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二维变换编码法分割递推习题



一、已知二维空间一个三角形,三个顶点的坐标分别是 A(3,1) 、B(8,3)和 C(6,6) , 以 B 点为固定点,将三角形放大为原来的 3 倍(就是坐标值放大 3 倍) ,请使用矩阵变换的 方法求出变换后三角形各顶点的坐标值,要求写出变换的步骤,各步的变换矩阵。 (12 分)

C

B

A

0 0? ?1 ? 1 0? 1、将 B 点平移至坐标原点,变换矩阵为:T1= 0 ? ? ? ? ? 8 ? 3 1 ? ? ?3 0 0? ? ? 2、放大 3 倍,变换矩阵为:T2= 0 3 0 ? ? ? ?0 0 1 ? ? ?1 0 0 ? ? ? 3、将 B 点平移至原来的位置,变换矩阵为:T3= 0 1 0 ;这样,总体变换矩阵为: ? ? ? ? 8 3 1 ? ? 0 0 ? ? 3 0 0 ? ?1 0 0 ? 0 0? ?1 ? 3 ? ? ? ? ? ? ? 1 0 ? ?0 3 0 ? ?0 1 0 ? = ? 0 3 0? T=T1T2T3= 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0 1 8 3 1 ? 16 ? 6 1 ? 8 ? 3 1 ?? ? ? ? ? ?? 0 0? ? 3 ? 3 0? A 的变换结果为: ?3 1 1? ? 0 ? = ?? 7 ? 3 1? ? ?? 16 ? 6 1 ? ? 0 0? ? 3 ? 3 0? B 的变换结果为: ?8 3 1? ? 0 ? = ?8 3 1? ? ?? 16 ? 6 1 ? ? 0 0? ? 3 ? 3 0? C的变换结果为: ?6 6 1? ? 0 ? = ?2 12 1? ? ?? 16 ? 6 1 ? ?
所以变换后 A 的坐标为(-7,-3) ;C 的坐标为(2,12) ;B 的坐标不变。

(正确的写明,2 分;错误写明,1 分; 不写的,扣 2 分) 2、如图所示三角形 ABC,将其绕 A 点逆时针旋转 900 并放大 2 倍,写出其变换矩阵并计算 变换后图形各点的新坐标。 (12 分)
y A(2,5)

C(6,3) B(1,1) O x

0 0? ?1 ? 1 0? 1、将 A 点平移至坐标原点,变换矩阵为:T1= 0 ? ? ? ? ? 2 ? 5 1 ? ? ? 0 1 0? ? ? 2、将 B、C两点进行旋转变换,变换矩阵为:T2= ? 1 0 0 ? ? ? ? 0 0 1 ? ? ?2 0 0? ? ? 3、将 B、C两点进行放到 2 倍比例变换,变换矩阵为:T3= 0 2 0 ? ? ? ? 0 0 1 ? ? ?1 0 0 ? ? ? 4、将 A 点平移至原来的位置,变换矩阵为:T4= 0 1 0 ? ? ? ? 2 5 1 ? ?
这样,总体变换矩阵为:T=T1T2T3T4

(2 分)

(2 分)

(2 分)

(1 分)

0 0? ? 0 1 0 ? ? 2 0 0 ? ?1 0 0 ? ?1 ? 0 2 0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0? ? ? 1 0 0 ? ? 0 2 0 ? ? 0 1 0 ? = ? = 0 ? ?? 2 0 0? ? ? ?? 2 ? 5 1? ? ? ?0 0 1 ? ?? ?2 5 1? ? ? 0 0 1? ?? ? 12 1 1 ? ? ? 0 2 0? ? B的变换结果为: ?1 1 1? ? ? ? 2 0 0? = ?10 3 1? ? ? 12 1 1 ? ? ? 0 2 0? ? C的变换结果为: ?6 3 1? ? ? ? 2 0 0? = ?6 13 1? ? ? 12 1 1 ? ?

(2 分)

(1 分)

(1 分)

所以变换后 B 的齐次坐标为(10,3,1) ;C 的齐次坐标为(6,13,1) ;A 的坐标不变。 (1 分)

3、试用区域编码裁剪算法的原理说明下图中线段 AB 和 CD 的裁剪过程。 (10 分)

1001

1000

1010

1)区域编码为:
0001 0000 0010

( 1 分, 没有标编码,扣 1 分 )

0101

0100

0110

2)对线段 AB: (6 分) (1)线段 AB 的编码为 A:0101,B:1010。A 点的代码不为 0,需要进行分割。对 A 点进行 处理,按照上、下、右、左的分割顺序。 (2)求得 AB 与窗口下边界的交点E,编码为:E:0001,B:1010。新代码不为 0,逻辑乘 为 0,需要进一步分割。 (3)与窗口左边的交点 F,编码为:F:0000,B:1010,对 A 的处理完成。 (4)处理 B 点,编码为:F:0000,B:1010,代码不为 0,逻辑乘为 0,需要进一步分割。 (5)求得 BF 与窗口上边界的交点 K,编码为:F:0000,K:0000。 (6)新代码为 0,对 B 的处理完成。这样 AB 最后的输出为:FK。 3)对线段 CD: (3 分) (1)线段 CD 的编码为 C:0100,D:0010。两个端点的代码全不为 0,逻辑乘为 0,需要 进一步分割。 (2)对于 C 点,求得 CD 与窗口下边界的交点 H,编码为 0010,不为 0,D:0010,和 D 点的逻辑乘为 1,所以 C’D 位于窗口之外,整个线段无输出。

3、试写出由 4 个控制点(16,17) 、 (30, 45) 、 (65,40) 、 (78,20)构造的 Bezier (贝赛尔)曲线的方程,并用 Bezier 曲 线的分割递推 deCasteljau 算法,求出参 数 t=0.5 时曲线上点 P 的坐标。 (12 分)

答: (16+30)/2, (17+45)/2 (141/4, 147/4) 379/8 73/2

(30+65)/2, (45+40)/2 (119/2, 145/4)

(65+78)/2, (40+20)/2

4、 给出 4 个控制点 (15, 18) 、 (30, 45) 、 (66,42) 、 (78,27) ,可构造一条 3 次 Bezier 曲线。现要求在 t=2/3 处将此曲线分割成两段 Bezier 曲 线, 计算两段新曲线的控制顶点。 (15 分)

5、给出 4 个控制点(15,18) 、 (30,45) 、 (66,42) 、 (78,27) ,可构造一条 3 次 Bezier 曲线。现要求在 t=2/3 处将此曲线分割成两段 Bezier 曲线,计算两段新曲线的控制顶 点。 (15 分)

八、给出 4 个控制点(15,18) 、 (30,45) 、 (66,42) 、 (78,27) ,可构造一条 3 次 Bezier 曲线。现要求在 t=2/3 处将此曲线分割成两段 Bezier 曲线,计算两段新曲线的控制顶 点。 (15 分)

Castelijau 递推过程 (15, 18) (25, 36) (133/3, 122/3) (30, 45) (54, 43) (202/3, 107/3) (66, 42) (74, 32) (78, 27) (537/9, 112/3)

十、给出 4 个控制顶点(12,18) 、 (30,42) 、 (60,36) 、 (76,24) ,构造一条三次 Bezier 参数曲线。 现要求在 t=0.5 处将此曲线分割成两段 Bezier 曲线, 计算两段新曲线的控制顶 点。 (12 分)

Castelijau 递推过程 (12, 18) (21, 30) (33, 34.5) (30, 42) (45, 39) (56.5, 34.5) (60, 36) (68, 30) (76, 24) 第一段线:(12, 18)、(21, 30)、(33, 34.5)、(44.75, 34.5) 第二段线:(44.75, 34.5)、(56.5, 34.5)、(68, 30)、(76, 24) (44.75, 34.5)



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