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2014届高新一中、长安一中、交大附中、师大附中、西安中学五校联考数学试题理科


高新一中、长安一中、交大附中、师大附中、西安中学 高 2013 届第一次模拟考试

数学(理)试题
第Ⅰ卷(选择题
共 50 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 M={x|一 3<x<3,x∈Z),N={x|x<1},则 M ? N= A.{ x | ?3 ? x ? 1} B. {x | 0 ? x ? 2}

C.{-3,-2,-1,0,1) D.{-2,一 1,0} 2.已知直线 a 和平面 ? ,那么 a// ? 的一个充分条件是 A.存在一条直线 b,a//b 且 b ? ? B.存在一条直线 b,a ? b 且 b ? ? C.存在一个平面 ? ,a ? ? ∥且 ? // ? D.存在一个平面 ? , ? // ? 且 ? // ? 3.如果数列 a1 , A.32
2

a a2 a3 , ,? , n , …是首项为 1,公比为 ? 2 的等比数列,则 a5 等于 a1 a2 an ?1
B.64 C.—32 D.—64

4.过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点作直线交抛物线于 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) 两点,若

x1 ? x2 ? 2,| PQ |? 4 ,则抛物线方程是
A. y ? 4 x
2

B. y ? 8 x
2

C. y ? 2 x
2

D. y ? 6 x
2

5. ( x ? ) 展开式中,常数项为 15,则 n 的值可以为
2 n

1 x

A.3 B.4 C.5 6.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是 A. 2 ? 2 ? 6 B. 2(1 ? D. 2 ?

D.6

2) ? 6

C.

2 3

3 2 ? 6 2

7.给出 15 个数:1,2,4,7,1 l,…,要计算这 15 个数的和,现给出解决该问题的程序 框图(如右图所示),那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入 A. i ? 16?; p ? p ? i ? 1 C. i ? 15?; p ? p ? i ? 1 B. i ? 14?; p ? p ? i ? 1 D. i ? 15?; p ? p ? i

? ? ?? x ? 1(? 1 ? x ? 0) ?| x |? ? 8.已知实数 x,y 满足 ? 2 , 则点( x, y )在函数f ( x) ? ? ? 的图象与 cos x (0 ? x ? ) ? ? ?| y |? 1 ? 2
坐标轴所围成的封闭图形的内部的概率为 A.

3 2?

B.

1 4?

C.

3 4?

D.

1 2?

9.台风中心从 A 地以每小时 20 千米的速度向东北方向移动,离台风中心 30 千米内的地 区为危险区。城市 B 在 A 的正东 40 千米处,B 城市处于危险区内的时间为 A.0.5 小时 B.I 小时 C.1.5 小时 D.2 小时 10.对于任意两个正整数 m,n,定义某种运算“ ”如下:当 m,n 都为正偶数或正奇数 时,m n=m+n;当 m,n 中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m n=mn。则在此 定义下,集合 M ? {(a, b) | a A.10 个 B.15 个

b ? 12, a ? N * , b ? N * } 中的元素个数是
C.16 个 (共 100 分) D.18 个

第Ⅱ卷

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置. 11.设 F1、F2 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的两焦点,点 P 在双曲线上.若点 P 到焦点 F1 的距离 16 20
。 。

? ? ? ? x y 12.已知向量 a ? ( x ? 1, 2), b ? (4, y ), 若a ? b, 则9 ? 3 的最小值为
3

等于 9,则点 P 到焦点 F2 的距离等于

13 . 若 函 数 f ( x) ? x ? 6bx ? 3b 在 ( 0 , 1 ) 内 有 极 小 值 , 则 实 数 b 的 取 值 范 围 是 。

14.以下有四种说法: ①若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,则 p 与 q 必为一真一假; ②若数列 {an }的前n项和为Sn ? n ? n ? 1, n ? N , 则an ? 2n, n ? N ;
2 * *

③若实数 t 满足 f (t ) ? ?t , 则称t是函数f ( x) 的一个次不动点,设函数 f ( x) ? ln x 与 函数 g ( x) ? e (其中e 为自然对数的底数)的所有次不动点之和为 m,则 m=0
x

④若定义在 R 上的函数 f ( x)满足f ( x ? 2) ? ? f ( x ? 1), 则 b 的函数 f ( x) 的周期。 以上四种说法,其中正确说法的序号为 。 15.(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做则按所做的第一题评分) A.(不等式选讲)已知函数 f ( x) ? log 2 (| 2 x ? 1| ? | x ? 2 | ?m) .若关于 x 的不等 式 f ( x) ? 1 的解集是 R,则 m 的取值范围是 B.(坐标系与参数方程)己知圆 C 的极坐标方程为

? ? 2 cos ? ? 2 3 sin ? , 则圆心 C 的一个极坐标为



C.(几何证明选讲)如图,半径为 2 的⊙O 中,∠AOB=90°, D 为 OB 的中点,AD 的延长线交⊙O 于点 E,则线段 DE 的 长为 。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答写在答题卡相位置,应写出文字说明、证明 过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)已知平面上三点 A(2,0),B(0,2),C(cos ? ,sin ? ) (I)若( OA ? OC )2=7(O 为坐标原点),求向量 OB 与 OC 夹角 ? 的大小; (Ⅱ)若 AC ? BC ,求 sin2 ? 的值.

??? ?

??? ?

??? ?

????

??? ?

??? ?

17.(本大题满分 12 分) 如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、为棱 DD1 上任意一点,下为对角线 DB 的 中点。 (I)求证:平面 CFB1⊥平面 EFB1; (II)若三棱锥 B—EFC 的体积为 1,且

D1 E 3 ? , D1 D 4

①求此正方体的棱长; ②求异面直线 EF 与 B1C 所成角的余弦值。

18.(本小题满分 12 分) 数 列 {bn } ( n ∈ N* ) 是 递 增 的 等 比 数 列 , 且 b1 ? b3 ? 5, b1 b3 ? 4.数 列 { an } 满 足

an ? log2 bn ? 3.
(I)求数列 {bn },{an } 的通项公式: (II)设数列 {an }的前n项和为Sn , 是否存在正整数 n,使得数列 {
2

4Sn ? 11n } 前 n 项和 n

为 Tn 满足Tn ? (n ? 1) ? 4025 ?若存在,求出 n 的值;若不存在,请说明理由。

19.(本小题满分 12 分) 西安市某省级示范高中为了了解学校食堂的服务质量情况,对在校就餐的 1400 名学生 按 5%比例进行问卷调查,把学生对食堂的“服务满意度”与“价格满意度”都分为 五个等级:1 级(很不满意);2 级(不满意);3 级(一般);4 级(满意);5 级 (很满意),其统计结果如下表所示(服务满意度为 x,价格满意度为 y)。

(I)作出“价格满意度”的频率分布直方图; (II)为改进食堂服务质量,现从满足“ x ? 5且y ? 3 ”的人中随机选取 2 人参加座 谈会,记其中满足“ x ? 3且y ? 1 ”的人数为 X,求 X 的分布列与数学期望。

x2 y 2 20.(本小题满分 13 分)设椭圆 D: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、 a b
F2,上顶点为 A,在 x 轴负半轴上有一点 B,满足 BF1 ? F1 F2 , 且 AB⊥AF2. (I)若过 A、B、F2 三点的圆 C 恰好与直线 l: x ? 3 y ? 3 ? 0 相切,求圆 C 方程及 椭圆 D 的方程; (II)若过点 T(3,0)的直线与椭圆 D 相交于两点 M、N,设 P 为椭圆上一点,且满 足

????

?????

???? ? ???? ??? ? O M? O N ? tO P ( O 为坐标原点),求实数 t 取值范围.

21.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ?

1 . ( x ? 1) ln( x ? 1)

(I)求函数 f ( x) 的单调区间; (II)是否存在实数 m,使不等式

1 ln 2 ? m ln( x ? 1)在 ? 1 ? x ? 0 时恒成立?若存 x ?1

在,求出实数 m 的取值范围;若不存在,请说明理由。 (III)已知正整数列 {cn }中,(Cn )
( n ?1)2

?e

1 f (n)

(n ? N * ), 求数列{cn } 中的最大项。



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