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【金版学案】2015-2016高中数学 4.3.2空间两点间的距离公式练习 新人教A版必修2



4.3.2
基 础 梳 理

空间两点间的距离公式

1.在空间中,点 P(x,y,z)到坐标原点 O 的距离|OP|= x +y +z . 练习1:点 M(4,-3,5)到坐标原点 O(0,0,0)的距离为 d= 42+(-3)2+52=5 2. 练习2:如果|OP|是定长 r,那么 x2+y2+z2=r2 表示什么图形? 答案:表示球心为 O,球半径为 r 的球. 2 . 在 空 间 中 , P1(x1 , y1 , z1) 与 P2(x2 , y2 , z2) 的 距 离 |P1P2| = (x1-x2) +(y1-y2) +(z1-z2) . ?思考应用 若点 P(x,y,z)到点 A(2,1,4)的距离为 5,则 x,y,z 满足什么关系式?你能想象 点 P 的集合是什么吗? 解析: (x-2) +(y-1) +(z-4) =5, 2 2 2 ∴(x-2) +(y-1) +(z-4) =25.点 P 的集合是以(2, 1, 4)为球心, 半径为 5 的球面.
2 2 2 2 2 2

2

2

2

自 测 自 评 1.坐标原点到下列各点的距离最小的是(A) A.(1,1,1) B.(1,2,2) C.(2,-3,5) D.(3,0,4) 2.点 P(2,3,4)到 y 轴的距离是(B)

A. 13 B.2 5 C.5 D. 29
解析:点 P 在 y 轴的射影 P′为(0,3,0), ∴|PP′|= 2 +4 = 20=2 5. 3.点(1,0,2)位于(C) A.y 轴上 B.x 轴上 C.xOz 平面内 D.yOz 平面内 4.点 P(1,4,-3)与点 Q(3,-2,5)的中点坐标是(C) A.(4,2,2) B.(2,-1,2) C.(2,1,1) D.(4,-1,2)
2 2

基 础 达 标

1.点?

3 2? ? 6 , , ?到原点的距离是(B) 3 2 ? ?6

A.

30 33 B.1 C. 6 6

D.

35 6
1

解析:|PO|=

? 6?2 ? 3?2 ? 2?2 ? ? +? ? +? ? =1. ?6? ?3? ?2?

2.点 M(3,-2,1)关于面 yOz 对称的点的坐标是(A) A.(-3,-2,1) B.(-3,2,-1) C.(-3,-2,-1) D.(-3,2,1) 解析:关于面 yOz 对称的两个点应该是横坐标互为相反数,纵、竖坐标不变,故选 A. 3.空间直角坐标系中,点 A(-3,4,0)与点 B(x,-1,6)的距离为 86,则 x 等于(C) A.2 B.-8 C.2 或-8 D.8 或-2 解析:由 (x+3) +(-1-4) +(6-0) = 86, 2 ∴(x+3) =25, ∴x=2 或-8. 4.与两点 A(3,4,5),B(-2,3,0)距离相等的点 M(x,y,z)满足的条件是(A) A.10x+2y+10z-37=0 B.5x-y+5z-37=0 C.10x-y+10z+37=0 D.10z-2y+10z+37=0 2 2 2 2 2 2 解析:由|MA|=|MB|,即(x-3) +(y-4) +(z-5) =(x+2) +(y-3) +z ,化简得 10x+2y+10z-37=0,故选 A. 5.空间直角坐标系中,点 A(-3,4,0)和点 B(2,-1,6)的距离是(D)
2 2 2

A.2 43 B.2 21 C.9 D. 86
6.已知 A(3,2,1),B(1,0,4),求: (1)线段 AB 中点的坐标和 A 与 B 的距离; (2)到 A,B 两点距离相等的点 P(x,y,z)的坐标 x,y,z 满足的条件,并指出方程表 示什么图形. 3+1 解析:(1)M(x,y,z)是 AB 的中点,则 x= =2, 2 2+0 1+4 5 y= =1,z= = , 2 2 2 5? ? ∴M 点的坐标为?2,1, ?. 2? ? 两点间的距离 |AB|= (1-3) +(0-2) +(4-1) = 17. (2)由 P(x,y,z)到 A、B 两点的距离相等. 则 (x-3) +(y-2) +(z-1) = 2 2 2 (x-1) +(y-0) +(z-4) , 化简得 4x+4y-6z+3=0. 即到 A、B 的距离相等的点的坐标(x,y,z)满足的条件是 4x+4y-6z+3=0.方程表示 的图形是线段 AB 的垂直平分面. 巩 固 提 升 7.给定空间直角坐标系,在 x 轴上找一点 P,使它与点 P0(4,1,2)的距离为 30,则 点 坐 标 为
2 2 2 2 2 2

P

2

________________________________________________________________________. 解析: 设点 P 的坐标为(x, 0, 0), 由题意, 得|P0P|= 30, 即 (x-4) +1 +2 = 30. ∴x=9 或 x=-1. ∴P 点坐标为(9,0,0)或(-1,0,0). 答案:(9,0,0)或(-1,0,0) 8.在空间直角坐标系中,已知 A(0,0,3),B(2,0,0),C(0,2,0),则△ABC 的面 积是多少? 解析:|AB|= (0-2) +(0-0) +(3-0) = 13, 2 2 2 |BC|= (2-0) +(0-2) +(0-0) =2 2, 2 2 2 |AC|= (0-0) +(0-2) +(3-0) = 13, ∵|AB|=|AC|, ∴△ABC 是等腰三角形, 则 BC 边上的高 h= ( 13) -( 2) = 11. 1 1 ∴S△ABC= |BC|·h= ×2 2× 11= 22. 2 2 9.在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,1)和 B(1,0,-3),试问: (1)在 y 轴上是否存在点 M,满足|MA|=|MB|? (2)在 y 轴上是否存在点 M,使△MAB 为等边三角形?若存在,试求出点 M 的坐标. 解析:(1)假设 y 轴上存在 M 点满足|MA|=|MB| 设 M(0,y,0)由|MA|=|MB|,可得 3 +y +1 = 1 +y +3 ,显然,此式对任意 y∈R 恒成立. ∴y 轴上所有点都满足|MA|=|MB|. (2)假设 y 轴存在点 M,使△ABC 为等边三角形.由(1)可知,y 轴上任意一点都有|MA| =|MB|, ∴只要满足|MA|=|AB|就可以使得△MAB 是等边三角形. ∵|MA|= 10+y ,|AB|= 2 2 2 (1-3) +(0-0) +(-3-1) = 20, 2 ∴ 10+y = 20,解得 y=± 10. ∴存在点 M(0, 10,0)或(0,- 10,0). 10.在空间直角坐标系中,正方体 ABCDA1B1C1D1 的顶点 A(3,-1,2),其中心 M 的坐标 为(0,1,2),求该正方体的棱长. 解析:|AM|= (3-0) +(-1-1) +(2-2) = 13, ∴对角线|AC1|=2 13, 2 2 设棱长 x,则 3x =(2 13) , 2 39 ∴x= . 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3

空间中两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广, 常应用在四个方面: 一是根 据坐标求距离,二是根据距离求点的坐标,三是利用边长判断三角形的形状,四是求空间中 点的轨迹方程. 目的都是考查空间中两点间距离公式, 解答时可类比平面上解决类似问题的 方法.在求轨迹方程时,注意理解方程表示的图形.

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