪ ? 0, 2? 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x ) 是 16.下列四个命题中正确的有 ① 函数 y ? x ③3
1? x

的 图 象 如 右 图 所 示 , 那 么 f ( x ) . .

的 值 域

3 ? 2

的定义域是 {x x ? 0};

② lg x ? 2 ? lg( x ? 2) 的解集为 {3} ;

? 2 ? 0 的解集为 {x x ? 1 ? log3 2} ; ④ lg( x ? 1) ? 1 的解集是 {x x ? 11} .
1 ? 3 4 2 ? 4 3

三、解答题: (本大题共 6 小题,74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)计算 0.00814 ? (4 (Ⅱ)计算 lg 5 ? lg 2lg50 ? 2
2 1?log2 5

) ? ( 8)

? 16?0.75 的值.

的值.

18.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)已知全集 U={1,2,a-1},A={1,b},

?

U

A ? {3},求 a,b;

(Ⅱ)若 M={x|0<x<2},N={x|x<1,或 x>4},求(
2

?

R

M )∩ N , M ∪ ( ? R N ).

19. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 2, x ???3,5? . (Ⅰ)当 a ? ?1 时,求函数 f(x)的最大值和最小值; (Ⅱ)求实数 a 的取值范围,使 y ? f ( x) 在区间 ? ?3,5? 上是单调函数.

20. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? (Ⅰ)证明 f ( x ) 在 ?1,??? 上是减函数;

x ?1 ?x ? 1? . x ?1

(Ⅱ)令 g (x ) = ln f (x ) ,试讨论 g (x ) = ln f (x ) 的奇偶性. 21.(本小题满分 12 分)某公司试销一种新产品,规定试销时销售单价不低于成本单价 500 元/件,又不高于 800 元/件,经试销调查,发现销售量 y(件)与销售单价 x (元/件)可近 似看作符合一次函数 y ? kx ? b 的关系(图象如右图所示) . (Ⅰ)根据图象,求一次函数 y ? kx ? b 的表达式; (Ⅱ)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价-成本总价) 为 S 元, ①求 S 关于 x 的函数表达式;

②求该公司可获得的最大毛利润,并求此时相应的销售单价. 22. (本 小 题满 分 14 分) 已 知 指数 函 数 y ? g ? x ? 满 足 : g(3)=8 , 定义 域 为 R 的 函 数

f ? x? ?

n ? g ? x? 是奇函数. m ? 2g ? x ?

(Ⅰ)确定 y ? g ? x ? , y ? f

? x ? 的解析式;

(Ⅱ)若 h (x ) = f (x ) +a 在(-1,1)上有零点,求 a 的取值范围; (Ⅲ)若对任意的 t ? (1, 4) ,不等式 f 值范围.

? 2t ? 3? ? f ?t ? k ? ? 0 恒成立,求实数 k 的取

高一数学试题参考答案
一.选择题:DCDBC 二.填空题:13. 1 三.解答题: 17.解: (Ⅰ)原式 ? (0.3)
4? 1 4

2015.11

BABAB 14.2x+3

CA 15.
3 3

??3, ?2? ? ? 2,3?
? 4 3

16.②③

? (2 2 )2 ? (2 2 )

?

? 24?( ?0.75)

? 0.3 ? 2?3 ? 2?2 ? 2?3 ? 0.3 ? 0.25 ? 0.55 . ……………………6 分
(Ⅱ)原式 ? lg 5 ? lg 2 ? lg 5 ? lg 2 ? 2
2 log2 10

? lg 5(lg 5 ? lg 2) ? lg 2 ? 10 , ? lg 5 ? lg 2 ? 10 ? 1 ? 10 ? 11 . …………………………………………12 分
18.解: (Ⅰ)∵全集 U={1,2,a-1},A={1,b},

?

U

A ? {3}.

∴ a - 1 = 3, b = 2 .………………………4 分 即 a = 4, b = 2. …………………………………6 分 (Ⅱ)∵M={x|0<x<2},N={x|x<1,或 x>4}; ∴(

?

R

M )∩ N ={x|x≤0,或 x≥2}∩{x| x<1,或 x>4}={x| x≤0,或 x>4}.………9 分

M ∪ ( ? R N )={x|0<x<2}∪{x|1≤x≤4}={x|0<x≤4}.………………………12 分
2 19. 解: (Ⅰ) a ? ?1, f (x ) ? x ? 2x ? 2 ? ? x ? 1? ? 1, 2

…………………………2 分

? f ( x)min ? f (1) ? 1, f ( x)max ? f (?3) ? f ?5? ? 17 ,
∴ f ( x)max ? 17, f ( x)min ? 1 ; …………………………………………6 分 (Ⅱ)函数 f(x)的对称轴 x ? ?a, ………………………………………7 分 当 ? a ? 5 ,即 a ? ?5 时, f ( x ) 在 ? ?3,5? 上单调递减,……………………9 分 当 ?a ? ?3 ,即 a ? 3 时, f ( x ) 在 ? ?3,5? 上单调递增,………………………11 分 综上, a 的取值范围为 ?3, ??? ? ? ??, ?5? . ……………………………………12 分 20. (Ⅰ)证明:设 1 ? x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 分

x1 ? 1 x2 ? 1 ? x1 ? 1 x2 ? 1

……………2

?

?x1 ? 1??x2 ? 1? ? ?x2 ? 1??x1 ? 1? ? 2?x2 ? x1 ? ?x1 ? 1??x2 ? 1? ?x1 ? 1??x2 ? 1?

.………………3 分

因 x1 ? 1, x2 ? 1, ? x1 ? 1 ? 0, x2 ? 1 ? 0, ? ( x1 ? 1)?x2 ? 1? ? 0, ………………4 分 因 x1 ? x2 ,? x2 ? x1 ? 0, ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) .……………5 分

? f ( x ) 在 ?1,??? 上是减函数. ………………………………………………6 分
(Ⅱ)是偶函数,原因如下: ,…………………………7 分

g (x ) = ln f (x )= ln


x +1 , x -1

x +1 > 0 ,得函数 g ( x ) 的定义域 {x x < - 1, 或x >1} ,关于原点对称,………8 分 x -1 - x +1 x -1 x +1 = ln = - ln = - g (x ) ,………………………11 分 又∵ g (- x ) = ln -x -1 x +1 x -1

\ 函数g (x ) 是偶函数

………………………………12 分

21. 解: (Ⅰ)由图像可知, ? 所以 y ? ? x ? 1000

?400 ? k ? 600 ? b ?k ? ?1 ,解得, ? , ?300 ? k ? 700 ? b ?b ? 1000

(500 ? x ? 800) .…………………………6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得, S = xy - 500 y = (- x +1000)(x - 500)

? ? x 2 ? 1500x ? 500000 , (500 ? x ? 800) .…………………………8 分
2 又 S ? ?( x ? 750) ? 62500,其图像开口向下,对称轴为 x ? 750 ,所以当

x ? 750 时, S max ? 62500.…………………………11 分
即该公司可获得的最大毛利润为 62500 元,此时相应的销售单价为 750 元/件.…12 分 22.解: (Ⅰ) 设 g ? x ? ? a
x

? a ? 0且a ? 1? ,则 a3 ? 8 ,

? a=2, ? g ? x ? ? 2x , ………………………………………………………………1 分

n ? 2x , ? f ? x? ? m ? 2 x ?1
因为 f ( x ) 是奇函数,所以 f (0) =0,即 ∴ f ? x? ?

n ?1 ? 0 ? n ? 1 , ………………2 分 2?m

1 ? 2x , 又 f (?1) ? ? f ?1? , 2 x ?1 ? m

1 1? 2 ? 2 =? ? m ? 2 ; ………………………………………………3 分 m ?1 4?m 1?
1 ? 2x . ………………………………………………4 分 ? f ?x ? ? 2 ? 2x ?1
(Ⅱ)由(Ⅰ)知: f ( x) ?

1 ? 2x 1 1 ?? ? x , x ?1 2?2 2 2 ?1

又因 h (x ) = f (x ) +a 在(-1,1)上有零点,

1 1 1 1 h (? 1 ? )h ( 1 ? ) ,即 0 (? ? ? a ) ? (? ? ? a) ? 0 ,………………6 分 2 1 ?1 2 2 ?1 2 1 1 ∴ (a ? ) ? (a ? ) ? 0 , ………………………………7 分 6 6 1 1 ∴ ? ? a ? , ………………………………8 分 6 6 1 1 ∴a 的取值范围为 ( ? , ) .………………………………9 分 6 6
从而 (Ⅲ)由(Ⅰ)知 f ( x) ?

1 ? 2x 1 1 ?? ? x , x ?1 2?2 2 2 ?1
…………………………10 分

易知 f ( x ) 在 R 上为减函数. 又因 f ( x ) 是奇函数, f 所以 f

? 2t ? 3? ? f ?t ? k ? ? 0

? 2t ? 3? ? ?f ?t ? k ? = f ? k ? t ? ,…………………………12 分

因 f ( x ) 为减函数,由上式得: 2t ? 3 ? k ? t , 即对一切 t ? (1, 4) ,有 3t ? 3 ? k 恒成立, 令 m(x)= 3t ? 3 , t ? [1, 4] ,易知 m(x)在 [1, 4] 上递增,所以 y max = 3? 4 3 = 9 , ∴k ? 9 , 即实数 k 的取值范围为 9, +?

[

) .……………………………………………………14 分



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