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新版湖北省黄梅一中高三上学期适应性训练(三)数学试题(含答案)

新版-□□新版数学高考复习资料□□-新版

1

1

黄梅一中 20xx 届高三上学期适应性训练(三)

数学试题

一、选择题

1.复数 2 ? 1? i 等于( 1?i i

A. 0

B. i

) C.-i

2.执行如图所示的程序框图,输出结果 S=( )

D.1+i

A. 1006

B.1007

C.1008

D.1009 sj.fjjy.org

3.已知等比数列{am}的前 m 项和为 Sm,若 S 2n =4(a1+a3+a5+…+a2m-1),a1a2a3=27,则 a6=( )

A.27

B.81

C. 243

D.729

4.“a≥0”是“函数 f (x) ? (ax ?1)x 在区间(-∞,0)内单调递减”的( )

A.充要条件

B.必要不充分条件

C.充分不 f (x) ? (ax ?1)x 必要条件

D.即不充分也不必要条件

5.设 a , b , c 是空间任意的非零向量,且相互不共线,则以下命题中:

①( a · b )· c -( c · a )· b =0;② a ? b ? a ? b ;③ a ? b c ? a c ? b c .

真命题的个数是( )

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

6.在区域 D: (x ?1)2 ? y2 ? 4 内随机取一个点,则此点到点 A(1, 2)的距离大于 2 的概率是( )

A. 1 ? 3 3 2?

B. 3 C. 1 D. 1 ? 3

2?

3

3 2?

?x ? y ? 2

7.设实数

x,y

满足不等式组

? ?

x

?

y

?

2

,则 z ? x ? y 的最大值为

.

??0 ? y ? 3

8.

1? 2i (1? i)2

?

()

(A) ?1? 1 i 2

(B) ?1? 1 i 2

(C)1? 1 i 2

(D)1? 1 i 2

9.已知双曲线 C : x2 ? y2 ? 1 a2 b2

(a ? 0,b ? 0) 的离心率为错误!未找到引用源。 5 ,则 C 的渐 2

近线方程为( )

(A) y ? ? 1 x 4

(B) y ? ? 1 x 3

(C) y ? ? 1 x 2

(D) y ? ?x

10.设首项为1 ,公比为 2 3

的等比数列{an}

的前 n

项和为 Sn

,则(



(A) Sn ? 2an ?1

(B) Sn ? 3an ? 2 (C) Sn ? 4 ? 3an (D) Sn ? 3 ? 2an

二、填空题 11.过点(-1,1)与曲线 f (x) ? x3 ? x2 ? 2x ?1 相切的直线有

条(以数字作答).

12.设 x, y 满足约束条件

?1 ? x ? 3, ???1 ? x ? y ? 0

,则 z ? 2x ? y 的最大值为______。

13.设当 x ? ? 时,函数 f (x) ? sin x ? 2 cos x 取得最大值,则 cos? ? ______.
14.设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为 m),则该几何体的体积为__________m3.

15.已知向量 a ,b 满足| a |=1,| b |=2,a 与 b 的夹角为 60°,则|- b |=__________.

三、解答题

16.(本小题满分共 12 分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别成为 A 药,B 药)的疗效,随机地选

取 20 位患者服用 A 药,20 位患者服用 B 药,这 40 位患者服用一段时间后,记录他们日平均增加的

睡眠时间(单位:h)实验的观测结果如下:

服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间:

0.6 1.2 2.7 1.5

2.8 1.8 2.2 2.3

3.2

3.5 sj.fjjy.org

2.5 2.6 1.2 2.7

1.5 2.9 3.0 3.1

2.3

2.4 sj.fjjy.org

服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间:

3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4

1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5

(1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果来看,哪种药的效果好? (2)完成茎叶图,从茎叶图来看,哪种药疗效更好?

17.等差数列{am}的前 m 项和为 Sm,已知 S3= a22 ,且 S1,S2,S 4 成等比数列, (1)求数列{am}的通项公式.

(2)若{am}又是等比数列,令 bm= 9

,求数列{bm}的前 m 项和 Tm.

Sn ? Sn?1

18.(本小题满分 12 分)如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, CA ? CB , AB ? AA1 , ?BAA1 ? 60 。

(Ⅰ)证明: AB ? A1C ; (Ⅱ)若 AB ? CB ? 2 , A1C ? 6 ,求三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体积。 19.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲

已知函数 f (x) ?| 2x ?1| ? | 2x ? a | , g(x) ? x ? 3 . (Ⅰ)当 a ? ?2 时,求不等式 f (x) ? g(x) 的解集; (Ⅱ)设 a ? ?1 ,且当 x ?[? a , 1) 时, f (x) ? g(x) ,求 a 的取值范围。
22
20.如图,在△ABC 中,CD 是∠ACB 的平分线,△ACD 的外接圆交于 BC 于点 E,AB=2AC.
(Ⅰ)求证:BE=2AD; (Ⅱ)当 AC=1,EC=2 时,求 AD 的长. 21.(本小题满分 12 分)已知圆 M : (x ?1)2 ? y2 ? 1,圆 N : (x ?1)2 ? y2 ? 9 ,动圆 P 与圆 M 外切 并且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C 。 ( Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)l 是与圆 P ,圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A , B 两点,当圆 P 的半径最长是,求 | AB | 。

参考答案

【解析】

试题分析:对于①, b , c 是不共线的两个非零向量,又 a · b 与 c · a 均不为零,所以①假命题;

对于② ,因为三角形两边之和大于第三边,所以②是真命题;对于④是假命题.故选 B.

考点:1.向量的运算;2.向量数量积的几何意义.

6.A

【解析】

试题分析:区域 D 的面积为 4? ,在区域 D 的点到点 A(1,2)的距离不大于 2 的面积为 2×( 1 r2? - 2

1 r2 sin ? ) =2 × ( 1 ? 22 ? 2? - 1 ? 22 ? sin 2? ) =2 ( 4? ? 3 ), 所 求 的 概 率 为

2

2

32

3

3

4? ? 2( 4? ? 3

3) = 1 ?

3 ,故选 A.

4?

3 2?

考点:几何概型

7.8

【解析】

试题分析:不等式组的可行域如图 13 题△ABC 及内部所示,

当目标函数 z ? x ? y 过点 B(5,3)时,z 取最大值,最大值为 5+3=8.

y C(-1,3)

B(5,3)

O A(2,0) x

考点:线性规划的最优解.

8.B;

1? 2i 【解析】 (1? i)2

? 1? 2i ?2i

?

i?2 2

?

i 2

?1.

【考点定位】本题考查复数的基本运算,考查学生的基本运算能力.

9.C;

【解析】 e

?

c a

?

1?

b2 a2

?

5 2

b2 ,故 a2

?

1 4

b ,即 a

?

1 2

y
,故渐近线方程为

?

?

b a

x

?

?

1 2

x
.

【考点定位】本题考查双曲线的基本性质,考查学生的化归与转化能力.

10.D;

【解析】解法一:由等比数列公式可知, Sn

?

1

?

? ??

2 3

?n ??

1? 2

? 3?3

?

2

n
?

?? 3 ??

? 3? 2

?

2

n?1
?

an

?? 3 ?? ,

? ( 2)n?1 3


3

对照两式可知选 D; 解法二:若 Sn ? 3 ? 2an ,当 n ? 1 时, a1 ? 1,当 n ? 2 时, Sn ? 3 ? 2an , Sn?1 ? 3 ? 2an?1 ,两式对

减,得

an an?1

?

2 3

,故选

D.

【考点定位】本题考查等比数列的通项公式与前 n 项和公式,考查学生的基本运算能力以及转化与 化归能力. 11 .2 【解析】
试题分析:y? = 3x2 ? 2x ? 2 ,(-1,1)曲线上,若(-1,1)不是切点设切点为( x, x3 ? x2 ? 2x ?1 ),

那么直线 l 的斜率就是 3x2 ? 2x ? 2 = x3 ? x2 ? 2x ,即 3x2 ? 2x ? 2 =x2-2x,解得 x=1 或-1(舍),所 x ?1
以切点为(1,-1),斜率为-1,切线方程为 y=-(x-1)-1;若(-1,1)是切点,则 k=2,切线方 程为 y=2(x+1)+1,所以由 2 条切线.

考点:导数和曲线的切线. 12.3; 【解析】做出可行域可知,当 x ? 3, y ? 3 的时候 z 有最大值 3.
【考点定位】本题考查线性规划知识,考查学生的数形结合能力以及逻辑推理能力.

13.

?

2

5 5



【解析】 cos?

?

?2 5

?

?

25 5

.

【考点定位】本题考查三角恒等变换,考查学生对概念的理解 14. 4 【解析】 试题分析:这 是 一 个 三 棱 锥 ,高 为 2,底 面 三 角 形 一 边 为 4,这 边 上 的 高 为 3,它的体 积 等
于V ? 1?2?4?3,故答案为:4 6
考点:三 视 图 求 体 积 , 三 视 图 的 复 原 , 考 查 学 生 空 间 想 象 能 力 .
15. 3

【解析】

试题分析:

a

?b

2

?

2
a

?

2
2a?b ? b

?

2
a

?2

a

?

b

cos 60?

2
?b

?1?

2?1? 2?

1

?

4

?

3



2

a?b ? 3.

考点:本题向量的运算,考查学生的基本运算能力.

16.(1)服用 A 药睡眠时间平均增加 2.3;服用 B 药睡眠时间平均增加 1.6;从计算结果来看,服用

A 药的效果更好;

(2)

A药

B药

6

0.

89565

25825

1.

792346812

7 823567934

2.

46157

2501

3.

2

sj.fjjy.org

从茎叶图来看,A 的数据大部分集中在第二、三段,B 的数据大部分集中在第一、二段 ,故 A 药的药

效好.

【解析】(1)利用平均数公 式进行计算;(2)绘制茎叶图,进行观察.

【考点定位】本题考查茎叶图、利用样本数据估计总体,考查学生的数据处理能力.

17.(1)am=3 或 am=2m-1 (2)Tm= n n ?1
【解析】

试题分析:(1)首先根据等差数列的性质,把已知条件转化为关于 a2 的方程,解出 a2 的值,然后再

根据等比数列的性质,结合已知条件列出关于 a2、d 的方程,求出公差 d 即可求出通项公式;(2) 试题解析:(1)设数列{am}的公差为 d,由 S3= a22 ,可得 3a2= a22 ,解得 a2=0 或 a2=3.
由 S1 , S2 , S4 成 等 比 数 列 , 可 得 S22 ? S1S4 , 由 S1 ? a2 ? d, S2 ? 2a2 ? d, S4 ? 4a2 ? 2d , 故
( 2a2 ? d )2 ? (a2 ? d )( 4a2 ? 2d ). 若 a2=0 ,则 d 2 ? ?2d 2 ,解得 d=0.此时 Sm=0.不合题意; 若 a2=3,则 (6 ? d)2 ? (3 ? d)(12 ? 2d) ,解得 d=0 或 d=2,此时 am=3 或 am=2m-1.

(2)若{am}又是等比数列,则 Sm=3m,所以 bm= 9 =

9

? 1 =1? 1 ,

Sn ? Sn?1 3n ?3(n ?1) n ? (n ?1) n n ?1

故 Tm=(1- 1 )+( 1 - 1 )+( 1 - 1 )+…+( 1 ? 1 )=1- 1 = n .

2

23

34

n n?1

n?1 n?1

考点:1.等差数列和等比数列的性质以及等差数列的通项公式;2.数列的前 m 项和求法—裂项法.

18.(1)取 AB 的中点 O,连接 OC1O、 OA1O、 A1B ,因为 CA=CB,所以 OC ? AB ,由于 AB=A A1,∠

BA A1=600,所以 OA1 ? AB ,所以 AB ? 平面 OA1C ,因为 A1C ? 平面 OA1C ,所以 AB⊥A1C;

(2)因为 A1C 2 ? OC 2 因为 ?ABC 为等边三角形,所以 CO ? 所以体积V ? 1 ? 2 3 ? 3 ? 2
3

3 ,底面积 S ? 1 ? 2 3 ? 2 ? 2 3 , 2

【解析】(1)构造辅助线证明线面垂直,进而得到线线垂直;(2)利用体积公式进行求解. 【考点定位】本题考查线面垂直的判定、线面垂直的性质以及三棱柱的体积公式,考查学生的化归 与转化能力以及空间想 象能力. 19.
sj.fjjy.org

a ? ?2

???5x, ?

x

?

1 2

(1)当

时,令

y

?

2x ?1

?

2x ? 2

?

x?3?

??? x ?

?

2,

1 2

?

x

?1 ,作出函数图像可知,当

?3x ? 6, x ? 1

??

? x ? (0, 2) 时, y ? 0 ,故原不等式的解集为 x 0 ? x ? 2? ;

1? (2)依题意,原不等式化为

a

?

x

?

3 ,故

x

?

a

?

2



????

a 2

,

1 2

? ??

都成立,故

?

a 2

?

a

?

2

,故 a

?

4 3





a

的取值范围是

? ??

?1,

4 3

? ??

.

【解析】(1)构造函数 y ? 2x ?1 ? 2x ? 2 ? x ? 3 ,作出函数图像,观察图像可知结论;(2)利用

分离参数法进行求解.

【考点定位】本题考不等式的解法,考查学生数形结合的能力以及化归与转化思想.

20.(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ) AD ? 1 . 2

【解析】

试题分析:(Ⅰ)要证明 BE ? 2AD ,注意到 CD 是 ?ACB 的平分线,等角对等弦,可连接 DE ,则 AD ? DE ,可证 BE ? 2DE ,又因为 AB ? 2AC ,可证 ?DBE∽?CBA 即可, 由圆内接四边形的性

质可证;(Ⅱ)根据割线定理,建立 AD 的方程,解出 AD 即可.

试 题 解 析 :( Ⅰ ) 连 接 DE , 因 为 ACED 是 圆 的 内 接 四 边 形 , 所 以 ?BDE ? ?BCA , 又

?DBE

?

?CBA

?DBE∽?CBA

,所以

,即有

BE

?

DE

,又

AB

?

2 AC

,所以

BE

?

2DE

CD ,又

BA CA

是 ?ACB 的平分线,

所以 AD ? DE ,从而 BE ? 2AD .

( Ⅱ ) 由 条 件 的 AB ? 2AC ? 2 设 AD ? t , 根 据 割 线 定 理 得 BD ? BA ? BE ? BC , 即
? AB ? AD? ? BA ? 2AD ??2AD ? CE ? ,所以 ?2 ? t ?? 2 ? 2t ?2t ? 2? 即 2t2 ? 3t ? 2 ? 0

解得 t ? 1 ,或 t ? ?2 (舍去),即 AD ? 1

2

2

考点:本小题考查割线定理,相似三角形,等角对等弦,圆内接四边形,考查分析问题、解决问题的

能力,及推理论证能力.

21.依题意,圆 M 的圆心 M (?1, 0) ,圆 N 的圆心 N (1, 0) ,故 PM ? PN ? 4 ? 2 ,由椭圆定理可知,

曲线 C 是以 M、N 为左右焦点的椭圆(左顶点除外),其方程为

x2 4

?

y2 3

? 1(x

?

2) ;

(2)对于曲线 C 上任意一点 P(x, y) ,由于 PM ? PN ? 2R? ? 2 (R 为圆 P 的半径),所以 R=2, 所以当圆 P 的半径最长时,其方程为 (x ? 2)2 ? y2 ? 4 ;

若直线 l 垂直于 x 轴,易得 AB ? 2 3 ;

QP R

Q(?4, 0)

y ? k(x ? 4)

若直线 l 不垂直于 x 轴,设 l 与 x 轴的交点为 Q,则 QM ? r1 ,解得

,故直线 l:



有 l 与圆 M 相切得

3k 1? k2

? 1,解得 k ? ?

2 4

;当

k

?

2 4

时,直线

y

?

2 x? 4

2 ,联立直线与

椭圆的方程解得

AB

?

18 7

;同理,当

k

?

?

2 4 时,

AB

? 18 7.

【解析】(1)根据椭圆的定义求出方程;(2)先确定当圆 P 的半径最长时,其方程为 (x ? 2)2 ? y2 ? 4 ,
再对直线 l 进行分类讨论求弦长. 【考点定位】本题考查椭圆的定义、弦长公式、直线的方程,考查学生的运算能力、化简能力以及 数形结合的能力.
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